2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=31+i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列说法正确的是( )
A. 若a//b，b//c，则a//c B. 若a=b，则2a<3b
C. 对任意非零向量a，aa是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向
3.已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是x=1，方差s2=2，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是( )
A. 3，4B. 3，8C. 2，4D. 2，8
4.已知向量p在基底a,b,c下的坐标是(2,3,−1)，则p在基底a,a+b,b+c下的坐标为( )
A. (−2,4,−1)B. (2,5,2)C. (2,5,−1)D. (−2,4,1)
5.如图所示，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，点E在边CD上且DE=2EC，则AE⋅BE的值是( )
A. 256
B. 274
C. 163
D. 329
6.在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为π2，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. 32πB. 64π3C. 256π15D. 256π49
7.平行六面体ABCD−A1B1C1D 1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=π3，AA1=AB=1，E为C1D1的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A. 0
B. 32
C. 12
D. 34
8.已知a=3,−1,2，b=4,3,−2，c=1,4,λ，若a，b，c共面，则实数λ的值为( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是( )
A. 至少有一个白球与都是白球B. 恰有一个红球与白、黑球各一个
C. 至少一个白球与至多有一个红球D. 至少有一个红球与两个白球
10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，E为PC的中点，则( )
A. PA=PB+PD−PCB. PA=PB+PC−PD
C. AB+AD+AP=AED. AB+AD+AP=2AE
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在ΔABC中，A>B，∴sinA>sinB
B. 在锐角ΔABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在ΔABC中，若acsA=bcsB，则ΔABC必是等腰直角三角形
D. 在ΔABC中，若B=600，b2=ac，则ΔABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据24,13,14,18,12,14,20,16的上四分位数是_________．
13.在▵ABC中，cs2B2=a+c2c，则▵ABC的形状为________三角形．
14.已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP→=λAB→+(2−2λ)AC→(λ∈R)，则PA⋅PC的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,−2，C3,0,−4，设a=AB，b=AC．
(1)已知(a→+kb→)⊥b→，求k的值；
(2)若|c|=6，且c//BC，求c的坐标．
16.(本小题12分)
已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，底面是正方形，AD=AB=2,AA1=1，∠A1AB=∠DAA1=60∘,A1C1=3NC1,D1B=2MB，设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)试用a,b,c表示AN；
(2)求MN的长度．
17.(本小题12分)
已知A(1,−2,1)，向量a=(−3,4,12)，且满足AB=2a
(1)求点B的坐标；
(2)若点M在直线OA(O为坐标原点)上运动，当MA⋅MB取最小值时，求点M的坐标．
18.(本小题12分)
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160，第二组160,165,…，第八组190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E=x−y≤5，求PE．
19.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，M为棱CE的中点．
(1)证明：BC⊥C1E；
(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；
(3)求点C1到平面BMB1的距离．
答案解析
1.D
【解析】解：由题意知z=31+i⋅1−i1−i=3−3i1−i2=3−3i2=32−32i，所以z=31+i在复平面内对应的点为(32,−32)，位于第四象限，
故选D．
2.C
【解析】解：对于A，若 b为零向量时， a与 c不一定共线，故A错误;
对于B，向量不能比较大小， B错误;
对于C，因为a是非零向量，所以a|a|是和它共线的一个单位向量，故C正确；
对于D，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，零向量的方向是任意的，故D错误;
故选：C．
3.B
【解析】解：由题知，x1+x2+x3+x4=1×4=4，
S12=14[(x1−1)2+(x2−1)2+(x3−1)2+(x4−1)2]
=14[(x12+x22+x32+x42)−2(x1+x2+x3+x4)+1×4]=2，
∴x12+x22+x32+x42=12．
另一组数据的平均数=14[2x1+1+2x2+1+2x3+1+2x4+1]=14[2(x1+x2+x3+x4)+1×4]=14[2×4+4]=3，
另一组数据的方差=14[(2x1+1−3)2+(2x2+1−3)2+(2x3+1−3)2+(2x4+1−3)2]
=14[4(x12+x22+x32+x42)−8(x1+x2+x3+x4)+4×4]=14[4×12−32+16]=8．
故选：B．
4.A
【解析】解：由题意可知 p=2a+3b−c ，
设 p 在基底 a,a+b,b+c 下的坐标为 x,y,z ，
所以 p=xa+y(a+b)+z(b+c)=(x+y)a+(y+z)b+zc ，
所以 x+y=2y+z=3z=−1⇒x=−2y=4z=−1 ，
所以 p 在基底 a,a+b,b+c 下的坐标为 −2,4,−1 ．
故选：A
5.D
【解析】解：以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系．
∵ AB= 2 ， BC=2 ，
∴ A(0,0),B( 2,0),C( 2,2),D(0,2) ，
∵点 E 在边 CD 上，且 DE=2EC ，∴ E(2 23,2) ，
∴ AE=(2 23,2) ， BE=(− 23,2) ，
∴ AE⋅BE=(− 23,2)⋅(2 23,2)=−49+4=329 ．
故选：D．
6.C
【解析】解：圆锥PO的母线长l=4，侧面展开图的圆心角为π2，设圆锥的底面半径为r，
则圆锥的底面周长为满足2πr=4×π2，解得r=1；
设圆锥的外接球的球心为H，半径为R，
如图所示：
则该圆锥的高为ℎ= l2−r2= 16−1= 15；
设外接球的半径为R，
在△AHO中，AH2=HO2+OA2，
即( 15−R)2+r2=R2⇒2 15R=16，
解得R=8 15；
所以S球表面积=4πR2=256π15．
故选：C．
7.A
【解析】解：由题意， AA1•AB=AA1•AD=1×1×csπ3=12 ， AB⋅AD=0 ，
又 DC=AB ， BE=AE−AB=AA1+A1D1+D1E−AB=AA1+AD−12AB ，
所以 BE⋅DC=AA1+AD−12AB⋅AB=12+0−12=0 ，即有 BE⊥DC ，
故选：A．
8.A
【解析】解：因为 a ， b ， c 共面，可设 c=xa+yb ，即 1,4,λ=x3,−1,2+y4,3,−2 ，
得： 1=3x+4y4=−x+3yλ=2x−2y ⇒ x=−1y=1λ=−4 .选：A
9.BD
【解析】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD．
10.AD
【解析】解：在四棱锥 P−ABCD 中， E 为 PC 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形，
PA=PB+BA=PB+CD=PB+PD−PC ，A正确，B错误；
AB+AD+AP=AC+AP =2AE ，D正确，C错误．
故选：AD
11.ABD
【解析】解：对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，正确；
对于B，在锐角ΔABC中，A，B∈(0,π2)，
∵A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，
∴sinA>sin(π2−B)=csB，因此不等式sinA>csB恒成立，正确；
对于C，在ΔABC中，由acsA=bcsB，
利用正弦定理可得：sinAcsA=sinBcsB，
∴sin2A=sin2B，
∵A，B∈(0,π)，
∴2A=2B或2A=2π−2B，
∴A=B或A+B=π2，
∴ΔABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B=600，b2=ac，由余弦定理可得：b2=ac=a2+c2−ac，
可得(a−c)2=0，解得a=c，可得A=C=B=60∘，故正确．
故选：ABD．

12.19
【解析】解：将数据从小到大排序可得 12,13,14,14,16,18,20,24 ，共8个样本数据，
则上四分位数即第 75 百分位数为 8×0.75=6 ，即为 18+202=19 ．
故答案为： 19
13.直角
【解析】解：cs2B2=a+c2c，
则1+csB2=a+c2c，即csB=ac，
由余弦定理可得，a2+c2−b22ac=ac，即a2+b2=c2，
故三角形ABC为直角三角形．
故答案为：直角．
14.5
【解析】解：取 BC 中点 O ，
∵▵ABC 为等边三角形， ∴AO⊥BC ，则以 O 为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，

则 B−2,0 ， C2,0 ， A0,2 3 ，设 Px,y ，
．∴AP=(x,y−2 3) ， AB=(−2,−2 3) ， AC=(2,−2 3) ，
∴AP=λAB+(2−2λ)AC=(4−6λ,2 3λ−4 3) ，则 x=4−6λy=2 3λ−2 3 ，
∴P4−6λ,2 3λ−2 3 ， ∴PA=(6λ−4,4 3−2 3λ) ， PC=(6λ−2,2 3−2 3λ) ，
∴PA⋅PC=(6λ−4)(6λ−2)+(4 3−2 3λ)(2 3−2 3λ)=48λ2−72λ+32 ，
则当 λ=34 时， PA⋅PC 取得最小值 5 ．
故答案为： 5 ．
15.解：(1)由题知 a=AB=(−1,−1,0) ， b=AC=(1,0,−2) ，
所以 a+kb=k−1,−1,−2k ，
因为 a+kb⊥b ，
所以 (a+kb)⋅b=0 ⇒ k−1+4k=0 ⇒ k=15 ．
(2)因为 c // BC ， BC=2,1,−2 ，
所以 c=λBC=2λ,λ,−2λ ， λ∈R ，
因为 c=6 ，所以 2λ2+λ2+−2λ2=9λ2=36 ，解得 λ=±2 ，
所以 c=4,2,−4 或 −4,−2,4 ．
【解析】(1)根据向量坐标运算得出a+kb坐标，根据向量垂直数量积为0列式计算可得k．
(2)根据c//BC设出向量c⇀坐标，根据|c|=6，求出参数即可求得c；
16.解：(1) AN=AA1+A1N=c+23(a+b)=23a+23b+c．
(2) AM=12(AB+AD1)=12a+12b+12c，
NM=AM−AN=−16a−16b−12c，
所以|NM|= (−16a−16b−12c)2
= 136a→2+136b→2+14c→2+118a→⋅b→+16a→⋅c→+16b→⋅c→
= 136×22+136×22+14×12+0+2×16×2×1×cs⁡60°
= 296．
【解析】(1)AN=AA1+A1N=c+23(a+b)=23a+23b+c，由此能求出结果．
(2)由题意，结合MN2=(−16a−16b−12c)2，由此能求出MN的长度．
17.解：(1)设 B(x ，y ，z) ，则 AB=(x−1 ， y+2 ， z−1)
因为 AB=2a ．
所以 x−1=−6y+2=8z−1=24
解得 x=−5y=6z=25 ．
所以 B(−5 ，6， 25) ．
(2)因为点 M 在直线 OA(O 为坐标原点)上运动，
所以 OM=λOA=(λ ， −2λ ， λ) ．
所以 MA=OA−OM=(1−λ ， −2+2λ ， 1−λ) ，
MB=OB−OM=(−5−λ ， 6+2λ ， 25−λ) ．
所以
MA⋅MB=(1−λ)(−5−λ)+(−2+2λ)(6+2λ)+(1−λ)(25−λ)=6λ2−14λ+8=6(λ−76)2−16 ．
∴ 当 λ=76 时， MA⋅MB 取得最小值．
∴M(76 ， −73 ， 76)
【解析】(1)设B(x,y,z)，根据AB=2a列方程解出x，y，z；
(2)由O，A，M三点共线可设OM=λOA，求出MA,MB的坐标，得出MA⋅MB关于λ的函数，利用二次函数的性质求出MA⋅MB取最小值时对应的λ的值，从而得出M的坐标．
18.解：(1)第六组的频率为450=0.08，
∴第七组的频率为：
1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06．
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2，
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，
0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5，
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，
则170由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5，
解得m=174.5，
∴可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm．
平均数为157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1．
(3)第六组[180,185)的人数为4人，设为a，b，c，d，
第八组[190,195]的人数为2人，设为A，B，
则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况，
∵事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
∴事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，
故P(E)=715．
【解析】(1)第六组的频率为0.08，由此能求出第七组的频率．
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)第六组[180,185)的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2人，设为A，B，利用列举法能求出事件E的概率．
19.解：(1)证明：根据题意，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，
因为侧棱A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥AB，A1A⊥AD
又因为AB⊥AD，则以A为坐标原点，以AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则B(0,0,2)，D(1,0,0)，C(1,0,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,1)，B1(0,2,2)，
所以BC=(1,0,−1)，EC1=(1,1,1)，所以BC⋅EC1=1×1+0+1×(−1)=0，
所以BC⊥EC1，故BC⊥C1E；
(2)根据题意，C(1,0,1)，E(0,1,0)，而M为棱CE的中点，则M(12,12,12)，
BM=(12,12,−32)，AD=(1,0,0)，cs=BM⋅AD|BM|⋅|AD|=12 114⋅1= 1111．
所以异面直线BM与AD所成角的余弦值 1111．
(3)设平面BMB1的法向量为n=(x,y,z)，BB1=(0,2,0)，BC1=(1,2,−1)，
则n⋅BB1=2y=0n⋅BM=12x+12y−32z=0，取z=1，得n=(3,0,1)，
∴点C1到平面BMB1的距离为：
d=|BC1⋅n||n|=2 10= 105．
【解析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求出BC、EC1的坐标，进而可得BC⋅EC1=0，即可得结论；
(2)根据题意，求出BM、AD的坐标，由空间向量数量积的计算公式计算可得答案．
(3)利用向量法求解．