专题05 公式法与因式分解（解析版讲义）

这是一份专题05 公式法与因式分解（解析版讲义），共36页。试卷主要包含了完全平方公式，几个特征，几何背景，完全平方式的定义等内容，欢迎下载使用。

知识点1：完全平方公式
1.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
2.几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
3.几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
4.完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
知识点2：平方差公式
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3.平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
知识点3：因式分解
1.分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2.因式分解与整式乘法的关系：它们是相反方向的变形，即互逆运算.
知识点4：因式分解-提公因式法
1.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2.口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
知识点5：因式分解-公式法
1.平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2.特征：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
注意：要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
知识点6：因式分解-分组分解法
1.定义：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2.常见两种形式：①二二分法，②三一分法．
知识点7：因式分解-十字相乘法
1.定义：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
2.特点：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
题型归纳
【题型1 完全平方公式】

1．（2023春•瑶海区期中）若，那么等于
A．B．C．0D．
【答案】
【分析】将完全平方式展开，然后与左边的式子相比较，从而求出值．
【解答】解：
又，
．
故选：．
【点评】此题比较新颖，侧面考查完全平方式，比较简单．
2．（2024春•庐阳区校级期中）已知，则的值为
A．19B．18C．23D．24
【答案】
【分析】利用整体的思想和完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2024春•瑶海区校级期中）已知，则的值是
A．4B．11C．15D．22
【答案】
【分析】利用完全平方公式将原式变形后进行计算即可．
【解答】解：，
，
即，
则，
，
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
4．（2024春•庐阳区校级期中）已知：，，试求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）11；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式，即可得到结论；
（2）利用完全平方公式，即可得到结论．
【解答】解：（1），，，
，
；
（2），
，
．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【题型2 完全平方公式的几何背景】
5．（2024春•蜀山区校级期中）有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和15，则正方形，的边长之和为
A．5B．6C．5或6D．无法确定
【答案】
【分析】根据图甲中阴影部分的面积得，图乙中阴影部分的面积得，再通过 即可求解，
【解答】解：图甲中阴影部分是边长为 的正方形，因此面积为，
图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为 的正方形面积中减去两个边长分别为、 的正方形面积，
即 ，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是解题的关键．
6．（2024春•蜀山区校级期中）如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为
A．10B．20C．40D．80
【答案】
【分析】先表示阴影部分面积，再求长方形面积．
【解答】解：设，，
由题意得：，．
，．
．
．
．
．
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示周长和面积是求解本题的关键．
7．（2023春•泗县期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出，，之间的等量关系 ．
【答案】．
【分析】观察正方形不难得出：大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积，据此即可得出答案．
【解答】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，解答此题的关键是仔细观察图形，准确地找出正方形的边长和图形之间的面积关系．
8．（2024春•埇桥区期中）如图是宿州市希尔顿大酒店的一间办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含、的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．
（2）如果，，会议厅比会客室大多少平方米？
【答案】（1）会客室的面积为平方米，会议厅的面积为平方米；
（2）114平方米．
【分析】（1）根据图形中各条边之间的和差关系得出会客室、会议厅的长、宽，再由长方形的面积的计算方法进行计算即可；
（2）求出会议厅的面积比会客厅的面积差，再整体代入计算即可．
【解答】解：（1）会客室是长为（米，宽为米的长方形，因此面积为平方米，即平方米，
会议厅是长为米，宽为米的长方形，因此面积为，即平方米，
答：会客室的面积为平方米，会议厅的面积为平方米；
（2）当，时，
会议厅的面积比会客厅的面积大
（平方米）．
答：会议厅比会客室大114平方米．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握图形中各条边之间的和差关系是正确解答的关键．
【题型3 完全平方式】
9．（2024春•安庆期中）下列多项式中，完全平方式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行逐一判断即可．
【解答】解：、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
、，是完全平方式，符合题意；
、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是关键．
10．（2024春•大观区校级期中）如果是一个完全平方式，则的值是
A．B．4C．D．8
【答案】
【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题．
【解答】解：是完全平方式，
．
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
11．（2024春•蜀山区校级期中）如果是完全平方式，那么的值是
A．8B．4C．D．
【答案】
【分析】先写出，进一步求出的值．
【解答】解：，
是完全平方式，
；
故选：．
【点评】本题主要考查了完全平方，掌握满足完全平方式的情况只有和两种，两种情况的熟练应用是解题关键．
12．（2024春•埇桥区校级期中）若是一个完全平方式，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据完全平方公式可知，这个完全平方公式的首位和末位分别是和的平方，中间项是加上或减去和的乘积的2倍，从而求出答案即可．
【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是根据两个平方项确定这两个数．
【题型4 平方差公式】
13．（2024春•包河区期中）下列不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式，逐个分析得结论．
【解答】解：、符合平方差公式的结构特点，能运用平方差公式计算；
．，不符合平方差公式的结构特点，不能运用平方差公式计算；
．符合平方差公式的结构特点，能运用平方差公式计算．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解决本题的关键．
14．（2024春•长丰县期中）下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用完全平方式，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了完全平方式，平方差公式，熟练掌握完全平方式，平方差公式的特征是解题的关键．
15．（2024春•包河区期中）如果，那么的值为 ．
【答案】．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键．
16．（2024春•泗县期中）已知：，，则 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：当，时，
原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平方差公式，体现了整体思想，掌握是解题的关键．
17．（2023春•淮北期中）观察下列等式：
①；
②；
③；
利用你发现的规律解决下列问题：
（1）猜想： ；
（2）若，则代数式 ．
【分析】（1）根据题目所给的等式进行计算即可得出答案；
（2）根据已知等式得到，求出值，分类代入计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，；
（2），
，即，
，
当时，，
当时，．
故答案为：；2或0．
【点评】本题主要考查了数字变化规律，考查学生对规律问题的归纳总结能力，综合性较强．
【题型5 平方差公式的几何背景】
18．（2024春•蜀山区校级期中）如图，点、、在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积是
A．12B．18C．24D．32
【答案】
【分析】设两个正方形的边长，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可．
【解答】解：正方形的边长为，正方形的边长为，则，则，
．
故选：．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
19．（2023春•包河区期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式
A．B．
C．D．
【分析】图甲中阴影的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，即，图乙中平行四边形底边为，高为，即面积，两面积相等所以等式成立．
【解答】解：两个图中的阴影部分的面积相等，
即甲的面积，乙的面积．
．
所以验证成立的公式为：．
故选：．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
20．（2023春•涡阳县期中）如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解．
【解答】解：图1阴影的面积为：，
图2阴影的面积为：，
，
故选：．
【点评】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．
21．（2023春•裕安区校级期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，将余下部分剪拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分别计算挖掉小正方形后的面积和新的长方形面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：挖掉小正方形后的面积；
新的长方形面积
则．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
【题型6 因式分解的意义】
22．（2022春•包河区期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．
23．（2022春•肥东县期末）若多项式能因式分解成，则等于
A．B．C．12D．6
【答案】
【分析】多项式是完全平方式时能够利用完全平方公式因式分解，完全平方式为，本题中的是公式中的，6是公式中的，由此确定中间项．注意中间项有两种情况．
【解答】解：，
能因式分解成，
，
当时，，
，
当时，，
，
由此得出，．
故选：．
【点评】本题考查的是能利用完全平方公式进行因式分解的多项式具有的特征．能根据完全平方公式求出参数的取值，考虑到可能为正数也可能为负数是本题的关键．
24．（2023春•潜山市期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解答】解：．，从左边到右边的变形，属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
【题型7 因式分解-提公因式法】
25．（2023春•宣城期末）计算结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】原式提取公因式，计算即可求出值．
【解答】解：原式
．
故选：．
【点评】此题考查了因式分解提公因式法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（2023春•阜南县校级期末）分解因式： ．
【答案】．
【分析】直接提取公因式进行分解因式即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
27．（2024•肥东县校级模拟）因式分解： ．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分解因式，能灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键．
【题型8 因式分解-运用公式法】
28．（2024春•安庆期中）若，则
A．12B．10C．8D．6
【答案】
【分析】根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到的值．
【解答】解：方程两边都乘以，得
，
，
，
．
经检验是原方程的解．
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键．
29．（2023春•庐阳区校级期末）已知，则的值是
A．2B．6C．4D．8
【答案】
【分析】先把原式进行因式分解，再把代入进行计算即可．
【解答】解：，
原式
．
故选：．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把代入进行计算．
30．（2023•合肥模拟）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用因式分解的定义，分别判断得出答案．
【解答】解：．，是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不合题意；
．无法分解因式，故此选项不合题意；
．，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
．，是因式分解，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式以及分解因式的定义，正确掌握因式分解的定义是解题关键．
31．（2023春•东至县期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】利用平方差公式进行分解，即可解答．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
【题型9 提取公因式法与公式法的综合运用】
32．（2023春•金安区校级期末）因式分解： ．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
33．（2023春•裕安区校级期中）分解因式： ．
【答案】．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
34．（2023春•亳州期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
35．（2023春•长丰县期末）因式分解： ．
【答案】．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【题型10 因式分解-分组分解法】
36．（2023春•金安区校级期末）因式分解： ．
【答案】．
【分析】先根据完全平方公式得到，再利用平方差公式对分解因式即可解答．
【解答】解：
；
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方式，平方差公式，因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
37．（2022春•怀宁县期中）分解因式：
①；
②．
【答案】①；
②．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）把第一项和第三项分为一组，第二项和第四项分为一组，然后进行分解即可解答．
【解答】解：①
；
②
．
【点评】本题考查了因式分解提公因式法，因式分解分组分解法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
38．（2022春•定远县期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若，都是正整数且满足，求的值；
（2）若，为实数且满足，，求的最小值．
【答案】（1）①；
②8．
（2）．
【分析】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
②现将变形为，即，然后再解决本题．
（2）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到．最后，探究的最小值．
【解答】解：（1）①
．
②由题得，即．
，为正整数且，
，即．
．
（2）由题得．
．
，
（当且仅当时取等号）．
经验证：满足，
综上，的最小值为．
【点评】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键．
【题型11 因式分解-十字相乘法】
39．（2023春•肥西县期末）下列因式分解错误的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论．
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了因式分解十字相乘法等以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
40．（2023春•淮北期中）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用提取公因式和公式法进行因式分解．
【解答】解：、，故本选项正确．
、，故本选项错误．
、，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故本选项错误．
、，故本选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
41．（2023春•蚌埠期末）下列各式的因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据提公因式法、完全平方公式、平方差公式以及十字相乘法将各个选项中的多项式进行因式分解即可．
【解答】解：．，因此选项不符合题意；
．，因此选项不符合题意；
．，因此选项不符合题意；
．，因此选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握提公因式法、十字相乘法以及完全平方公式、平方差公式是正确解答的前提．
42．（2023春•定远县校级期中）若，则常数的值是 ．
【答案】．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
【解答】解：
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握运算法则是解题基础．
43．若，则 ．
【分析】可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：，得出即可．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数是解题关键．
44．因式分解： ．
【分析】原式提取，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，以及提取公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型12 因式分解的应用】
45．（2023春•蜀山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如，，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为
A．160B．164C．168D．177
【答案】
【分析】设相邻的两奇数分别为，，且为正整数），求出致真数的表达式，根据致真数不超过50，列出不等式，求得的范围，进而可以知道最大的，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些致真数加起来计算即可．
【解答】解：设相邻的两奇数分别为，，且为正整数），
，
根据题意得：，
，
最大为6，此时，，
．
故选：．
【点评】本题考查平方差公式，理解“致真数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键．
46．（2024春•蜀山区校级期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美小西数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“完美小西数”．
（1）最大的两位数的完美小西数是 92 ．
（2）介于50到101之间所有“完美小西数”之和为 ．
【答案】92532
【分析】（1）根据“完美小西数”的定义，即可求解；
（2）根据“完美小西数”的定义，可得介于50到101之间所有“完美小西数”之和为，即可求解．
【解答】解：（1），，，，，，，，，，
最大的两位数的完美小西数是92；
故答案为：92；
（2）介于50到101之间所有“完美小西数”之和为
，
故答案为：532．
【点评】本题考查因式分解的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
47．（2023春•砀山县校级期中）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“开心智慧数”．比如：，则1就是“开心智慧数”； ，则5就是“开心智慧数”．
（1）从0开始第10个智慧数是 12 ；
（2）不大于2024的智慧数共有 个．
【答案】（1）12；（2）1519．
【分析】（1）根据智慧数的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案；
（2）根据（1）中规律可得．
【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律，
①，
是智慧数，
②因为，
所以所有的奇数都是智慧数，
③因为，
所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数，
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去，
从0开始第10个智慧数是12；
故答案为：12；
（2），
不大于2024的智慧数共有（个．
故答案为：1519．
【点评】此题主要考查了新定义，得出智慧数的分布规律是解题关键．
48．（2024春•庐阳区校级期中）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
（1）【验证】 12 ；
（2）【证明】设两个正整数为、，请验证“发现”中的结论正确；
（3）【拓展】请说明当两个正整数、同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【答案】（1）12；
（2）验证见解析，结论正确；
（3）说明见解析．
【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）设两个正整数为、，则计算并验证结论即可；
（3）由（2）得：，可得，根据偶数和奇数的知识，可知，都是整数，从而得可以表示为两个整数的平方差．
【解答】解：（1）
，
故答案为：12；
（2）设两个正整数为、，
则
，
能被4整除，
故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数的结论正确．
（3）由（2）得：，
，
正整数、同为偶数或同为奇数，
，同为偶数，
，都是整数，
可以表示为两个整数的平方差．
【点评】本题考查的是因式分解的应用和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
49．（2024春•庐阳区校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：．
（1）由图2可以得到： ；
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数，，满足，，则的值为 ；
②若实数，，满足，，求的值．
【答案】（1）；
（2）①45；
②．
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式计算即可；
（2）①根据（1）中的公式变形计算即可；
②根据，，可知，，则，代入计算即可．
【解答】解：（1）由图2可知，，
故答案为：；
（2）①根据，，，
可得：
，
故答案为：45；
②，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘和完全平方公式的几何意义，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
过关检测
1．（2024•蜀山区校级三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的运算法则，即可判断答案．
【解答】解：、，所以选项错误，不符合题意；
、计算正确，符合题意；
、，所以选项错误，不符合题意；
、，所以选项错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的运算，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题的关键．
2．（2024•天长市三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，完全平方公式对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2024春•埇桥区校级月考）下列多项式中，可以用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】平方差公式的形式是，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解．
【解答】解：、，不可以用平方差公式计算．
、，可以用平方差公式计算；
、，不可以用平方差公式计算；
、，不可以用平方差公式计算．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
4．（2024春•贵池区校级月考）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为
A．3B．19C．21D．28
【答案】
【分析】设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
【解答】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，，
，
，
点为的中点，
，
图2的阴影部分面积，
，
，
图1的阴影部分面积
，
故选：．
【点评】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
5．（2024•庐阳区校级三模）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】将各式因式分解后进行判断即可．
【解答】解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．（2022春•蜀山区校级期中）若，，则的值为
A．B．5C．D．4
【答案】
【分析】根据，，可以得到，然后即可得到的值．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
7．（2023春•宿州月考）已知是完全平方式，则的值为 ．
【分析】利用完全平方公式得到，从而得到，从而求出值．
【解答】解：是完全平方式，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
8．（2024春•萧县月考）已知，，那么 5 ．
【答案】5．
【分析】由已知条件得，利用完全平方公式展开计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查完全平方公式，由已知条件求得是解题的关键．
9．（2023春•泗县期中）因式分解： ．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（2024春•庐阳区校级期中）因式分解： ．
【答案】．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（2024•庐阳区校级三模）计算：．
【答案】．
【分析】利用多项式乘多项式的运算法则及完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．（2024春•砀山县月考）已知，，求的值．
【答案】14．
【分析】先根据完全平方公式求得，，进而代值求解即可．
【解答】解：，，
，，
，，
．
【点评】本题考查整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（2024春•萧县月考）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）观察图2阴影部分面积为 ；并请直接写出三个代数式，，之间的等量关系 ；
（2）解决问题：
①若满足，求的值；
②已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形．求阴影部分的面积．
【答案】（1），；
（2）①5；②28．
【分析】（1）由题意知，图2阴影部分面积为，由，可求三个代数式之间的等量关系；
（2）①由题意知，，根据，计算求解即可；②由题意知，，，，，令，，则，，由，可求，根据，计算求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，图2阴影部分面积为，
，
三个代数式，，之间的等量关系为；
故答案为：，；
（2）①由题意知，，
，
的值为5；
②由题意知，，，，，
令，，则，，
，
（2），
解得，，
，
阴影部分的面积为：28．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形，完全平方公式在几何中的应用，平方差公式等知识，熟练掌握完全平方公式的变形，平方差公式是解题的关键．
14．（2024春•泗县期中）如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图②所示的长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ② ；（填序号）
①；②；③．
（2）根据（1）中的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值；
②计算：．
【答案】（1）②，（2）①2，②．
【分析】根据图①和图②分别求出长方形的面积，进而选择．（2）根据即可作答．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为，
图②长方形的面积为，
即，
故选②；
（2）①，
，
，
所以的值为2；
③，
，
，
，
．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是对的灵活运用．
满分技法
用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可.
满分技法
解决这类问题的关键是利用数形结合思想，建立图形与算式的对应关系，通过运用完全平方公式计算说明理由.
满分技法
用完全平方公式的应用一般有下面几种变形:
满分技法
平方差公式的应用一般有下面几种变形:
（1）位置变化:
（2）符号变化:
（3）系数变化:
（4）指数变化:
（5）增项变化:
（6）增因式变化:
（7）连用公式变化:
满分技法
解决这类问题的关键是利用数形结合思想，建立图形与算式的对应关系，通过运用平方差公式计算说明理由.
满分技法
判断一个式子的恒等变形是否为因式分解的方法:一看形式，左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式;二看类型，等号左右两边都是整式;三看结果,结果分解彻底.
满分技法
(1)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出“-”号,同时多项式中的各项都变号.
(2)如果多项式中,某些项的系数为小数(或分数)那么一般要提取小数(或分数)，使多项式的各项的系数为整数.
(3)当一个式子的公因式是多项式时,可以把该多项式作为一个整体,提取公因式时比较简便.
(4)要检验分解因式的结果是否正确,可以用整式的乘法进行验证.
满分技法
分解因式的两步骤、一注意
两步骤:
(1)看公因式，如果有公因式，那么要先提取公因式.
(2)看能否用公式，如果有两项，考虑平方差公式;如果有三项，考虑两数和(或差)的完全平方公式.
一注意:
分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.
满分技法
(1)解题时要遵循“一提、二套、三检查”的原则,先考虑提公因式法，再考虑公式法，最后检查分解是否彻底.
(2)对不能直接运用提公因式法和公式法的含有乘积形式的多项式，不妨先运用乘法公式展开，合并同类项后，再选择合适的方法分解.
满分技法
如果多项式有三项以上，且整体没有公因式，那么可考虑分组分解,分组应满足各组有公因式或符合公式特征，且各组之间有公因式或符合公式特征,如果分解成的几个因式中有相同的因式，一定要写成幂的形式.
满分技法
1.用十字相乘法分解的多项式的特征
（1）必须是一个二次三项式;
（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式=
2.用十字相乘法分解因式的符号规律
（1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同;
（2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大;
（3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项.
满分技法
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．