2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第4章　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题[培优课]

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在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
例1 已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，2))
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思维升华 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
跟踪训练1 (2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝3，f(π)＝0，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递减，那么ω的取值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二 三角函数的对称性与ω的关系
例2 (多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的图象向右平移eq \f(3π,2ω)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称，则ω可取的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．1 D．4
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思维升华 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>\f(1,2)，x∈R))，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,9)，\f(7,6))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(17,24)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,18)，\f(29,24)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,9)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,9)，\f(11,12))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,18)，\f(17,24)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,18)，\f(23,24)))
题型三 三角函数的最值与ω的关系
例3 将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，\f(13,12))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，\f(13,12))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,12)，\f(17,12))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,12)，\f(17,12)))
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思维升华 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
跟踪训练3 (2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤eq \f(π,2)，－eq \f(π,4)为f(x)的零点，且f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))))恒成立，f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,24)))上有最小值无最大值，则ω的最大值是( )
A．11 B．13 C．15 D．17
题型四 三角函数的零点与ω的关系
例4 将函数f(x)＝cs x的图象先向右平移eq \f(5π,6)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上没有零点，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,9)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,9))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,9)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,9)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,9)，1)) D．(0,1]
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思维升华 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．
跟踪训练4 (2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(13,6))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(19,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(19,6)))