[数学][期末]浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）
A. 圆柱B. 圆台C. 圆锥D. 棱柱
【答案】C
【解析】将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆锥.
故选：C.
2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】在正方体中，记平面ABCD为，平面为，
（1）当记为n，直线为m，时，可知A错误；（2）当记为n，直线为m，时，可知C错误；（3）记AC为m，为n时，可知D错误；
由面面垂直判定定理可知B正确.
故选：B.
3. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A. B. 8C. 4D.
【答案】B
【解析】直观图中，，由此画出直观图对应的原图如下图所示，
其中，所以，
所以原平面图形的周长为.
故选：B.
4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
5. 在中，，则的最大内角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得，即，
得，因为，所以，即，
所以，，
则的最大内角为.
故选：A.
6. 某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续次的产如下：
则下列结论错误的是（ ）
A. 甲种水稻产量的众数为
B. 乙种水稻产的极差为
C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
【答案】D
【解析】对于A选项，甲种水稻产量的众数为，A对；
对于B选项，乙种水稻产的极差为，B对；
对于C选项，甲种水稻产量的平均数为，
乙种水稻产量的平均数为，C对；
对于D选项，甲种水稻产量的方差为，
乙种水稻产量的方差为，D错.
故选：D.
7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由余弦定理可知，，
由可得，
化简可得，
所以，即，
即，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
8. 已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. －D. －
【答案】C
【解析】由题意得，，
，
当时，有最小值，
即，
则在上的投影向量为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 为纯虚数
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解析】对于A：，故为纯虚数，故A正确；
对于B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，
故B错误；
对于C：，
，故，故C错误；
对于D：令，，则由，
可得，即，
故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确.
故选：AD.
10. 已知中，分别为角的对边，为的面积，则下列条件能使只有一个解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】由三角形三边关系可得：，所以，因为，故，
故A正确；
由，
故，
可得：，由此解得，故三角形唯一，B正确；
对于C：或者，
故三角形不唯一，C错误；
对于D：，故，两边及其夹角，此三角形唯一，
故D正确.
故选：ABD.
11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ）
A.
B. 三棱锥体积不变
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】连接，如图所示，
直三棱柱中，，
为正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，，
故三棱锥的体积为定值，B选项正确；
设，，，
，
，
，
其几何意义是点和点到点的距离之和，
最小值为点到点的距离，为，C选项错误；
当是的中点时，，，，
，
，，
，设点到平面的距离为，由，
得，，
直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，
外接球的半径，点到平面的距离为，
则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为
，截面面积为，D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数（i为虚数单位），则____________.
【答案】
【解析】复数，所以.
故答案为：.
13. 如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.
【答案】
【解析】设，
因为和分别是边和的中点，可得，
又因为，所以，
因，所以，所以.
故答案为：.
14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】如图：
连接交与点，设正方形边长为，，
则，，
则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：，
由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形，如图：
设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，
设外接球半径为，则，，，
，，
由勾股定理得，即，
解得，外接球表面积为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
解：（1）由已知，得，
.
（2）设与的夹角为，则，
因此，与的夹角的余弦值为.
16. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
解：（1）由，得.
（2）平均数为：岁；
设中位数为，则，∴岁.
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，
则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，，
设从5人中随机抽取2人，为，，，，，，
，，，共10个基本事件，
这2人恰好在同一组的基本事件，，，共4个，
所以.
17. 如图，在多面体中，平面，，，四边形是正方形．
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）证明：平面；
（3）求平面与平面所成的二面角的平面角的大小.
解：（1）因为平面，平面，所以，
因为为正方形，所以，
又，，平面，所以平面，
故就是直线与平面所成角，
又平面，所以，
因为平面，，所以平面，
平面，所以，所以，
在中 ，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，，所以四边形为直角梯形，
所以，，
在中，，则，故，
因为平面，平面，所以，
在中，，
在中，，，
所以，又，，平面，
所以平面.
（3）取的中点，连接、，则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，所以、、、四点共面，
又，，，平面，
所以平面，则平面，平面，
所以，，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
又，，即为等腰直角三角形，所以，
所以平面与平面所成的二面角的平面角的大小为.
18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号.
（1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值；
（2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求；
（3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求.
解：（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值列表如下：
（2）由（1）可知，，
设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为，
所以
.
（3）由（1）可知，，
则两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率，
所以.
19. 在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足
（1）求角；
（2）为边上一点，，且求的最小值.
（3）圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.
解：（1）由及，可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以，即，
因，所以，即.
（2）在中，由正弦定理可得：，即，
在中，由正弦定理可得：，即，
且与互为补角，可得，
即，又，且，即，所以，
又，所以，所以为的角平分线，
所以，
由可得，
所以，解得，当且仅当时取得等号，
即的最小值为，所以，
即的面积的最小值为.
（3）设圆半径为，则，
设，，则，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
甲
乙