[数学][期中]山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

这是一份[数学][期中]山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本试卷主要命题范围， 已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本试卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用，选择性必修第三册第六章计数原理.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 下列求导数的运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确；
故选：D.
2. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，
又因为，
当时，，解得，
所以.
故选：D.
3. 重庆市高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必选科目；“1”为由考生在物理、历史2门科目中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选2门作为再选科目.现由甲、乙2位同学选科，若他们的首选科目相同，再选科目恰有一门相同的不同选法的种数为（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 72
【答案】C
【解析】第一步：甲乙首选科目相同，有种方法；
第二步：从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选一科中选一科作为甲乙的相同科目，有种方法；
第三步：甲从剩下的三科中选一科，有种方法；
第四步：乙从剩下的两科中选一科，有种方法.
所以共有种不同方法.
故选：C
4. 函数在区间上的最大值是，则的值为( )
A. 3B. 1
C. 2D. －1
【答案】B
【解析】由题意可知，，
令，解得或（舍）.
当时，；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以,,，则最大，
所以当时，函数取得最大值为.
由题意可知，，解得,
所以的值为.
故选：B.
5. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，
则，
由得，或；由得，，
则当或时单调递增；
当时单调递减.
则时取得极大值；时取得极小值.
函数有三个零点，
即函数与直线图像有3个不同的交点，
则实数m的取值范围是
故选：A
6. 如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，
所以当时，，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：C
7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，
则，，，
而，当时，，单调递减，
∵，所以，即.
故选：B.
8. 若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】原命题等价于有大于零的零点，
显然在上单调递增，
又因为时，，
所以，所以
故选：A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】令，可得，故A正确；含的项为，
故，B错误；
令，，又，故，C正确；
令，，又，故，D正确.
故选：ACD.
10. 设函数的导函数为， 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极大值
【答案】AB
【解析】有的图象可得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数在上单调递增，故A正确；函数在上单调递减，故B正确；函数在处无极值，故C错误；函数在处取得极小值，故D错误.
故选：AB.
11. 设函数则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的图象位于x轴下方
B. 存在单调递增区间
C. 有且仅有两个极值点
D. 在区间上有最大值
【答案】AB
【解析】因为函数，可得函数的定义域为，
且，
令，可得，
当时，；当时，，
当时，，由，所以，
即，所以在上单调递减，
因为时，，当时，的图象在轴的下方，所以A正确；
当时，，
所以，
又因为，
所以存在使得，
所以当时，；当时，，
所以上单调递减，在上单递增，
当时，函数取得极小值，无极大值，
所以函数只有一个极值点，
且在区间上先减后增，没有最大值，所以C、D错误.
故选：AB.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】，则，又，
故切线方程为，即.
故答案为：.
13. 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有______种不同的冠军获得情况.
【答案】64
【解析】由题意可知数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军各有4种情况，
故有种情况.
故答案为：
14. 已知函数，则的最小值是____________.
【答案】
【解析】由函数，
则函数的最小正周期为，
又由，可得函数为奇函数，只需考虑在上的最值即可，
又由，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数在上的最大值为，
因为函数为奇函数，所以函数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
（1）求的值；
（2）若展开式中的系数为，求的值．
解：（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴，
解得．
16. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
解：（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
17. 已知函数.
（1）若在处取得极小值，求实数的值；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
所以，得，此时，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为.
（2）由（1）知，，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立.
因，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
因为在上单调递减，
所以，
故实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求函数的单调性与极值；
（2）若关于的方程有两个解，求实数的取值范围.
解：（1）依题意，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
故当时，函数的极大值为 ，无极小值；
（2）令，得.
当时，，则在上单调递增.
因此函数至多只有一个零点，不符合题意，
当时，由，得，
因此在上是单调递增，在上是单调递减，所以.
一方面，当从右边趋近于0时， 趋向于 ；
当x趋向于 时，，
因此，趋向于；
另一方面，由，得，即，
因此，，
很明显在上是单调递增且，
根据题意得：，所以.
即方程有且只有一个大于1的正实根.
设，由（ 开口向下）且，
对称轴为 ，得，解得.
所以实数的取值范围是；
综上，在单调递增，单调递减，极大值=-1，无极小值，
.
19. 已知函数.
（1）当时，求的最值；
（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.
解：（1）当时，，定义域为，
，
当时，；当时，.
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，无最大值.
（2），因为，所以在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，.
所以的最小值为，
因为，所以在上存在一个零点；
因为，可知在上也存在一个零点；
所以，故.