专题14 最短路径问题（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版）

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目录
【考点一 将军饮马问题一】
【考点二 将军饮马问题二】
【考点三 造桥选址问题】 13
【考点三 差值最大型问题】
【聚焦考点1】
将军饮马模型总结一：依据两点之间线段最短求最值
【典例剖析1】
【典例1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】．C
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到AD的长度，再由最短路径的问题可知PB＋PD的最小即为AD的长．
【详解】
∵
∴
∵EF垂直平分AB
∴点A，B关于直线EF对称
∴
∴，
故选：C.
【点拨】本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握相关解题技巧及三角形的高计算方法是解决本题的关键.
【典例1-2】如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．84°B．88°C．90°D．96°
【答案】B
【分析】
根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点 ,,即可得出，进而得出 即可得出答案．
【详解】
解：如图示，作关于和的对称点， ，连接，交于，交于 ，则即为的周长最小值．
延长，作于点，
，
，
，
，，
且， ，
，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
【典例1-3】如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】
如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】
如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．
易知，．
∵，，
∴．
故选：B.
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
针对训练1
【变式1-1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
B．
C．． D
【答案】A
【分析】
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】
作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：A．
【点拨】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别
【变式1-2】如图，在中BC=5，垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是________．
【答案】7
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
连接AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4+3=7．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
【变式1-3】如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．
【答案】80°
【分析】
根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；
【详解】
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
【点拨】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【聚焦考点2】
将军饮马模型总结：依据垂线段最短求最值
【典例剖析2】
【典例2-1】如图，在中，，是的平分线．若，分别是和上的动点，且的面积为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，根据角平分线的性质，先确定当取最小值时动点、的位置，再利用三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】
过点作于点，交于点，过点作，如图所示
∵平分，、分别是和上的动点
∴，与关于对称
∴此时，
∵，
∴
∴的最小值是
故选：C
【点拨】本题是轴对称最短路线问题，主要考查了角平分线的性质、对称的性质以及三角形的面积公式，确定是解题的关键．
【典例2-2】如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．
【答案】
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，
∴BM＝＝＝，
即CF+EF的最小值是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
针对训练2
【变式2-1】如图，在△ABC中，AB = AC = 8，S△ABC = 16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为_____．
【答案】4
【分析】
利用角平分线定理确定当BF⊥AC时，PB+PE的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.
【详解】
如图，∵AB = AC = 8，AD平分
∴
∴当BF⊥AC时，PB+PE的值最小=BF

∴BF=4
∴PB+PE的最小值为4.
【点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB最小值的情况并画出图形，是解题的关键.
【变式2-2】如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15º，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是__________
【答案】
【分析】
在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH．
【详解】
解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．
∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴PA＋PQ的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【能力提升2】
【提升2-1】如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为___________．
【答案】．．
【分析】
作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．
【详解】
解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，△中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【提升2-2】如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．
【答案】（3，）
【解析】
【分析】
作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，由作图得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM＋PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（6，0），
∴ON＝6，
∵点M是ON的中点，
∴OM＝3，
∴PM＝，
∴P（3，）．
故答案为：（3，）
【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．
【聚焦考点3】
造桥选址问题
构造平行四边形AA`NM，则AM转化为A`N，之后再依据两点之间线段最短，连接A`B即为A、B之间陆地距离的最小值
村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A与B之间的距离最短
A`
特别地：“两动两定”型将军饮马，平行四边形的构造都是为了消除动点间的间距d，所以平行四边形的两邻边中，一边是间距d、另一边是定动线段AM或BN中的一条。
【典例剖析3】
【典例3-1】如图，矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB中点，E，F为OA上两动点，且EF＝2，则四边形CDEF周长最小值为 。
解析提示：
【解答】解：作点D关于OA的对称点M，作MN∥OA，使MN＝2，连接CN，交OA于点E，过M点作MF∥EN，交OA于F，则此时四边形CDEF周长最小；
∵BC＝3，BD＝2，
∴CD＝＝，
∵DF＝MF＝EN，
∴DF+CE＝CN，
∵CN＝＝＝，
∴四边形CDEF周长最小值为CD+EF+CN＝++2．故答案为++2．
【典例3-1】如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE、CF，则△CEF周长的最小值为 。
解析提示：
【解答】解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，
则AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，
∴∠GAC＝90°，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴CE＝AE＝GF，
∴CE+CF＝GF+CF，
∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长，
此时，Rt△ACG中，CG＝＝＝2，
∴CF+FG的最小值等于2，又∵EF＝，
∴△CEF周长的最小值为，故答案为：
针对训练3
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 。
【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB边上截取AM＝PQ，
∵点F是BC的中点，
∴点B关于EF的对称点为点C，
连接CM，交EF于点Q，
则CM即为AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM＝＝5，
∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．
【变式3-2】如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝2，则四边形ABFE周长的最小值为 。
【解答】解：在AB上截取AA′＝EF，作点A′关于直线DC的对称点A″，连接BA″交CD于F，此时四边形AEFB的周长最小．
四边形AEFB的周长的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+A′F+BF＝AB+EF+A″F+BF＝AB+EF+A″B＝8+2+＝20，
故答案为20．
【能力提升3】
【提升3-1】如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16．点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ＝2．则四边形AEPQ周长的最小值为 。（结果保留根号）
【解答】解：如图所示：
将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，
∵菱形ABCD的边长是10，对角线BD＝16，点E是AB的中点，
∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），将A平行向左移动2个单位到A'点，则A'（6，6），作A'关于x轴的对称点F，则F（6，﹣6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ＝2，
此时，四边形AEPQ的周长最小，
∵AE＝＝5，PQ＝2，AQ+EP＝A'P+EP＝FP+EP＝EF，
∴四边形四边形AEPQ的周长＝5+2+＝7+．故答案为：7+．
【提升3-2】已知点A（1，0）函数y＝x+1的图象上有两个动点P、Q，且PQ＝3，求四边形OPQA的周长最小值 。
【解答】解：如图，作AE∥PQ，使得AE＝PQ＝3，作点E关于直线PQ的对称点F，连接OF交直线y＝x+1于P，
此时四边形OAQP的周长最小＝OA+AQ+PQ+OP＝OA+PQ+PE+OP＝OA+PF+OP+PQ＝OA+PQ+OF．
由题意E（﹣2，﹣3），F（﹣4，﹣1），
∴OF＝＝，
∴四边形OAQP的周长的最小值为1+3+．
故答案为：1+3+．
【聚焦考点4】
差值最大型
1.如图，定点A与B在定直线l的同侧（A，B两点到l的距离不相等），在直线上l求作一点P，使的值最大.

如图：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求。此时
最大，最大值为AB的长.
原理：三角形任意两边之差小于第三边.
2.如图，定点A，B在定直线l的异侧（A,B两点到l的距离不相等），在直线l上求作一点P，使的值最大.

作法：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B并延长交直线l于点P，点P即为所求，此时最大，最大值为BA'的长.
原理：三角形任意两边之差小于第三边.
【典例剖析4】
【典例4-1】、已知：A（1，2），B（4，-2），在直线上找一点P，使最大，并求其最大值。

总结：
【简解】A关于直线的对称点为A'(3,0)据知识点3易得的最大值为
A'B=,
【典例4-2】如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值为 。
【解答】解：延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB≥|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB＝＝＝5．∴|PA﹣PB|＝5为最大．故答案为：5．
针对训练4
【变式4-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，的三个顶点A，B，C都在格点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)在直线l上找出一点Q，使得的值最小；（描出该点并标注字母Q）
(3)在直线l上找出一点P，使得的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的选择作图即可；
（2）与直线l上找出一点Q，利用两点之间线段最短可判断Q点满足条件；
（3）连接并延长，交直线l于点P，连接，此时最大．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，点Q即为所求．
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
【能力提升4】
【提升4-1】如图，A、B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离AC＝4，点B到直线l的距离BD＝2，且CD＝6，P为直线CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值是 。
【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．
∴B′D＝BD＝2，∵AC∥B′D，
∴，即，
解得：PD＝6，PC＝6+6＝12，
∴PA＝，PB′＝，
∴|PA﹣PB|的最大值＝2．
类型
问题
作法
图形
原理
异侧型“两定一动”型
连接AB
PA＋PB的最小值为AB，两点之间，线段最短
同侧型“两定一动”型
作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B，A`B与直线l的交点即为点P
AP+BP=A`B，两点之间线段最短
角内部“一定两动”型
分别作点P关于两直线的对称点P`，P``，连接P`P``，与两直线交点即为点M、N
PM+MN+PN=P`P``，两点之间，线段最短
角内部“两定两动”型
分别作点P、Q关于直线l1，l2的对称点P`，Q`，连接P`Q`，与直线的交点即为点M、N
PQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，两点之间线段最短
如图，点P、点Q分别为直线BC、直线AB上的两个动点，求AP＋PQ的最小值
作点A关于直线BC的对称点A`，过点A`作A`Q⊥AB与点Q，A`Q与直线BC交点即为点P
AP+PQ=A`Q，点到直线的距离，垂线段最短