2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第10章　§10.4　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
知识梳理
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
常用结论
1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)＝eq \f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立．( )
(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．( )
2．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，则谜题没被破解出的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,6) D．1
3．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A.eq \f(1,28) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,9) D.eq \f(2,7)
4．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．
题型一 相互独立事件的概率
命题点1 事件相互独立性的判断
例1 (多选)已知A，B为两个随机事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则( )
A．P(A＋B)<1
B．若A，B为互斥事件，则P(AB)＝0
C．若P(AB)＝0.24，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝P(AB)
命题点2 相互独立事件的概率
例2 (多选)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)．( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
概率问题中的递推数列
在概率与统计的问题中，经常会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题的形式出现．主要有四种类型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型．
典例 (多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球n次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论正确的是( )
A．P2＝eq \f(1,2) B．P4＝eq \f(5,8)
C．Pn＝eq \f(1,2)(1－Pn－1) D．Pn＝eq \f(1,3)－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙袋有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是( )
A．P(AB)＝eq \f(1,18)
B．P(C)＝eq \f(1,9)
C．事件A与事件C相互独立
D．事件A与事件D相互独立
(2)某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束)．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1.则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．
题型二 条件概率
命题点1 条件概率
例3 2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密．贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分．贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有eq \f(4,15)的人喜欢吃肠旺面，有eq \f(2,15)的人喜欢吃丝娃娃，还有eq \f(7,10)的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
命题点2 条件概率性质的应用
例4 (多选)设eq \x\t(A)，eq \x\t(B)分别为随机事件A，B的对立事件，已知0A．P(B|A)＋P(eq \x\t(B)|A)＝1
B．P(B|A)＋P(B|eq \x\t(A))＝0
C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝P(B)
命题点3 乘法公式的应用
例5 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为( )
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
跟踪训练2 (1)(多选)甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A1，A2和A3表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．A1，A2，A3是两两互斥的事件
B．P(B)＝eq \f(2,5)
C．事件B与事件A1相互独立
D．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
(2)从－2，－1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数”为事件B.则P(B|A)＝________.
题型三 全概率公式的应用
例6 (1)长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬捕，是著名的吉林八景．某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是eq \f(2,3)，夏季来的概率是eq \f(1,3)，如果冬季来，则看不到长白飞瀑、鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕．无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了一眼望三国景点的概率为( )
A.eq \f(11,15) B.eq \f(16,45) C.eq \f(17,45) D.eq \f(1,3)
(2)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A.eq \f(855,857) B.eq \f(857,1 000) C.eq \f(171,200) D.eq \f(9,10)
跟踪训练3 已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球、一个黄球；黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小质地相同)．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(5,48) D.eq \f(11,48)
课时精练
一、单项选择题
1．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
2．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则P(A＋B)等于( )
A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
4．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为eq \f(3,4)，乙队和丙队答对该题的概率都是eq \f(2,3).若各队答题的结果相互独立且都进行了答题，则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(7,36) D.eq \f(1,6)
5．衣柜里有灰色、白色、黑色、蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出的两只是同一双，则取出的另外两只不是同一双的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(8,15) D.eq \f(8,9)
二、多项选择题
6．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则( )
A．A与B互斥 B．B与C相互独立
C．P(A)＝eq \f(1,6) D．P(AC)＝eq \f(1,36)
7．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是( )
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为eq \f(1,3)
三、填空题
8．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为eq \f(2,3)；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为eq \f(1,2).假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为________．
19．从1,2,3,4,5,6,7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
四、解答题
10．世界杯小组赛中，A，B，C，D四支球队被分到同一组进行循环赛(每两队间进行一场比赛，获胜的球队积3分，平局两队各积1分，落败的球队积0分)．已知四支球队实力相当，每支球队在每场比赛中胜、负、平的概率分别为0.4,0.4,0.2.
(1)求A队踢完三场比赛后积分不少于6分的概率；
(2)求四支球队比完后积分相同的概率．
11．人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为eq \f(1,2)(先验概率)．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．