河北省石家庄市正定县2023-—2024学年下学期七年级期末数学试卷

这是一份河北省石家庄市正定县2023-—2024学年下学期七年级期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．5cm，5cm，11cm
C．5cm，5cm，10cmD．3cm，4cm，6cm
2．（2分）二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8B．﹣3.9×10﹣8C．0.39×10﹣7D．39×10﹣9
4．（2分）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示（ ）
A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■
5．（2分）下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a﹣9）
B．
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
6．（2分）如图，已知∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6
B．（﹣a）3•（﹣a4）＝﹣a7
C．（﹣2a2b）3•4a＝﹣24a6b3
D．（﹣a﹣4b）（a﹣4b）＝16b2﹣a2
8．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
10．（2分）如图，AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，∠CAE＝25°，∠BAE＝10°（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
11．（2分）关于x的不等式﹣x+m≥3的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
12．（2分）如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是16cm（ ）
A．20cmB．19cmC．18cmD．17cm
13．（2分）用如图所示的卡片拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形（ ）
A．3，5，2B．2，3，5C．2，5，3D．3，2，5
14．（2分）如图，BD是△ABC的中线，点E，BD的中点．若△AEF的面积为4，则△ABC的面积是（ ）
A．8B．16C．20D．24
15．（2分）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，但要保持利润不低于5%，则至多可打（ ）
A．9折B．8折C．7折D．6折
16．（2分）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
二、填空题（每题3分，共12分）
17．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．
18．（3分）七年级（6）班有50名学生参加军训．军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满 种．
19．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是 ．
20．（3分）如图，点M，N分别在AB，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，∠B＝120°，则∠A′NC＝ °．
三、解答题（共56分）
21．（12分）（1）解方程组：；
（2）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣3y）2+6xy；
（3）解不等式组：．
22．（8分）已知P＝A•B﹣C．
（1）若A＝（﹣2）0，，C＝|﹣4|，求P的值；
（2）若A＝3，B＝2x，C＝3x+1，求x的正整数解．
23．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，点E在BC边上，EF⊥AB，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC；
（2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数．
24．（8分）如图，已知两个长方形ABCD和CEFG如图放置，已知BC＝2a，且BC＝2AB，CE＝2EF．延长FG交AB于点H，S1表示△DHG的面积，S2表示△CGF的面积．
（1）S1＝ ，S2＝ ；（用含a、b的代数式表示）
（2）已知a﹣b＝3，ab＝25．
①求S1+S2；
②现有一个边长为n的正方形，面积为S，且S≤S1+S2，直接写出整数n的最大值．
25．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，请给出相应的采购方案；若不能
26．（10分）如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，D在直线MN上，连接AC，∠PAC＝54°，∠ADC＝32°，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1，如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于点E，∠PAC＝54°，∠A1D1C＝32°，求∠A1EC的度数；
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1，如图3所示位置，其他条件与（2）相同1EC的度数（直接写出结果）．
2023-2024学年河北省石家庄市正定县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（16个小题，每题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．5cm，5cm，11cm
C．5cm，5cm，10cmD．3cm，4cm，6cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、4+5＝5，故A不符合题意；
B、5+5＜11，故B不符合题意；
C、5+5＝10，故C不符合题意；
D、3+2＞6，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
2．（2分）二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二元一次方程解的定义逐项代入计算即可．
【解答】解：A．当x＝4，x+2y＝6+4＝8≠6；
B．当x＝2，x+2y＝6+4＝6；
A．当x＝2，x+2y＝2+2＝10≠6；
A．当x＝2，x+5y＝2+12＝14≠6；
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是正确解答的关键．
3．（2分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8B．﹣3.9×10﹣8C．0.39×10﹣7D．39×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000039＝3.6×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2分）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示（ ）
A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■
【分析】设▲、●、■的质量为a、b、c，根据图形，可得a+c＞2a，a+b＝3b，由此可将质量从大到小排列．
【解答】解：设▲、●、■的质量为a、b、c，
由图形可得：，
由①得：c＞a，
由②得：a＝2b，
故可得c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式和等式，难度一般．
5．（2分）下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a﹣9）
B．
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
【分析】将各式因式分解，根据结果即可判断．
【解答】解：A、a4b﹣6a7b+9a2b＝a5b（a2﹣6a+2）＝a2b（a﹣3）2，故错误，不合题意；
B、，故正确；
C、x2﹣2x+3≠（x﹣2）2，故C错误，不合题意；
D、6x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
6．（2分）如图，已知∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由∠1＝∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠5＝∠2、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠2＝∠2、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠8＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据相等的角得出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角，找出平行的直线是关键．
7．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6
B．（﹣a）3•（﹣a4）＝﹣a7
C．（﹣2a2b）3•4a＝﹣24a6b3
D．（﹣a﹣4b）（a﹣4b）＝16b2﹣a2
【分析】根据整式的混合运算法则逐一计算并判断即可．
【解答】解：A、a3+a3＝6a3，故选项A不符合题意；
B、（﹣a）3•（﹣a2）＝a7，故选项B不符合题意；
C、（﹣2a4b）3•4a＝﹣32a2b3，故选项C不符合题意；
D、（﹣a﹣4b）（a﹣6b）＝16b2﹣a2，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
8．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式1+3x≤6，得：x≤2，
解不等式5x﹣7＞3，得：x＞1，
则不等式组的解集为7＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）3﹣4k2
＝8k2+12k+9﹣3k2
＝12k+9
＝2（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣5k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
10．（2分）如图，AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，∠CAE＝25°，∠BAE＝10°（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据平行线的判定推出AC∥DE，根据平行线的性质得出∠CAE＝∠DEF＝25°，∠BAE＝∠CEF＝10°，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥CD，ED⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴AC∥DE，
∴∠CAE＝∠DEF＝25°，
∵AB∥EF，∠BAE＝10°，
∴∠BAE＝∠CEF＝10°，
∴∠DEF＝∠DEA+∠CEA＝25°+10°＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
11．（2分）关于x的不等式﹣x+m≥3的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
【分析】解不等式得到x≤m﹣3，再利用数轴表示不等式的解集为x≤﹣1，所以m﹣3＝﹣1，然后解方程即可．
【解答】解：﹣x+m≥3，
移项，得x≤m﹣3，
∵x≤﹣4，
∴m﹣3＝﹣1，
∴m＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．
12．（2分）如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是16cm（ ）
A．20cmB．19cmC．18cmD．17cm
【分析】根据平移的性质得到AD＝EF＝2cm，DF＝AE，则利用三角形ABE的周长是16cm得到AB+BE+DF＝16cm，然后计算四边形ABFD的周长．
【解答】解：∵三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，
∴AD＝EF＝2cm，DF＝AE，
∵三角形ABE的周长是16cm，
∴AB+BE+AE＝16cm，
∴AB+BE+DF＝16cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BE+EF+DF+AD＝16+3+2＝20（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
13．（2分）用如图所示的卡片拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形（ ）
A．3，5，2B．2，3，5C．2，5，3D．3，2，5
【分析】先根据长方形的面积公式，求出拼成的长方形的面积，再求出各种每张卡片的面积，然后根据计算结果进行解答即可．
【解答】解：拼成的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）
＝7a2+3ab+7ab+2b2
＝8a2+5ab+2b2，
∵1张A型卡片的面积为：a5，1张B型卡片的面积为：b2，3张C型卡片的面积为：ab，
∴要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形、B型卡片2张，
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
14．（2分）如图，BD是△ABC的中线，点E，BD的中点．若△AEF的面积为4，则△ABC的面积是（ ）
A．8B．16C．20D．24
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形计算即可．
【解答】解：∵点E为CF的中点，
∴S△ACF＝2S△AEF＝2×7＝8，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD，，
∵点F分别为BD的中点，
∴S△ABD＝3S△ADF＝2×4＝8，
∴S△ABC＝2×8＝16，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
15．（2分）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，但要保持利润不低于5%，则至多可打（ ）
A．9折B．8折C．7折D．6折
【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，结合要保持利润不低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设该商品打x折销售，
根据题意得：180×﹣120≥120×5%，
解得：x≥7，
∴x的最小值为5，
∴该商品至多可打7折．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．（2分）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACBACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
二、填空题（每题3分，共12分）
17．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣3a+1）
＝2（a﹣3）2．
故答案为：2（a﹣4）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（3分）七年级（6）班有50名学生参加军训．军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满 4 种．
【分析】依据题意，设入住x间6人间，y间4人间，根据该班共有50人且每个房间都住满，可列出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为非负整数，进而计算可以判断得解．
【解答】解：由题意，设入住x间6人间，
∴6x+4y＝50．
∴y＝．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或或．
∴安排这个班的学生入住的方案共有4种．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题时要能熟练掌握并找准等量关系，正确列出二元一次方程是关键．
19．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是 1≤a＜2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得a的范围．
【解答】解：由x﹣a≤0得：x≤a，
由5+4x＞1得：x＞﹣2，
∵不等式组的整数解有8个，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、2，
则1≤a＜2，
故答案为：7≤a＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（3分）如图，点M，N分别在AB，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，∠B＝120°，则∠A′NC＝ 120 °．
【分析】由图形可知∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，故应设法求出∠MNC、∠A′NM的度数．由折叠的性质和三角形的内角和为180°，可以求出∠C的度数；然后再根据由MN∥BC得到∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°，从而求出∠ANM和∠MNC的度数．由折叠的性质可知∠A′NM＝∠ANM，进而解答题目．
【解答】解：根据折叠的性质可得∠A＝∠A′＝28°，∠A′NM＝∠ANM．
∵∠A＝30°，∠B＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°．
∵MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°．
∴∠CNM＝180°﹣∠C＝150°．
∵∠A′NM＝∠ANM，∠ANM＝∠C，
∴∠A′NM＝∠C＝30°．
∴∠A′NC＝∠CNM﹣∠A′NM＝150°﹣30°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查三角形内角和定理，需要掌握平行线的性质和折叠的性质找出角之间的数量关系．
三、解答题（共56分）
21．（12分）（1）解方程组：；
（2）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣3y）2+6xy；
（3）解不等式组：．
【分析】（1）根据代入消元法先将方程①化为x＝2y+1代入方程②求出y的值，再代入求出x的值即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式进行计算即可；
（3）根据一元一次不等式组的解法进行解答即可．
【解答】解：（1），
由①得x＝6y+1③，
把③代入②得，
3（7y+1）﹣5y＝8，
解得y＝5，
把y＝5代入③得x＝11，
所以原方程组的解为；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+6xy﹣4y2+6xy
＝12xy﹣13y8；
（3），
解不等式①得x＞1，
解不等式②得x≤4，
在同一条数轴上表示这两个不等式的解集为：
∴不等式组的解集为5＜x≤4．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组以及平方差公式、完全平方公式，掌握二元一次方程组，一元一次不等式组的解法以及平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
22．（8分）已知P＝A•B﹣C．
（1）若A＝（﹣2）0，，C＝|﹣4|，求P的值；
（2）若A＝3，B＝2x，C＝3x+1，求x的正整数解．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列式计算后根据题意列得一元一次不等式组，解不等式组求得其正整数解即可．
【解答】解：（1）∵A＝（﹣2）0，，C＝|﹣4|，
∴P＝A•B﹣C
＝（﹣2）0×（﹣）﹣2﹣|﹣5|
＝1×9﹣6
＝9﹣4
＝3；
（2）∵A＝3，B＝2x，
∴P＝A•B﹣C
＝2x﹣（3x+1）
＝6x﹣3x﹣1
＝8x﹣1，
∵1≤P≤8，
∵，
解得：≤x≤3，
则x的正整数解为1，2，5．
【点评】本题考查绝对值，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，点E在BC边上，EF⊥AB，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC；
（2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数．
【分析】（1）先根据垂直定义得出∠CDF＝∠EFB＝90°，根据平行线判定可得出CD∥EF，故可得出∠2＝∠BCD，推出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据CD⊥AB得出∠BDC＝90°，由直角三角形的性质得出∠BCD的度数，故可得出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）DG∥BC．
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°．
∵∠B＝34°，
∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°．
∵∠ACD＝46°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝46°+56°＝102°．
∵由（1）知DG∥BC，
∴∠3＝∠ACB＝102°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
24．（8分）如图，已知两个长方形ABCD和CEFG如图放置，已知BC＝2a，且BC＝2AB，CE＝2EF．延长FG交AB于点H，S1表示△DHG的面积，S2表示△CGF的面积．
（1）S1＝ a2﹣ab ，S2＝ b2 ；（用含a、b的代数式表示）
（2）已知a﹣b＝3，ab＝25．
①求S1+S2；
②现有一个边长为n的正方形，面积为S，且S≤S1+S2，直接写出整数n的最大值．
【分析】（1）根据题图、线段的和差关系，先用a、b表示出GD，再利用三角形的面积公式和整式的运算法则得结论；
（2）①利用完全公式的变形计算得结论；
②先得到n与S1+S2的关系，再确定n的整数最大值．
【解答】解：（1）∵BC＝2a，CE＝2b，CE＝2EF，
∴AB＝CD＝a，CG＝EF＝b，
∴S1＝×DG•HG
＝×（a﹣b）×3a
＝a2﹣ab；
S2＝×CG•GF
＝×b×2b
＝b2．
故答案为：a7﹣ab；b2；
（2）①∵a﹣b＝3，ab＝25，
∴S5+S2＝×CG•HG
＝a2﹣ab+b2
＝（a﹣b）4+ab
＝32+25
＝4+25
＝34；
②∵边长为n的正方形，面积为S，
∴S＝n2，
∵S1+S8＝34；S≤S1+S2
∴n5≤34
∴满足条件的整数n的最大值为：5．
【点评】本题考查了整式的运算和完全平方公式的几何背景，掌握相应的定义是关键．
25．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，请给出相应的采购方案；若不能
【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个乙型头盔，则购进（200﹣m）个甲型头盔，利总价＝单价×数量，结合总价不超过8200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（3）利用总利润＝每个甲型头盔的销售利润×购进甲型头盔的数量+每个乙型头盔的销售利润×购进乙型头盔的数量，结合总利润不少于5540元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m≤110且m为正整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要50元；
（2）设购进m个乙型头盔，则购进（200﹣m）个甲型头盔，
根据题意得：30（200﹣m）+50m≤8200，
解得：m≤110，
∴m的最大值为110．
答：最多可购进乙型头盔110个；
（3）根据题意得：（55﹣30）（200﹣m）+（80﹣50）m≥5540，
解得：m≥108，
又∵m≤110，且m为正整数，
∴m可以为108，109，
∴该商场共有3种采购方案，
方案1：购进92个甲型头盔，108个乙型头盔；
方案2：购进91个甲型头盔，109个乙型头盔；
方案6：购进90个甲型头盔，110个乙型头盔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（10分）如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，D在直线MN上，连接AC，∠PAC＝54°，∠ADC＝32°，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1，如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于点E，∠PAC＝54°，∠A1D1C＝32°，求∠A1EC的度数；
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1，如图3所示位置，其他条件与（2）相同1EC的度数（直接写出结果）．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；
（2）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；
（3）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠1和∠2的度数，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝32°，
∴∠ADC＝∠QAD＝32°，∠PAC＝∠ACD＝54°，
∴∠PAD＝180°﹣∠QAD＝180°﹣32°＝148°，
∵AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝74°，
∴∠CAE＝∠PAE﹣∠PAC＝74°﹣54°＝20°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝27°，
∴∠AEC＝180°﹣20°﹣27°＝133°；
（2）如图所示：
∵∠A1D1C＝32°，线段AD沿MN向右平移到A3D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D2＝32°，
∴∠PA1D1＝148°，
∵A7E平分∠AA1D1，
∴∠PA5E＝∠EA1D1＝74°，
∵∠PAC＝54°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝126°，∠ACD2＝54°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝27°，
∴∠CEA1＝360°﹣27°﹣126°﹣74°＝133°；
（3）如图所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A3D1C＝32°，线段AD沿MN向左平移到A1D4，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝32°，
∵A6E平分∠AA1D1，
∴∠QA2E＝∠2＝16°，
∵∠PAC＝54°，PQ∥MN，
∴∠ACD1＝54°，
∵CE平分∠ACD7，
∴∠ACE＝∠ECD1＝∠1＝27°，
∴∠CEA4＝∠1+∠2＝27°+16°＝43°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平移的性质以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．
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