2025年高考数学一轮复习-9.3-随机事件的概率与古典概型【课件】

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1. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互 为对立事件的是（　　）
解析：　连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有 一次中靶；③两次都没有中靶，故选D.
2. （教材题改编）把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有 496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为 （　　）
解析：　掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.
3. 从集合{1，2，4}中随机抽取一个数 a ，从集合{2，4，5}中随机抽 取一个数 b ，则向量 m ＝（ a ， b ）与向量 n ＝（2，－1）垂直的概 率为（　　）
　若事件 A 1， A 2，…， An 两两互斥，则 P （ A 1∪ A 2∪…∪ An ）＝ P （ A 1）＋ P （ A 2）＋…＋ P （ An ）.
　某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占 总产量的0.20，0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95， 0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格产 品的概率是 ⁠.
解析：由结论可知： P ＝0.2×（1－0.95）＋0.25×（1－0.96）＋0.3× （1－0.97）＋0.25×（1－0.98）＝0.034.
精选考点 典例研析 技法重悟通
1. （多选）下列各组事件中是互斥事件的是（　　）
解析：　对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与 命中环数小于6不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件.对于B， 设事件 A 1为平均分不低于90分，事件 A 2为平均分不高于90分，则 A 1∩ A 2为平均分等于90分， A 1， A 2可能同时发生，故它们不是互斥 事件.对于C，播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒不可能同时发 生，故C中两事件为互斥事件.对于D，检验某种产品，合格率高于 70％与合格率低于70％不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件. 故选A、C、D.
2. 口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取 出3个球，则互斥而不对立的事件是（　　）
解析：　对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1 个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球 与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生.所以为互斥事件， 且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥.如取出2个红球 和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意； 对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事 件，但不对立，如恰有3个红球.
3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： Ci ＝“点数为 i ”， 其中 i ＝1，2，3，4，5，6； D 1＝“点数不大于2”； D 2＝“点数 大于2”； D 3＝“点数大于4”，则下列结论正确的个数为 ⁠.
（1） C 1与 C 2互斥；（2） C 2， C 3为对立事件；（3） C 3⊆ D 2； （4） D 3⊆ D 2；（5） D 1∪ D 2＝Ω， D 1∩ D 2＝⌀；（6） D 3＝ C 5∪ C 6.
解析：该试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，由题意知 Ci ＝{ i }， D 1＝{1，2}， D 2＝{3，4，5，6}， D 3＝{5，6}. （1） C 1＝{1}， C 2＝{2}，满足 C 1∩ C 2＝⌀，所以 C 1与 C 2互 斥，故正确.（2） C 2＝{2}， C 3＝{3}，满足 C 2∩ C 3＝⌀但不 满足 C 2∪ C 3＝Ω，所以为互斥事件，但不是对立事件，故错 误.根据对应的集合易得，（3）（4）（5）正确.（6） C 5∪ C 6＝{5，6}，所以 D 3＝ C 5∪ C 6，故正确.故正确的个数为5.
练后悟通事件关系判断的策略（1）判断事件的包含、交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二 是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时 可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系运用Venn 图分析事件；
（2）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发 生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生， 则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.反之互斥 事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事 件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发 生，即有且仅有一个发生.
【例1】　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成 本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价 格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 （单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最 高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20， 需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各 天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元），当六月份 这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估 计 Y 大于零的概率.
解题技法1. 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率 是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大 小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2. 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件 发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
　某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称 为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统 计表：
（1）记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P （ A ）的估计值；
（2）记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基 本保费的160％”，求 P （ B ）的估计值；
（3）求续保人本年度平均保费的估计值.
调查的200名续保人的平均保费为0.85 a ×0.30＋ a ×0.25＋1.25 a ×0.15＋1.5 a ×0.15＋1.75 a ×0.10＋2 a ×0.05＝1.192 5 a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5 a .
【例2】　（1）（2024·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中 高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则 这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
（2）（2024·新高考Ⅰ卷5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的 数，则这2个数互质的概率为（　　）
2. 求样本空间中样本点个数的方法（1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的 问题；（2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求 样本点总数和事件 A 包含的样本点个数的问题时直观、方 便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造 成遗漏或重复；（3）排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排 列、组合的知识.
1. （2024·全国乙卷9题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参 赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽 到不同主题的概率为（　　）
2. （2024·全国甲卷15题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点 在同一个平面的概率为 ⁠.
互斥事件与对立事件的概率
【例3】　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个. 设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A ， B ， C ，求：
（1）1张奖券的中奖概率；
（2）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解题技法互斥事件概率的两种求法（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件 概率的加法公式求解概率；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分 类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概 率，即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至 多”型事件的概率.
　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
求：（1）至多2人排队等候的概率；
解：记“无人排队等候”为事件 A ，“1人排队等候”为事件 B ，“2人排队等候”为事件 C ，“3人排队等候”为事件 D ， “4人排队等候”为事件 E ，“5人及5人以上排队等候”为事件 F ，则事件 A ， B ， C ， D ， E ， F 彼此互斥.
记“至多2人排队等候”为事件 G ，则 G ＝ A ∪ B ∪ C ，所以 P （ G ）＝ P （ A ∪ B ∪ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ C ）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）至少3人排队等候的概率.
解：法一　记“至少3人排队等候”为事件 H ，则 H ＝ D ∪ E ∪ F ，所以 P （ H ）＝ P （ D ∪ E ∪ F ）＝ P （ D ）＋ P （ E ）＋ P （ F ）＝ 0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二　记“至少3人排队等候”为事件 H ，则其对立事件为事件 G ， 所以 P （ H ）＝1－ P （ G ）＝0.44.
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 下列说法正确的是（　　）
3. （2024·成都模拟）某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线生产7 nm规格的芯片.现有25块该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯 片数量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙生产的芯片的优质品 率分别为0.8，0.8，0.7，则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片 为优质品的概率是（　　）
4. 《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦 由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线）， 现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（　　）
5. （多选）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中 一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随 机抽查一件产品，设事件 A 为“是一等品”， B 为“是合格品”， C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（　　）
6. （多选）下列说法正确的是（　　）
解析：　对于A，事件 A 与 B 互斥时， A ∪ B 不一定是必然事 件，故A错误；对于B，事件 E 与 F 不会同时发生，所以 E 与 F 是互 斥事件，但除了事件 E 与 F 之外还有事件“丙取到《红楼 梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以 E 与 F 不是对立事件，故 E 与 F 是互斥但不对立事件，故B正确；对于C，事件 A ＝{1，2，3， 4，5}，事件 B ＝{2，3，5}，所以 B 包含于 A ，故C正确；对于D， 样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.
7. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇 数的概率为 ；以第一次向上的点数为横坐标 x ，第二次向上 的点数为纵坐标 y 的点（ x ， y ）在圆 x 2＋ y 2＝15的内部的概率 为 ⁠.
8. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有 39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图 所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为 ，他 至多参加2个小组的概率为 ⁠.
9. 在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， D 为侧棱 CC 1的中点，从该三棱柱的九 条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线 BD 异面的概率是（　　）
10. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验 舱，假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中 天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲 乙两人安排在同一个舱内的概率为（　　）
11. （多选）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分 钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是（　　）
解析：　对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间 为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B， 线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39 分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋ 60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正 确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路 二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选 项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、 线路二的时间可以为（50，60），（60，50）和（60，60）三种 情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以选项D正确.
13. 某市 A ， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了3名男 生、2名女生， B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学 生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中 随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求 A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参 赛女生人数不少于2人的概率.
14. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量 越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配 方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100件这种产 品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表
B 配方的频数分布表
（1）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；