湖南省雅礼教育集团（七校）2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省雅礼教育集团（七校）2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设i为虚数单位，复数z满足，则为
A. B. 5C. 2D.
3.设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是( )
A. 内有无数条直线与平行B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线D. ，垂直于同一条直线
4.定义在R上的函数满足，且，则( )
A. B. 0C. 1D. 3
5.已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为( )
A. 2B. C. D.
6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为米．
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为乙班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为，你认为下列说法中正确的是( )
A. 平均来说乙班比甲班防守技术好
B. 乙班比甲班防守技术更稳定
C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差
D. 甲班很少不失球
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是( )
A. 若，则M与N不互斥B. 若，则M与N相互独立
C. 若，则M与N互斥D. 若，则M与N相互独立
11.如图，在四边形ABCD中，和是全等三角形，，，，下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥.折法①将沿着AC折起，得到三棱锥，如图折法②将沿着BD折起，得到三棱锥，如图下列说法正确的是
A. 按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为
B. 按照折法①，存在满足
C. 按照折法②，三棱锥体积的最大值为
D. 按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当且时，函数的图象一定经过定点__________.
13.如图所示，已知平面ABC，，，则__________.
14.已知向量，满足，，则的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知函数
求的最小正周期
求的最小值以及取得最小值时x的集合.
16.本小题12分
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
求角
若，，AD是中线，求AD的长.
17.本小题12分
我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.
根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数;
如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?
18.本小题12分
如图，在长方体中，，，点M和点N在棱上，且
求证：平面
求证：
19.本小题12分
已知平面四边形ABCD，，，，现将沿BD边折起，使得平面平面BCD，此时，点P为线段AD的中点.
求证：平面
若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值;
在的条件下，求二面角的平面角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了集合的表示方法以及集合的基本运算，属于基础题．
先求出集合M，再根据交集运算即可求得结论．
【解答】
解：集合，
，
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数，属于基础题.
利用复数的除法法则求出复数z，再求出，利用复数的乘法运算，即可求出结果.
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．
由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．
【解答】
解：内有无数条直线与平行不能得出，内的所有直线与平行才能得出：
，垂直于同一平面或，平行于同一条直线，不能确定，的位置关系：
，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂于某条直线，则也垂于该条直线.
故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题重点考查利用函数的周期性求函数值，属于基础题.
求出周期，利用周期性即可求解.
【解答】
解：因为，
则，
从而，即以4为周期，
故
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了投影向量，属于基础题.
【解答】
解：根据定义可知：在方向上的投影向量为，答案选C。
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三棱柱的结构特征，以及外接球表面积的求解，属于基础题
由题意作出图形，易知球心在三棱柱上、下底面的中心O，连线的中点处，利用几何关系即可求出答案．
【解答】
解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为
设O，分别为下、上底面的中心，且球心为的中点，
又，，，设球的半径为R，
则，
所以
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.
设该球体建筑物的高度为x，球心为O，用x表示出OB的长度，再在中，结合正弦定理进行计算即可.
【解答】
解：设该球体建筑物的高度为x，球心为O，连接OA，OB，OC，如图，
在中，，，
则，
在中，，，，，
由正弦定理可得，
则
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的截面问题截面形状、面积，利用余弦定理解三角形，属于中档题.
根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答.
【解答】
解：
在正四棱锥 中，连接 AC ，则 ， 是正三角形，由 SC 的中点为E，得 ，
而 ，则 ，在 中， ，
，令平面 与直线 SB 交于 F ，连 ，则 ，
，即点 F 在棱 SB 上，同理平面 与棱 SD 相交，令交点为 G ，连 ，
于是四边形 AFEG 为平面 截正四棱锥 所得的截面，由对称性知 ≌ ，
在 中， ，而 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
在 中， ， ，
所以所得截面面积 .
故选：A
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查平均数、标准差，属于基础题.
【解答】
解：A从平均数角度考虑是对的;
B从标准差角度考虑是错的;
C从标准差角度考虑是对的;
D从平均数和标准差角度考虑是对的.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查互斥事件与对立事件的相关知识，属于中档题.
若，写出对应的样本空间即可判断A和B；若，写出对应的样本空间，即可判断C和
【解答】
解：若，样本空间为正,正正,反反,正反,反，正,反反,正，正,正正,反反,正，正,反反,正，则M与N不互斥，，
于是，所以M与N不相互独立，则A正确、B错误；
若，样本空间为正,正,正正,正,反正,反,正反,正,正正,反,反反,正,反反,反,正反,反,反，正,正,反正,反,正反,正,正正,反,反反,正,反反,反,正，正,正,正正,正,反正,反,正反,正,正，正,正,反正,反,正反,正,正，则M与N不互斥，，于是，所以M与N相互独立，则C错误，D正确.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥的结构特征，球的表面积，棱锥体积，线面角的求解，属于中档题.
由已知利用棱锥的结构特征，球的表面积判断A；由棱锥棱锥结构特征判断B；由棱锥体积判断C；由线面角的定义求出大小判断
【解答】解：由题意知，，
取AC的中点O，由于和是直角三角形且全等，
故，
故在折法①的折叠过程中，三棱锥的外接球的球心为O，半径为1，
故该球的表面积恒为，故A选项正确；
按照折法①，在折起过程中，点在平面ABC内的投影在线段BD上不包括端点，
而线段不包括端点不存在使得，故不存在满足，故B选项错误；
按照折法②，取BD的中点H，，
当平面平面BCD时，三棱锥体积取得最大值，
此时体积，故C选项正确;
当时，，，
故此时，，
又因为，平面，
故平面，
故为BC与平面所成线面角，
则，故D选项正确.
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．
利用指数函数的性质即可求解．
【解答】
解：当且时，令得，，此时，
函数的图象一定经过定点
故答案为：
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查向量的模的求法，考查数形结合的思想，属于基础题.
由题意，可得，计算，从而得出结果.
【解答】解：已知平面，
AB，BC在平面ABC内，所以，
三角形ABC中，，
则，
，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量模的坐标表示、向量数量积与向量的垂直关系。
根据题意可得，即可建立平面直角坐标系，设，，由得，则，结合三角函数设，利用三角函数的性质即可求得最值.
【解答】
解：取平行四边形OACB，连接OC

设，则，
因为向量，满足，所以，即，
设，，如图以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则
所以，则，故，
所以
因为，又，可设
即，所以，其中，所以，所以
故的最大值为，即的最大值为
故选：
15.【答案】解：由得，
所以；
由知，此时，即，
故x的集合为
【解析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数的周期公式即可求得答案；
根据正弦函数的性质即可求得答案．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】解：因为，由正弦定理可知：，
，
，
又A为三角形内角，所以
由，得，又，在中由余弦定理得：
，
所以

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，向量数量积，属于中档题.
17.【答案】解：第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，
第四组的频率为，第五组的频率为，
所以中位数在第三组，不妨设为x，则，解得，
平均数为；
根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，
所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，
将三名优秀学生分别记为，两名良好的学生分别记为，
则这5人中选2人的基本事件有：共10种，
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，
所以至少有一人是“优秀”的概率是

【解析】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，简单的古典概型计算，是中档题.
计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x，进而根据求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.
由分层抽样得良好”的学生有2人，“优秀”的学生有3人，进而根据古典概型求解即可.
18.【答案】解：在长方体中，，
点M和点N在棱上，且，
连接AC、BD，设，连接ON，则O为AC的中点，
又N为CM的中点，所以，
又平面BDN，平面BDN，
所以平面
在长方体中，，
则ABCD为正方形，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
，，平面，
所以平面，
平面，所以，
又，，，，
所以，所以∽，
所以，
又，
所以，
所以，
又，BD，平面BDN，
所以平面BDN，
又平面BDN，所以

【解析】本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判定和线面垂直的性质，是中档题.
连接AC、BD，设，连接ON，易得，由线面平行的判定即可得证；
先证明平面BDN，由线面垂直的性质即可得证.
19.【答案】证明：，，
为等边三角形，
为AD中点，，
取BD中点E，连接AE，则，
平面平面BCD，平面平面，平面ABD，
平面BCD，又平面BCD，
又，，AD、平面ABD，
平面
平面ABD，
又，CD、平面ACD，
平面
解：过点M作，垂足为如图所示
由知，平面
因为平面ACD，所以
又，平面BPC，所以平面BPC，
所以为MP与平面BPC所成角.
由知，平面平面ABD，所以
在中，，
，
因为M为CD的中点，所以
在中，，
在中，，
在中，，
所以
所以MP与平面BPC所成角的正弦值为
取ED的中点为O，连接PO，因为P为线段AD的中点，
所以，
由知，平面BCD，所以平面
又平面BCD，所以
过点P作，垂足为G，连接
，平面POG，
所以平面
又平面POG，所以，
所以为二面角的平面角.
在中，，
由知，为等边三角形，P为线段AD的中点，
所以
由知，平面
又平面ACD，所以
在中，，由知，，
即，解得
因为平面BCD，平面BCD，所以
在中，
所以二面角的平面角的余弦值为

【解析】本题考查线面垂直的判定，考查空间中线面角、二面角的求解问题，题目较难.
取BD中点E，连接AE，推导出，，由此可证明平面
过点M作，垂足为H，则为MP与平面BPC所成角，从而通过解三角形可得；
取ED的中点为O，连接PO，过点P作，垂足为G，连接OG，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得.