第07讲 有理数的除法（3个知识点+5个考点+易错分析）（原卷版+解析版）-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

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知识点1.有理数除法法则（重点）
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【例1】计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－eq \f(1,4))；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
解析：采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．
解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(2)12÷(－eq \f(1,4))＝－(12÷eq \f(1,4))＝－48；
(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.
方法总结：注意先确定运算的符号．根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算．本题属于基础题，考查对有理数的除法运算法则掌握的程度．
【变式1-1】计算−4÷2的结果是（ ）
A．−2B．2C．−6D．−8
【答案】A
【分析】根据有理数的除法法则求解即可.
【详解】解：−4÷2=−2；
故选：A.
【点睛】本题考查了有理数的除法，属于应知应会题型，熟知有理数的除法法则是解题的关键.
【变式1-2】计算：___________×−6=−54．
【答案】9
【分析】根据乘法法则的关系进行解答便可．
【详解】解：∵−54÷(−6)=9，
∴9×(−6)=−54，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数乘法，有理数除法，熟记乘除法运算的互逆关系是解题的关键．
【变式1-3】．在−2，3，−4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______．
【答案】−6
【分析】取异号两数相除，商绝对值较大．
【详解】解：根据题意得，
商最小的是：12÷(−2)=−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．
【例2】计算：
(1)(－18)÷(－eq \f(2,3))； (2)16÷(－eq \f(4,3))÷(－eq \f(9,8))．
解析：本题可采用有理数的除法：除以一个数就等于乘以这个数的倒数解答．
解：(1)(－18)÷(－eq \f(2,3))＝(－18)×(－eq \f(3,2))＝18×eq \f(3,2)＝27；
(2)16÷(－eq \f(4,3))÷(－eq \f(9,8))＝16×(－eq \f(3,4))×(－eq \f(8,9))＝16×eq \f(3,4)×eq \f(8,9)＝eq \f(32,3).
方法总结：此题考查了有理数的除法运算，有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算来求．
【变式2-1】把−43÷−54转化为乘法是（ ）．
A．53B．−43×−45C．−43×45D．−43×−54
【答案】B
【分析】根据有理数的除法运算可进行求解．
【详解】解：−43÷−54=−43×−45，
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键．
【变式2-2】两个数的积是−29，其中一个是−16，则另一个是______．
【答案】43
【分析】根据题意列出算式即可求解．
【详解】解：依题意−29÷−16=−29×−6=43，
故答案为：43．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，根据题意列出算式是解题的关键．
【变式2-3】计算：
(1)(−0.5)÷(−14) (2)(−1.25)÷14
(3)47÷(−12) (4)−378÷−7÷−9
(5)(−0.75)÷54÷(−0.3) (6)(−3.2)÷965
(7)(−914)÷2.5
【答案】(1)2，(2)−5，(3)−121，(4)−6，(5)2，(6)−16，(7)−935
【分析】（1）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（3）根据有理数除法法则计算即可；
（4）根据有理数除法法则计算即可；
（5）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可．
【详解】（1）解：(−0.5)÷(−14)=12×4=2．
（2）解：(−1.25)÷14=−54×4=−5．
（3）解：47÷(−12)=−47×112=−121．
（4）解：−378÷−7÷−9=−378×17×19=−6．
（5）解：(−0.75)÷54÷(−0.3)=34×45×103=2．
（6）解：(−3.2)÷965=−165×596=−16．
（7）解：(−914)÷2.5=−914×25=−935．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键．
知识点2.有理数的乘除混合运算（重点）
有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.
注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算
【例3】计算：
(1)－2.5÷eq \f(5,8)×(－eq \f(1,4))； (2)(－eq \f(4,7))÷(－eq \f(3,14))×(－1eq \f(1,2))．
解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．
解：(1)原式＝－eq \f(5,2)×eq \f(8,5)×(－eq \f(1,4))＝eq \f(5,2)×eq \f(8,5)×eq \f(1,4)＝1；
(2)原式＝(－eq \f(4,7))×(－eq \f(14,3))×(－eq \f(3,2))＝－(eq \f(4,7)×eq \f(14,3)×eq \f(3,2))＝－4.
方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．
【变式3-1】计算−1÷−5×−15的结果是（ ）
A．−125B．125C．−1D．1
【答案】A
【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可
【详解】解：−1÷−5×−15
=15×−15
=−125．
故选：A．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键．
【变式3-2】计算：−48÷7×17=_____________．
【答案】−4849
【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可．
【详解】解：−48÷7×17=−48×17×17=−4849，
故答案为：−4849．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算．解题的关键在于明确运算顺序．易错点是先计算乘法然后计算除法．
【变式3-3】计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
(3)−72×−23×−35÷−815．
【答案】(1)18
(2)−5
(3)54
【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；
（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；
（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．
【详解】（1）解：−3÷−134×0.75÷−37×−6
=3×47×34×73×6
=18；
（2）解：−15×−0.1÷125×−10
=−15×110×25×10
=−5；
（3）解：−72×−23×−35÷−815
=72×23×35×158
=48×98
=54．
【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．
知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点）
1.有理数的加减乘除混合运算
在运算时要注意按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,应先算括号里面的.在同级运算中,要按从左到右的顺序来计算,并能合理运用运算律,简化运算
2.计算器的使用
不同品牌的计算器操作方法可能有所不同,具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键.另外,还要注意以下几点:
(1)计算器要平稳放置,以免按键时发生晃动和滑动
(2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时,要注意按关闭键
(3)确定按键顺序后,按照算式从左到右的顺序直接输入
(4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号,以免因漏按或按不实而出现错误.
(5)每次运算时,要按一下清零键
6)注意负数的输入方式.
【例4】计算：．
(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）
(2)请给出正确解答．
【答案】(1)①；③ (2)解答过程见详解
(1)解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误；
解法2，，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误．
故答案为：①；③．
(2)解：原式
【变式4-11】34−25×34÷12=（ ）．
A．310 B．511C．320D．13
【答案】C
【分析】根据有理数的四则运算求解即可．
【详解】解：34−25×34÷12=34−310×2=34−35=320
故选：C
【点睛】此题考查了有理数的四则运算，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则．
【变式4-2】计算：(−1)÷1+0÷8−(−5)×(−2)=__________
【答案】−11
【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式=−1+0−10 =−11，
故答案为：−11．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除的运算法则是解题的关键．
【变式4-3】计算：．
【答案】
【详解】解：
易错点.有理数除法运算中误用分配律
【例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程．
计算：．
解：原式＝
＝
＝
＝2
你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．
【详解】答：不正确，正确的解答如下，
解：
．
【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是关键．
【变式5-1】．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】(1)解法一
(2)
【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）解：解法二：
；
解法三：原式的倒数为：
，
所以原式．
【变式5-2】．计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
(4)根据上述分析，求出原式的结果．
【答案】(1)前后两部分互为倒数
(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析
(3)另一部分的结果为
(4)
【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可；
（2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便；
（3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可；
（4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可．
（1）
解：∵乘积为1的两个数互为倒数
∴前后两部分互为倒数．
（2）
解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算；
计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算；
∴先计算后面部分比较方便
计算如下：
．
（3）
解：∵前后两部分互为倒数，后面部分：
∴前面部分：．
（4）
解：
．
【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等．
考点1：有理数的加减乘除混合运算的实际应用
1．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
(1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？
(2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？
(3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费）
【答案】(1)这20箱樱桃质量相差最大是1．3千克
(2)这20箱樱桃的总质量是205千克
(3)该水果店销售这批樱桃共盈利1312元
【详解】（1）解：（千克）
答：这20箱樱桃质量相差最大是1.3千克．
（2）
（千克）
这20箱樱桃的总质量是205千克．
（3）
（元）
（元）
（元）
答：该水果店销售这批樱桃共盈利1312元．
2．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次）
(1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？
(2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？
(3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：（人次）
答：该采样点前三天共完成了人次的核酸采样；
（2）解：（人次）
答：采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了人次；
（3）解：（人次）
（根）
答：该采样点在这周至少需要根采样管
3．某市出租车收费标准如下表：
(1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？
(2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？
【答案】(1)13.6千米
(2)租往返的车比较划算，63.24元
【详解】（1）解：
（千米）
答：小华家到动物园有13.6千米．
（2）3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，所以应该租往返的车比较划算．
（千米）
（元）
答：租往返的车比较划算，她至少要付出租车费63.24元．
考点2：与有理数相关的新定义运算
4．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘法和除法运算，新定义的运算，掌握有理数的乘法和除法运算法则，理解新定义的运算法则是解题关键，根据题意列式计算即可；
【详解】解：，
故选：C．
5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（ ）
A．B．99!C．100D．2!
【答案】C
【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，
故选：C．
6.对于有理数a、b，定义运算“”如下：，试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)．
【答案】＜
试题解析：=，
，
＜.
考点3：有理数混合运算的材料阅读题
7．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【详解】解：
，
所以，原式．
8．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：
，
所以，原式．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．
9．老师布置了一道题目：计算，有两位同学的解法如下：
小明：原式．
小军：原式．
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗如果有，请把它写出来．
(3)用你认为最合适的方法计算．
【答案】(1)小军
(2)有，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）小军的方法使用了乘法分配律进行运算，更为方便；
（2）可将改写为 再用乘法分配律进行运算更方便；
（3）将 改写为后再计算即可．
【详解】（1）解：小军的方法更好；
（2）解：有更好的解法：
原式


（3）原式


．
【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握乘法分配率是本题的解题关键．
考点4：有理数乘除法的创新应用
10．（22-23七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表﹣﹣年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以所得的余数．以年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，年为农历壬寅年．
请你依据上述规律推断年为农历 年．
【答案】己巳
【分析】根据题意，代入求出天干、地支即可．
【详解】解：天干为：
，
地支为：
年为农历己巳年．
故答案为：己巳．
【点睛】本题结合实际生活考查了有理数的计算；读懂题意、建立算式是解题的关键．
11.如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度．
【答案】(1)点B所对应的数是4；
(2)A，B两点间的距离是14个单位长度；
(3)经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度．
【详解】（1）解：，
故点B所对应的数是4；
（2）解：（秒），
（个单位长度），
故A，B两点间的距离是14个单位长度；
（3）解：①运动后的B点在A右边4个单位长度，
（秒）；
②运动后的B点在A左边4个单位长度，
（秒），
故经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度．
12.如图，
7 2 5 1
(1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______
(2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ，
(3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________
【答案】(1)35
(2)
(3)，2，5，1；（答案不唯一）
【详解】（1）解：从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是，
故答案为：35；
（2）从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是；
故答案为：；
（3）选取：，2，5，1；
算式为：（答案不唯一）
考点5：综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值
13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
_________0，ac_________0，abc_________0，____________0．
（2）求代数式的值．
【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．
【详解】由数轴可知：，
（1），，，
故答案为＜，＜，＞，＞；
（2）；
故答案为．
14．已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且，又b，c互为相反数．
(1)求a，b，c的值．
(2)若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为6个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点M表示的数．
(3)若将（2）的条件改为同向而行，其余条件都不变，求点M表示的数．
【答案】(1)a，b，c的值分别为，，
(2)点M表示的数为
(3)点M表示的数为70
【详解】（1）解：，
，，
，，
b，c互为相反数，
，
，
a，b，c的值分别为，，；
（2）解：（秒），
，
因此点M表示的数为；
（3）解：甲、乙同向而行，甲的速度大于乙的速度，
甲、乙沿数轴正方向移动．
（秒），
，
因此点M表示的数为70．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或
【详解】（1）解：当时，则，
当，则，
故答案为：，．
（2）已知是有理数，，
所以，且中两正一负，
所以．
（3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．
①当都是正数，即时，
则：，
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：，
③当有两个为正数，一个为负数时，
设，
则：，
④当三个数都为负数时，
则：，
综上所述：的值为或或或
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．
【答案】或
【详解】解：根据题意，
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上所述，式子的所有可能的值为或．
17.（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①取何值时，的值最小，最小值是多少？
②取何值时，的值最大，最大值是多少？
（2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值．
【答案】（1）①当时，有最小值，最小值是；②当时，有最大值，最大值是5；（2）−1
【详解】解：（1）是非负数，
其最小值是0．
取最小值，
取最小值0，
，解得，
的值最小为；
答：当时，有最小值，最小值是；
取最大值，
取最小值，
，解得，
的最大值是5．
答：当时，有最大值，最大值是5；
（2），，
，，，且三个数中有一个数为负，其他两个数为正，
当，，时，
原式；
当，，时，
原式；
当，，时，
原式．
综上：代数式的值为-1．
18．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题．
(1)当时，分别求的值；
(2)已知是有理数，当时，试求的值；
(3)已知是有理数，当时，试求的值．
【答案】(1)１，
(2)
(3)0或
【详解】（1）解：当时，，
当时，；
（2）解：由知，分两种情况：
当时，；
或时，，
故当时，的值为；
（3）解：由知，分两种情况：
当a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0时，
；
当a、b、c三个都小于0时，
，
综上，当时，的值为0或．
一、单选题
1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则可以解答本题．
【详解】解：
，
故选：D．
2．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的除法的应用，由题意可得第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，
∴水的体积占瓶子容积的，
答：瓶中水的体积占瓶子容积的．
故选：B．
3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，则这两个数相除所得的商（ ）
A．一定是负数B．一定是正数C．等于0D．以上都不对
【答案】B
【分析】
本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负”即可得出答案．
【详解】
解：∵两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，
∴这两个有理数同号，
∵有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”
∴这两个数相除所得的商是正数；
故选：B．
4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘除运算，利用除法法则即可得到结果．
【详解】解：
故选：C．
5．（22-23七年级上·云南保山·期中）计算结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除运算法则直接计算即可，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
故选：．
6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法：
①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数
②若m满足，则
③若三个有理数a，b，c满足，则．
其中正确的是有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】此题考查了有理数的乘除法法则，绝对值等．利用有理数的乘除法法则，绝对值，判断即可．
【详解】解：①2018个不为0的有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数，故原说法错误；
②若m满足，则，故原说法错误；
③若三个有理数a，b，c满足，
∴a，b，c中有2个为负数或1个为负数，
当a，b，c中有2个为负数时，；
当a，b，c中有1个为负数时，，故原说法错误．
故选：A
二、填空题
7．（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的除法运算，将除法变成乘法运算即可．
【详解】解：
故答案为：
8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先计算除法运算，再计算乘法运算即可，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
【详解】解：
；
故答案为：
9．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解答本题的关键．先计算有理数除法，再计算有理数乘法，即得答案．
【详解】
．
故答案为：．
10．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一根6.4米长的彩带，每1.4米剪一段包扎一个礼盒，这根彩带可以包扎 个礼盒．
【答案】4
【分析】本题主要考查了有理数的除法运算．根据有理数的除法法则，即可求解．
【详解】解： ，
即这根彩带可以包扎4个礼盒．
故答案为：4
11．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：
天干为：；地支为：；
对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．
请你依据上述规律推断2050年为农历 年．
【答案】庚午
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：天干为：，地支为：，
∴2050年为农历庚午年；
故答案为：庚午．
12．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）“凑24点”的游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张（如果初练也可只用这40张牌），任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为或等，在下面4个选项中，可以凑出24点的是 （填序号）．
①1、2、3、3
②1、5、5、5
③2、2、2、2
④3、3、3、3
【答案】①②④
【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．用加减乘除对所给的四组数据进行运算，判断能否算成24即可．
【详解】解：①，
所以第①组数可以算成24．
②，
即第②组数可以算成24．
③因为，
所以用加减乘除无法算成24．
④，
即第④组数可以算成24．
故答案为：①②④．
三、解答题
13．（22-23七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算：．
【答案】
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】
解：
．
14．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题．
【详解】解：
．
15．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：．
【答案】3
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除混合运算法则即可解题．
【详解】解：
．
16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算结合题意即可求解．
【详解】解：
．
17．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可；
（2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可；
本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】（1）
（2）
18．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第______________步，错误原因是______________；
第二处是第______________步，错误原因是______________；
(2)请写出正确的结果______________．
【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错
(2)
【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序．
（1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可．
（2）按照正确的运算顺序，规范解答即可．
【详解】（1）根据题意，得：
第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算；
第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正，
故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错．
（2）
．
19．（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义；
（1）①根据由，时，则，代入即可求解；
②根据由，时，则，代入即可求解；
③根据由，时，则，代入即可求解；
（2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可．
【详解】（1）解：①由，时，则，
∴；
故答案为：．
②由，时，则，
∴；
故答案为：0．
③由，时，则，
∴；
故答案为：．
（2）当时，
都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论：
①当，，时，
；
②当，，时，
；
综上所述：或．
20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______；
②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是______；
(2)翻折变换
①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示______的点重合；
②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为；再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、B之间的距离为2，求点C表示的数．

【答案】(1)①3，；②
(2)①；②C表示的数为：或
【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）①根据对称中心是，即可解决问题；②先求出，再根据题意求出或，再利用分类的思想求解．
【详解】（1）解：①先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为，算式表示以上过程及结果是：；
故答案为：；
②设点为，由题意得：，
解得：；
故答案为：；
（2）解：①，
对称中心为，
，
表示3的点与表示的点重合，
故答案为：；
②按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为；
即，
解得：，
再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，
若、B之间的距离为2，则或；
当时，；
当时，；
点C表示的数为：或
【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．
21．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．
游戏规则：
①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．
②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；
③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
【答案】(1)，否
(2)72
(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析
【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义．
（1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可；
（2）根据题意列式即可；
（3）根据题意考虑所有可能性并列出即可．
【详解】（1）解：根据题意列式为：，
∵，
∴游戏不再继续，
即：第二次结果为：；
（2）解：根据题意列式为：，
，
；
（3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，
理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜；
理由二：所有的出牌可能有：
①，甲负乙胜；
②，乙负；
③，乙负；
④，乙负；
⑤，乙胜；
⑥，甲负乙胜，
∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.了解有理数除法的意义,理解有理数除法与乘法的互逆关系
2.掌握有理数的除法法则,能运用法则熟练地进行有理数除法运算以及四则混合运算.
3.通过利用有理数除法法则进行运算的过程,体会转化的数学思想
解法1：原式①
②
③
解法2：原式①
②
③
与标准质量的差值（单位：千克）
0
箱数
1
4
3
4
5
3
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减
种类
里程（千米）
收费（元）
起步价
3千米以内（包括3千米）
10.00
单程
3千米以上，每增加1千米
3.00
往返
3千米以上，每增加1千米
2.20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥