江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷(Word版附解析)
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注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1.本卷共4页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第1l题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题).本卷满分150分,答题时间为120分钟,答题结束后,请将答题卡交回.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在上的平均变化率为( )
A. 0.21B. 2.1C. -0.21D. -2.1
2. 设全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
3. 对于满足的任意正整数,( )
A. B. C. D.
4. 已知a,,则“”是“”的什么条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知幂函数在上单调递减,则实数的值为( )
A 或1B. 或2C. 1D.
6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球,第一次从中随机摸出一个球,观察其颜色后放回,同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球,第二次再从中随机摸出一个球,则此次摸出的是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
7. 设,,,则( )
A. B. C. D.
8. 已知5名同学排成一排合影留念,若甲不站在两端,乙不站在正中间,则不同的排法共有( )
A. 48种B. 60种C. 66种D. 72种
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法中正确有( )
A. 若随机变量,满足经验回归方程,则,的取值呈现正相关
B. 若随机变量,且,则
C. 若事件相互独立,则
D. 若5件产品中有2件次品,采取无放回的方式随机抽取3件,则抽取的3件产品中次品数为1的概率是
10. 拐点(Inflectin Pint)又称反曲点,是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点,直观地说,是使切线穿越曲线的点(即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点).拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.设函数对于区间内任一点都可导,且函数对于区间内任一点都可导,若,使得,且在的两侧的符号相反,则称点为曲线的拐点.以下函数具有唯一拐点的有( )
A. B. ,
C. (,且)D.
11. 已知定义域为的连续函数满足,,则( )
A. B. 为奇函数
C. 在上单调递减D. 在上的最大值为1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 被6除所得的余数为______.
13. 已知随机变量,的五组观测数据如下表:
由表中数据通过模型得到经验回归方程为,则实数的值为______.
14. 已知函数,若关于的不等式的解集为且,则的极小值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知(其中)的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为.
(1)求;
(2)记,求的值.
16. 已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为,每次射击的结果相互独立,共进行4次射击.
(1)求恰有3次命中10环概率;
(2)求至多有3次命中10环的概率;
(3)设命中10环的次数为,求随机变量的数学期望和方差.
17. 已知函数为奇函数.
(1)设函数,求的值;
(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围.
18. 某学校组织名学生去高校参加社会实践.为了了解学生性别与颜色喜好的关系,准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子,它们除颜色外完全相同.每位学生根据个人喜好领取1顶帽子,学校统计学生所领帽子的颜色,得到了如下列联表.
(1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”;
(2)在进入高校某实验室前,需要将帽子临时存放,为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子,现从中随机选取4个箱子,
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率;
②记所选的箱子中有对相邻序号(如:所选箱子的标号为1,2,3,5,则1,2和2,3为2对相邻序号,所以),求随机变量的分布列和数学期望.
附:,其中.
19. 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的最大值;
(3)若关于方程有两个实根,,求证:.
1
2
3
4
5
红色
蓝色
合计
男
20
25
45
女
40
15
55
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
001
2.706
3.841
6.635
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学
2024.6
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1.本卷共4页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第1l题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题).本卷满分150分,答题时间为120分钟,答题结束后,请将答题卡交回.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在上的平均变化率为( )
A. 0.21B. 2.1C. -0.21D. -2.1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均变化率的公式计算即可.
【详解】函数在上的平均变化率.
故选:D
2. 设全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合,再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】,
则,
所以.
故选:C.
3. 对于满足的任意正整数,( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数公式即可判断.
【详解】易得,
故选:D.
4. 已知a,,则“”是“”的什么条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.
【详解】充分性:,充分性成立;
必要性:当时,成立,但,故必要性不成立;
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断,考查推理能力,属于常考题.
5. 已知幂函数在上单调递减,则实数的值为( )
A. 或1B. 或2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数在上单调递减,
所以,解得.
故选:C.
6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球,第一次从中随机摸出一个球,观察其颜色后放回,同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球,第二次再从中随机摸出一个球,则此次摸出的是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色,
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球,
则
.
故选:B.
7. 设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较,构造函数,利用导数判断函数的单调性,即可比较的大小,进而可比较的大小,即可得解.
【详解】因为,
所以,
令,则,
所以在上为增函数,
所以,即,所以,
则,即,
综上所述,.
故选:A.
8. 已知5名同学排成一排合影留念,若甲不站在两端,乙不站在正中间,则不同的排法共有( )
A. 48种B. 60种C. 66种D. 72种
【答案】B
【解析】
【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.
【详解】若甲站在正中间,则共有种排法,
若甲不站在正中间,先排甲有种,再排乙有种,最后三人任意排有种,
则共有种排法,
综上,共有种不同排法.
故选:B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有( )
A. 若随机变量,满足经验回归方程,则,的取值呈现正相关
B. 若随机变量,且,则
C. 若事件相互独立,则
D. 若5件产品中有2件次品,采取无放回方式随机抽取3件,则抽取的3件产品中次品数为1的概率是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据回归方程即可判断A;根据正态分布的对称性即可判断B;根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C;根据古典概型的概率公式即可判断D.
【详解】对于A,因为随机变量,满足经验回归方程,
所以,的取值呈现负相关,故A错误;
对于B,因为随机变量,且,
所以,故B正确;
对于C,若事件相互独立,则,
所以,故C正确;
对于D,由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率,故D正确.
故选:BCD.
10. 拐点(Inflectin Pint)又称反曲点,是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点,直观地说,是使切线穿越曲线的点(即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点).拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.设函数对于区间内任一点都可导,且函数对于区间内任一点都可导,若,使得,且在的两侧的符号相反,则称点为曲线的拐点.以下函数具有唯一拐点的有( )
A. B. ,
C. (,且)D.
【答案】AC
【解析】
【分析】拐点即二阶导数的变号零点,求出二阶导数以后逐一分析即可,其中D需要找到两个拐点即可排除D.
【详解】对于A:,,令得,
当时,,当时,,所以是函数的拐点,故A正确;
对于B:,,,令,方程无解,所以无拐点,故B错误;
对于C:,,令得,
当且时,,当且当时,,
当且时,,当且时,,
,所以是函数唯一拐点,故C正确;
对于D:,,因为,所以在至少有一个零点且为变号零点,
又因为,所以在至少有一个零点且为变号零点所以有拐点但不唯一,故D错误.
故选:AC
11. 已知定义域为的连续函数满足,,则( )
A. B. 为奇函数
C. 在上单调递减D. 在上的最大值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】令,即可判断A;由,得,令,则,令,即可判断B;关于求导得,,从而可求出d的解析式,进而可求出的解析式,再利用导数即可判断CD.
【详解】对于A,令,
则,所以,故A正确;
对于B,由,得,
令,则,
令,则,所以,
令,则,
所以为奇函数,即为奇函数,故B正确;
由,
关于求导得,,
令,
则,
所以(为常数),即,
所以(为常数),
因为,
所以,所以,
则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,故C错误;D正确.
故选:ABD.
【点睛】关键点点睛:由,得出,是解决本题的关键.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 被6除所得的余数为______.
【答案】
【解析】
【分析】把用二项式定理展开,把问题转化为被的余数.
【详解】,
展开式的前项都能被整除,只有最后一项不能被整除,所以问题转化为被的余数,
而,被除的余数为,所以被除的余数为.
故答案为:
13. 已知随机变量,的五组观测数据如下表:
由表中数据通过模型得到经验回归方程为,则实数值为______.
【答案】
【解析】
【分析】令,则,求出,再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.
【详解】令,
则,
因为,所以,
所以,解得.
故答案为:.
14. 已知函数,若关于的不等式的解集为且,则的极小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式,借助导数可得其单调性即可得其极小值.
【详解】由题意可得,
即,
当时,,当时,,
故在、上单调递增,在上单调递减,
共有的极小值为.
故答案为:.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知(其中)的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为.
(1)求;
(2)记,求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得,即可求;
(2)先令,则,再令,则即可求解.
【小问1详解】
由题意,二项式的通项公式为,
根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得
,即,
解得.
【小问2详解】
由(1)可知,
令,则,
令,则,
则.
16. 已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为,每次射击的结果相互独立,共进行4次射击.
(1)求恰有3次命中10环的概率;
(2)求至多有3次命中10环的概率;
(3)设命中10环的次数为,求随机变量的数学期望和方差.
【答案】(1)
(2)
(3);
【解析】
【分析】(1)直接根据二项分布的概率公式计算即可;
(2)用对立事件法求概率;
(3)直接代入二项分布期望和方差公式即可.
【小问1详解】
设运动员每次射击命中10环为随机变量,则由题意可知,则恰有3次命中10环的概率即;
【小问2详解】
至多有3次命中10环的概率即;
【小问3详解】
,.
17. 已知函数为奇函数.
(1)设函数,求的值;
(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由函数为奇函数可得,即可求出,再求出的值即可得解;
(2)先判断函数的单调性,根据函数为奇函数可得,则问题转化为关于的方程,分离参数,再结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
函数的定义域为,
因为函数为奇函数,
所以,即,所以,
经检验,符合题意,
所以,则,
因为为奇函数,所以,
则,
所以
;
小问2详解】
,
因为是上的增函数,且恒大于零,
所以在上单调递减,
由,
得,
所以,即,
因为关于的方程有实数根,
所以关于的方程有实数根,
而,
当且仅当,即时取等号,
所以.
18. 某学校组织名学生去高校参加社会实践.为了了解学生性别与颜色喜好的关系,准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子,它们除颜色外完全相同.每位学生根据个人喜好领取1顶帽子,学校统计学生所领帽子的颜色,得到了如下列联表.
(1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”;
(2)在进入高校某实验室前,需要将帽子临时存放,为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子,现从中随机选取4个箱子,
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率;
②记所选的箱子中有对相邻序号(如:所选箱子的标号为1,2,3,5,则1,2和2,3为2对相邻序号,所以),求随机变量的分布列和数学期望.
附:,其中.
【答案】(1)有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.
(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】(1)根据独立性检验计算判断结论;
(2)根据古典概型计算概率;根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率,列出分布列,根据数学期望公式计算出结果;
【小问1详解】
零假设:喜好红色或蓝色与性别无关,
因为,
所以,根据独立性检验,没有充分证据推断成立,
因此有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.
【小问2详解】
①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数,
标号为1号到7号的7个箱子,现从中随机选取4个箱子,
设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数,
则;
②标号为1号到7号的7个箱子,现从中随机选取4个箱子,
则选取4个箱子的所有情况有
记所选的箱子中有对相邻序号,可得则
所以随机变量的分布列为
因此数学期望.
19. 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的最大值;
(3)若关于的方程有两个实根,,求证:.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得;
(2)由题意可得在上恒成立,则可构造函数,求导后分及讨论其单调性,在时结合零点的存在性定理研究,即可得的具体范围,即可得其最大值;
(3)借助因式分解可将原问题转化为有两个实根,借助导数研究其单调性可得两根范围,借助换元法,令,,可得,两式作差可得,从而将证明转化为证明,借助换元法令,即证,构造相应函数,借助导数即可证明;再借助(2)中所得,结合两实根的范围,可得,即可得,两式作差即可得证.
【小问1详解】
,,
又,则有,
即曲线在处的切线方程为;
【小问2详解】
由题意可得在上恒成立,
令,则,
令,则,
则当时,,故在上单调递增,
则当时,,
当时,,故在上单调递增,
有,符合要求,
当时,由,,
则存在,使,即当时,,
当,,
故在上单调递减,在上单调递增,
则,不符合要求,故舍去,
综上所述,,故实数的最大值为;
【小问3详解】
,
由,即有有两个实根,,
令,,
当时,恒成立,不可能有两个实根,故舍去;
当,则时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
则有,即,
又,
不妨令,则有,
有,令,,即有,
则有,即,
即,则要证,只需证,
即证, 令,即证,
令,,
则恒成立,
故在上单调递减,故,
即有在时恒成立,故得证;
由(2)可知,当时,在上恒成立,
即在上恒成立,
则当时,,即,
由,则、,
故,,
则,,
又,即,即,
即,则有,
整理得,即,即,
即;
综上,得证.
【点睛】关键点点睛:最后一问关键点在于借助换元法,令,,从而将证明转换为证明.
1
2
3
4
5
红色
蓝色
合计
男
20
25
45
女
40
15
55
合计
60
40
100
α
0.1
005
0.01
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
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