海南省海口市琼山区海南中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

这是一份海南省海口市琼山区海南中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．，且
2．抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．4D．
6．某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为，答对B类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．斜率为直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．c．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的有（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
B．，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
C．用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差
D．设，为两个事件，已知，，，则
10．已知点，是椭圆：上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左、右焦点分别为，，点为原点，则（ ）
A．的离心率为
B．的值可以为3
C．
D．若的面积为，则
11．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，且，点是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交轴于点，过点作垂直于点．则下列说法正确的是（ ）
A．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2
B．当时，面积为
C．当时，点的坐标为
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某单位为了了解用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温（如下表），并求得线性回归方程为，则_________．
13．已知点关于轴的对称点在曲线：上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的纵坐标_________．
14．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为_________，方差为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，是椭圆：的两点，的中点的坐标为．
（1）求直线的方程；
（2）求，两点间距离．
16．（15分）某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比：
若．
（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；
（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到0.01）
（2）求关于的回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比．（精确到0.01）
参考公式和数据：
，，，
，，
，，，．
17．（15分）已知直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点．
（1）若，求的值；
（2）求线段中点的轨迹方程．
18．（17分）某市为了解人们对于新颁布的“改造健身中心”方案的支持度，随机调查了60人，他们年龄的频数分布及支持“改造健身中心”方案人数如下表：
（1）根据以上统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度是否有关；
下表的临界值表供参考：
参考公式：，其中．
（2）在随机调查的60人中，若对年龄在，的被调查人中各随机选取2人进行调查，记选中的4人中支持“改造健身中心”方案的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（17分）已知一列椭圆：，，，2，…．若椭圆上有一点，使到右准线的距离，是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点．
（1）试证：．
（2）取，并用表示的面积，试证：且．
海南中学2023-2024学年第二学期高二年级期末数学试题（解析版）
（满分150分，共120分钟）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【详解】：方程表示椭圆，
，得，得且．
故选：D．
2．【答案】C
【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是，所以，所以．
故选：C
3．【答案】D
【详解】由圆方程知：圆心，半径
由圆方程知：圆心，半径
两圆圆心距，
两圆的位置关系为内含
故选：D
4．【答案】A
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是，
则，又，所以，，
所以，
故选：A．
5．【答案】C
【详解】设点关于直线：对称的点为，
则，解得，故，
反射线经过点，，所以，即反射光线所在直线的斜率为4，
故选：C
6．【答案】C
【详解】从题库中任选一题作答，选到类试题设为事件，选到类试题设为事件，由于类试题的数量是类试题数量的两倍，则，．
从题库中任选一题作答甲答对设为事件，
甲答对类试题的概率为，则，甲答对类试题的概率为，则．
则．
故选：C．
7．【答案】D
【详解】抛物线：的焦点坐标为，则斜率为3的直线方程为：．
与抛物线方程联立，消去得：．
设，，不妨设，，则，
点到直线的距离为，所以的面积为
故选：D
8．【答案】B
【详解】取双曲线的右焦点，由双曲线定义，如图所示，
故存在点使得等价为存在点使得，所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，
则，由，解得，而，故离心率．
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】BD
【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故A错；
对于B，根据正态分布参数的意义，越大表示随机变量的分布越分散，
则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故B对；
对于C，在回归分析中，越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错；
对于D，，
，则．故D对
故选：BD．
10．【答案】ACD
【详解】A选项，椭圆：中，，，，离心率为，A正确；
B选项，设，且，则，
故，
所以，B错误；
C选项，由对称性可得，所以，C正确；
D选项，不妨设在第一象限，，则，则，
则，则，，故，故D正确．
故选：ACD．
11．【答案】ACD
【详解】A：易知，又双曲线的一条渐近线方程为，
则到该渐近线的距离为，
又，所以，所以，
得双曲线的离心率为，故A正确；
B：在中，，，得，
由余弦定理得，
即，得，
所以的面积为，
又，所以，故B错误；
C：因为，，所以，
由角平分线定理可得，得，又，
所以，又，所以，故C正确；
D：延长交于点，连接，如图，
易知，即，所以，
又，分别是，的中点，所以，
所以，
又点在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率，
设渐近线的倾斜角为，由，可得，
则，即，整理得，
又，所以，解得，得，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】100
【详解】由题意，得，．
又线性回归方程为，故，解得．
故答案为：100
13．【答案】
【详解】因为曲线的方程为，即，
所以由题意及抛物线的对称性知，点在抛物线上，且在轴的下方，点为此抛物线的焦点．
由抛物线的定义可知，则，
解得或（舍去），
所以点的横坐标为，带入抛物线中得，所以
故答案为：
14．【答案】2876.8
【详解】设该同学答对题目的数量为，因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题，所以，所以，．
设该同学总得分为，则，，．
故答案为：28；76.8．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【答案】（1）（2）
【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，，则直线方程为，
联立方程
则，
经检验符合题意，则直线的方程为．
（2）由（1）可知联立后的方程为，
．
16．【答案】（1），与线性相关性很强；
（2），
【详解】（1）依题意，
又，所以与线性相关性很强；
（2）依题意，
所以，所以，
又，所以，
当时，
所以预测第9周“准点球”的百分比为
17．【答案】（1）（2）
【详解】（1）联立方程，消去得，
由得，
设，，则，
由抛物线定义知：，解得，符合题意，
所以．
（2）设点，则由题意得，
因为，所以，
把即代入得，
所以点的轨迹方程为．
18．【答案】（1）列联表见解析，依据小概率值的独立性检验认为以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度无关
（2）分布列见解析，
【详解】（1）
假设：以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性无关．
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度无关
（2）的可能取值为1，2，3，4
，
，
分布表为：
19．（1）由题意，，，
准线的方程为，
根据椭圆的定义，有，，
设点，则有，
椭圆左顶点的坐标为，石顶点的坐标为，在上，
，即，解得；
（2）由题意，，，，，，，，，
考察，构造函数，
则有，
当时，，所以，；
当时，，所以在时单调递减，即；
气温1℃
13
10
用电量/度
24
34
38
周次
1
2
3
4
5
6
7
52
52.8
53.5
54
54.5
54.9
55.3
年龄
颜数
15
15
5
15
5
5
支持“改造健身中心”
12
5
4
8
2
1
年龄不低于40岁的人数
年龄低于40岁的人数
总计
支持
不支持
总计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
年龄不低于40岁的人数
年龄低于40岁的人数
总计
支持
3
29
32
不支持
7
21
28
总计
10
50
60
1
2
3
4