广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知全集U与集合A,B的关系如图,则图中阴影部分所表示的集合为
B.
C. . D.
3.已知向量满足,且与的夹角为,则
A.6B.10C.15D.21
4.近年来,为了提升青少年的体质,教育部出台了各类相关文件,各地区学校也采取了相应的措施,适当增加在校学生的体育运动时间;现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度,所得数据统计如下表所示:
附:χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,
附:,
以下结论中错误的是
有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B.没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
已知为坐标原点,为抛物线的焦点,为上的一点,垂直于轴,为轴上一点,且,若,则
A.B.C.D.
6已知,则
A.B.C.D.
7. 如图,在三棱台中,平面,则与平面所成角的余弦值为
A.B.C.D.
8. 已知点,则点到直线的最大距离为
A.B.C.D.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个符合题目要求,全部选对得6分.有选错的得0分,部分选对得部分分)
9.已知函数fx=Asinωx+φ(其中A>0,ω>0,φ<π2)的部分图象如图所示,则()
A.
B
C.的图象关于直线对称
D.在上的值域为
10. 已知圆,直线,下列说法正确的是
A.若圆关于直线对称,则
B.若直线与圆交于M,N两点,则的最小值为
C.若,动点在圆上,则的最大值为30
D.若过直线上任意一点作圆的切线,切点为,则的最小值为
11. 已知双曲线的左,右焦点分别为为双曲线右支上一点,则下列说法正确的是()
A.若△PF1F2的内切圆圆心为I4,1,直线PFl的斜率为940
B.若△PF1F2的内切圆圆心为I4,1,△PF1F2的外接圆半径为6512
C.若kPF2=-3a且PF1⊥PF2,则e=5
D.若且,则
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12. 展开式中项的系数为___
13已知数列满足,则其前9项和 ___
14. 已知函数,其中x表示不超过x的最大整数.如:,以下三个结论:
①
②集合的元素个数为9;
③对任意都成立,则实数的取值范围是,
其中所有正确结论的序号是___
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知等差数列的公差与的等差中项为5,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设bn=an,n为奇数,1anan+2,n为偶数,求数列bn的前20项和T20.
16. (15分)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,
(1)求证:直线平面;
(2)若点为线段的中点,求二面角的正弦值.
17.(15分)教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万,同比增加21万,岗位竞争激列为汉立国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署,搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道,促进高校毕业生高质量充分就业,某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生静业服务活动系列招聘会.参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘.如果小王通过A公司的专业测试,就能选择与该公司签约并享受对应的薪资待遇,同时停止应聘,也可以选择放弃与该公司签约并参加下一家公司的应聘;如果小王未通过A公司的专业测试,则不能与之签约,也不能应聘下一家公司。已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元,小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为23,12,13,通过甲公司的测试后选择签约的概率为34,通过乙公司的测试后选择签约的概率为35,通过丙公司的测试后一定签约.每次是否通过测试、是否签约均互不影响.
(1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率;
(2)设小王获得的年薪为(单位:万元),求的分布列及其数学期望.
18. (17分)设函数
(1)当时,
①求函数的单调区间;
②对于∀x∈[1,+∞),xgx+fx≥m+1x-m成立,求实数m的取值范围.
(2)当a>0时,曲线y=fx与y=gx有两条公切线,求实数a的取值范围.
19. (17分)已知椭圆的离心率为,点在上,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆上一点的坐标为,若为钝角,求横坐标的取值范围.
(3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D,E(D,E与不重合),直线分别与直线交于P,Q两点,求的值.
南宁三中202312024学年度下学期高二期末考试
数学试题参考答案
【答案】【解析】由复数,所以对应的点的坐标为,位于第四象限.
2.【答案】A【解析】由图可知,阴影部分为,故选A.
3.【答案】C【解析】由,且与的夹角为,所以
4.D【解析】(1)完善列联表如下:
零假设:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联,则
,没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.因为,,所以有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关。
【答案】B【解析】由题可知,又,,解得.
6.【答案】C【解析】因为,因为
,所以.
7.【答案】B【解析】将棱台补全为如下棱锥D-ABC,
由,易知:,
由平面平面,则,
所以,故,所以,
若到面的距离为,又,则,可得,综上,
与平面所成角,则,即.
8.【答案】B【解析】由,得,又,当时,
,当时,,令的定义域为,
,解得:,令,可得,令,可得
,所以在上单调递减,在上单调递增,
,函数与图象如图,由此可知:可知点位于图中阴影部分区域,则点到直线最大距离为函数上切线斜率为1的点到直线的距离,设,得,点到的距离为.故答案为:.
9.【答案】AC【解析】依题意得,因为,所以,所以A正确.因为,所以,解得.因为,所以,所以当时,,所以B错误.因为,所以令,解得,则的图象关于直线对称,正确.因为当时,,所以,所以在上的值域为,所以D错误.
【答案】ACD【解析】对于A,若圆关于直线对称,则圆心在直线上,将代入方程解得,故正确.对于,直线过定点,当直线与垂直时,弦长最短,此时,圆心到直线的距离为弦长为,故错误.对于在方向上的投影的最大值为的最大值为,故正确.对于,当切线长最小时,最小,此时与直线垂直,为点到直线的距离,为,由勾股定理得,故D正确.
11.【答案】ACD【解析】如图1,由条件,点P应在双曲线C的右支上,
图1
设圆I分别与△PF1F2的三边切于点M、N、A,则由题A4,0,
且PM=PN,F1M=F1A,F2N=F2A,又
∵PF1-PF2=F1M-F2N=AF1-F2A=xA+c-c-xA=2xA=2a
∴a=xA=4,得F1-5,0,F25,0,连接IF1、IF2、IA,则tan∠IF1A=IAAF1=19,所以kPF1=tan∠PF1A=tan2∠IF1A=2tan∠IF1A1-tan2∠IF1A=940,A选项正确;
图2
同理,tan∠IF2A=IAAF2=1,△PF1F2是直角三角形。sin∠F1PF2=4041。
由正弦定理F1F2sin∠F1PF2=2R得R=418, B选项错误;若PF1⊥PF2,则
PF1=F1F2sin∠PF2O=2b,PF2=F1F2cs∠PF2O=2a,且PF1-PF2=2b-2a=2a,可得ba=2,所
以e=ca=1+ba2=5,故C正确;对于选项D:因为PF1-PF2=2a,即,解得
,若,即,即,故D正确.
【答案】30【解析】展开式的通项表达式为,
当时,.
13.【答案】69【解析】
14.【答案】①③【解析】对于①,由知,
,
故①正确.对于②,由周期性可知,的周期为,
故讨论即可,易得当时,,
当时,,当时,
,当时,,
当时,,
当时,,
当时,,当时,,
当时,,故该集合元素个数为6,故②错误.
对于③,当时
,当时,,当时,,当时,
,当时,,当时,,当
时,,当时,
,当时,,而对任意都成立,故恒成立,令,即,而显然,可得恒成立,即.
【答案】;(或)
【解析】(1)因为为等差数列,且与的等差中项为5,所以,
解得分
因为,所以,解得,因为,所以___.4分
所以,.6分
故数列的通项公式为;
（2）由题知,bn=n,n为奇数,1nn+2,n为偶数,即bn=3n-10,n为奇数,13n-103n-4,n为偶数,.7分
bn=3n-10,n为奇数,1613n-10-13n-4,n为偶数,..9分
所以
分
故数列的前20项和为.
16.【答案】(1)证明见解析.(2)
【解析】（1）因为平面平面,所以,分
即,
又因为底面是菱形,所以,又平面,
所以直线平面分
（2）法一：因为底面是菱形,所以,又,
所以为等边三角形,则,在中,,
则,
以点为坐标原点,过点且垂直于的直线为轴,以所在的直线为轴和轴,建立如图所示的空间直角坐标系,..6分
,则,又,
所以,..8分
设平面的法向量为,则,即,
得,令,则,则,.10分
设平面的法向量为,则,即
令,则,则,.12分
设二面角的平面角为,,.13分
所以,故二面角的正弦值分
法二:因为底面是菱形,所以,又,
所以为等边三角形,则,在中,,
则,
设与的交点为点,以点为坐标原点,过点且平行于的直线为轴,以所在的直线为轴和轴,建立如图所示的空间直角坐标系,..6分
所以..8分
设平面的法向量为,则,即,
令,则,分
设平面{MBA}的法向量为,则,即,
令,则,.12分
设二面角的平面角为,,分
所以,故二面角的正弦值分
17. (1);(2)分布列见解析,期望是
【解析】(1)记事件:小王通过甲公司的测试,但未通过乙公司的测试,
记事件:小王通过甲、乙公司的测试,但未通过丙公司的测试,
则分
分
显然与互斥,所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率
分
（2）依题意的可能取值为分
则,分
.10分
分
分
则的分布列如下表:
故EX=0×79180+10×12+12×120+18×190=分
18.【答案】(1)①单调递增区为,单调递减区间为②;
【解析】(1)①当时,,
.1分分
当时,,当时,,.3分:
的单调递增区为,单调递减区间为;..4分
②由,得:,
整理得:,令恒成立:
可得,..5分
令,
显然在上为增函数,则..6分
①当时,得,得在上递增,
恒成立,故满足题意分
②当时,令,得(舍).
得时,,则在上递减,
时,,则在上递增,又,
极小值,不可能恒成立,不符合题意,.9分
综上可得,实数的取值范围是分
（2）设公切线切于点,切于,
则有,.11分
即,.12分
得,代入,得分
构造函数,.14分
.当递减,当递增,.15分
又当时,,当时,,.16分
即,得;分
【解析】(1)由题可得,
,又,
解得,椭圆方程为.
(2)若为钝角,则,(5分)
由题可得,(6分)
,又,
解得.--(8分)
(3)由题可知直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,
设,联立(9分)
消去得,
,-(10分)(写对一个即可)
直线的方程为,令,得,-(11分)
.-(12分)
同理可得.(13分)
-(14分)
(17分)
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
Pχ2≥k
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
总计
初中生
160
40
200
高中生
140
60
200
总计
300
100
400
X
0
10
12
18
P
79180
12
120
190