2025年高考数学一轮复习-第六章-第二节-等差数列（课件）

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1. 理解等差数列的概念和通项公式的意义.2. 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式，理解等差数列的通项公式与 前 n 项和公式的关系.3. 体会等差数列与一元一次函数的关系.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 等差数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项 的 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表 示，符号表示为 （ n ∈N*， d 为常数）.
提醒　在公差为 d 的等差数列{ an }中：① d ＞0⇔{ an }为递增 数列；② d ＝0⇔{ an }为常数列；③ d ＜0⇔{ an }为递减数列.
an ＋1－ an ＝ d 　
（2）等差中项：数列 a ， A ， b 成等差数列的充要条件是 A ＝ ，其中 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
2. 等差数列的有关公式
（1）通项公式： an ＝ a 1＋（ n －1） d ＝ nd ＋（ a 1－ d ）⇒当 d ≠0时， an 是关于 n 的一次函数模型，即 an ＝ pn ＋ q ， 其中 p 为公差；
3. 等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广： an ＝ am ＋（ n － m ） d （ n ， m ∈N*）；
（2）若{ an }为等差数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n （ k ， l ， m ， n ∈N*），则 ak ＋ al ＝ am ＋ an ；
（3）若{ an }是等差数列，公差为 d ，则 ak ， ak ＋ m ， ak ＋2 m ，… （ k ， m ∈N*）是公差为 md 的等差数列；
（4）数列 Sm ， S 2 m － Sm ， S 3 m － S 2 m ，…也是等差数列，公差 为 ⁠.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则 这个数列是等差数列.（　×　）
（2）等差数列{ an }的单调性是由公差 d 决定的.（　√　）
（3）数列{ an }为等差数列的充要条件是对任意 n ∈N*，都有2 an ＋1 ＝ an ＋ an ＋2.（　√　）
（4）等差数列的前 n 项和公式是常数项为0的二次函数. （　×　）
2. 在数列{ an }中， a 1＝－2， an ＋1－ an ＝2，则 a 5＝（　　）
解析：　∵ an ＋1－ an ＝2，∴数列{ an }是公差为2的等差数列，又 a 1＝－2，∴ a 5＝ a 1＋4 d ＝－2＋2×4＝6.故选B.
3. 已知等差数列{ an }，若 a 1＝12， a 2＋ a 5＝36，则 a 6＝（　　）
解析：　由等差数列的性质可知， a 1＋ a 6＝ a 2＋ a 5＝36，所以 a 6 ＝36－ a 1＝24.故选B.
4. 已知 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和， a 2＝2， S 4＝14，则 an ＝ ⁠ ⁠.
5. （2024·金华模拟）在首项为28的等差数列{ an }中，从第8项开始为 负数，则公差 d 的取值范围是 ⁠.
2. 在项数为2 n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为27，则 n ＝ ⁠.
3. 已知等差数列{ an }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所 有偶数项之和为290，则该数列的中间项为 ⁠.
解析：设项数为奇数2 n －1，由结论4可得： S 奇－ S 偶＝ an ＝319－ 290＝29.
精选考点 典例研析 技法重悟通
【例1】　（1）（2023·全国甲卷5题）记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项 和.若 a 2＋ a 6＝10， a 4 a 8＝45，则 S 5＝（　　）
（2）（多选）记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和，已知 S 4＝0， a 5＝ 5，则下列选项正确的是（　　）
等差数列基本量运算的常见类型及解题策略
（1）求公差 d 或项数 n ：在求解时，一般要运用方程思想；
（2）求通项： a 1和 d 是等差数列的两个基本元素；
（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前 n 项和：利用等差数列的前 n 项和公式直接求解或利用等差 中项间接求解.
1. 已知{ an }为等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若 a 1＝1， a 3＝5， Sn ＝ 64，则 n ＝（　　）
2. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建 筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环 形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第 一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈， 则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ⁠.
所以2 Sn ＋1＋（ n ＋1）2＝2 an ＋1（ n ＋1）＋（ n ＋1），　②
②－①，得2 an ＋1＋2 n ＋1＝2 an ＋1（ n ＋1）－2 ann ＋1，化简得 an ＋1－ an ＝1，所以数列{ an }是公差为1的等差数列.
判断数列{ an }是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意 n ∈N*， an ＋1－ an 是同一常数；
（2）等差中项法：对任意 n ≥2， n ∈N*，满足2 an ＝ an ＋1＋ an －1；
（3）通项公式法：对任意 n ∈N*，都满足 an ＝ pn ＋ q （ p ， q 为常 数）；
（4）前 n 项和公式法：对任意 n ∈N*，都满足 Sn ＝ An 2＋ Bn （ A ， B 为常数）.
提醒　（3）（4）只适用于客观题的求解与判断.
1. 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ an 2＋ bn （ a ， b ∈R）且 a 2＝3， a 6 ＝11，则 S 7＝（　　）
考向1　等差数列项的性质
【例3】　（1）在等差数列{ an }中，已知 a 2＝5， am ＝7， am ＋3＝ 10，则数列{ an }的前 m 项和为（　　）
（2）已知数列{ an }，{ bn }都是等差数列， a 1＝1， b 1＝5，且 a 21－ b 21＝34，则 a 11－ b 11＝（　　）
考向2　等差数列前 n 项和的性质
【例4】　（1）已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S 10＝10， S 20 ＝60，则 S 40＝（　D　）
解析：因为等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，所以 S 10， S 20 － S 10， S 30－ S 20， S 40－ S 30也成等差数列.故（ S 30－ S 20）＋ S 10 ＝2（ S 20－ S 10），所以 S 30＝150.又因为（ S 20－ S 10）＋（ S 40－ S 30）＝2（ S 30－ S 20），所以 S 40＝280.
　　在等差数列{ an }中， Sn 为其前 n 项和，则：
（1） S 2 n ＝ n （ a 1＋ a 2 n ）＝…＝ n （ an ＋ an ＋1）， S 2 n －1＝（2 n － 1） an ；
（2） Sk ， S 2 k － Sk ， S 3 k － S 2 k ，…成等差数列.
考向3　等差数列前 n 项和的最值问题
【例5】　（多选）设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S 15＞0， S 16 ＜0，则（　　）
求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法
2. 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之 比为32∶27，则公差 d ＝ ⁠.
关键能力 分层施练 素养重提升
1. （2024·芜湖模拟）在等差数列{ an }中，若 a 3＋ a 9＝30， a 4＝11， 则{ an }的公差为（　　）
2. （2024·九省联考）记等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， a 3＋ a 7＝6， a 12＝17，则 S 16＝（　　）
3. （2024·昆明一模）已知数列{ an }和{ bn }均为等差数列， a 1＝1， b 1 ＝2， a 10＋ b 10＝39，则数列{ an ＋ bn }的前50项和为（　　）
4. （2024·抚州模拟）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个 问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比 前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计） 共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（　　）
5. （多选）记等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，已知 a 5＝3， S 3＝－9， 则有（　　）
6. （多选）已知 Sn 是等差数列{ an }（ n ∈N*）的前 n 项和，且 S 8＞ S 9 ＞ S 7，则下列结论正确的是（　　）
7. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a 1＝1， S 3＝ a 5， am ＝2 025，则 m ＝ ⁠.
解析：∵ S 3＝3 a 1＋3 d ，∴3 a 1＋3 d ＝ a 1＋4 d ，即 d ＝2， am ＝ a 1 ＋（ m －1）×2＝2 m －1＝2 025，∴ m ＝1 013.
8. 若一个等差数列{ an }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积 大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项 公式 an ＝ ⁠.
解析：设{ an }的公差为 d ，由题意得， a 2＜ a 1 d ＜ a 3，所以 a 1＋ d ＜ a 1 d ＜ a 1＋2 d ，又 a 1， d 为正整数，所以可取 a 1＝3， d ＝2，故 an ＝3＋2（ n －1）＝2 n ＋1.
2 n ＋1（答案不唯一）　
10. 设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ＝2 n －1.数列{ bn }满足 b 1＝2， bn ＋1－2 bn ＝8 an .
（1）求数列{ an }的通项公式；
解：当 n ＝1时， a 1＝ S 1＝21－1＝1；当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn －1＝（2 n －1）－（2 n －1－1） ＝2 n －1.因为 a 1＝1符合上式，所以 an ＝2 n －1.
12. （2024·襄阳模拟）已知等差数列{ an }中， a 2＝4， a 6＝16，若在 数列{ an }每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差 数列，则新数列的第43项为 ⁠.
（1）若3 a 2＝3 a 1＋ a 3， S 3＋ T 3＝21，求{ an }的通项公式；
（2）若{ bn }为等差数列，且 S 99－ T 99＝99，求 d .
14. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若不等式 an ＋1≤ Sn 对任意的 n ∈N*恒成立，则称数列{ an }为“和保值数列”.若{ an }是公差为 d 的等差数列，且{ an ＋ n }为“和保值数列”，则 a 1的取值范围为 （　　）
（2）若数列{ bn }是公差为－4的等差数列，其前 n 项和为 Tn ，且 b 1＝ a 13，则 Tn 是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不 存在，请说明理由.