甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末学业质量检测数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末学业质量检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，.若，则实数m的值为( )
A.-1或0B.0或1C.-1或2D.1或2
2．设等比数列的前n项和为，若,，则( )
A.1023B.511C.D.
3．设曲线在点处的切线方程为，则( )
A.0B.1C.2D.3
4．若，则是成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．若双曲线的一个焦点为，则( ).
A.B.8C.9D.12
6．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )
A.8B.9C.11D.12
7．已知M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为1，则椭圆的离心率为( ).
A.B.C.D.
8．已知双曲线(，)与抛物线有相同的焦点F，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是( )
A.此人第六天只走了5里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C.此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
10．设抛物线的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为( )
A.B.C.D.
11．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是( )
A.双曲线是黄金双曲线
B.若，则该双曲线是黄金双曲线
C.若，则该双曲线是黄金双曲线
D.若，则该双曲线是黄金双曲线
12．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.B.为的最小值
C.D.
三、填空题
13．若，且，则________.
14．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则________.
15．对任意都有.数列满足：，则________.
16．已知，对任意的都有，则a的取值范围为________.
四、解答题
17．已知圆上一定点，点为圆内一点，P,Q为圆上的动点.
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程.
18．已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
19．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
20．已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.
21．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前n项和.
22．已知函数有极小值.
（1）求实数b的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：集合，，，
因为A，B本身含有元素-1，0，1，2，所以根据元素的互异性，即可，故或2，
故选：D.
2．答案：A
解析：设数列的公比为q，由题意可得，所以，
由题得,.
故.
故选：A.
3．答案：D
解析：，，则.
故选：D
4．答案：A
解析：当时，可以得到，充分性；
取，，满足，但是不满足，不必要；
故选：A
5．答案：B
解析：由双曲线性质：，，
，.
故选：B.
6．答案：C
解析：如图：建立以A为原点的空间直角坐标系，
则，，，
，
故选：C
7．答案：D
解析：设椭圆方程为，点,，则点，显然，
由与，相减得，
整理得，而，于是，
因为，当且仅当取等号，因此，即，
椭圆的离心率为.
故选：D
8．答案：C
解析：由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，
所以，则，解得，
双曲线的渐近线方程是，将M代入渐近线的方程，即，
则双曲线的离心率为，故选C.
9．答案：BCD
解析：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第n天走里路，则是首项为，公比为的等比数列.
所以，解得.
选项A：，故A错误，
选项B：由，则，又，故B正确.
选项C：，而，，故C正确.
选项D：，
则后3天走的路程为，
而且，D正确.
故选：BCD.
10．答案：AC
解析：因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或.
所以抛物线C的方程为或.
故选：AC
11．答案：BCD
解析：A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，，，
，
化简得，由B选项知是黄金双曲线；
D选项，，轴，，且是等腰，
，即，由B选项知是黄金双曲线.
综上，BCD是黄金双曲线.
故选：BCD.
12．答案：AC
根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.
解析：,
,
对于也成立，
所以，故A正确；
当时，,当n=17时,当时，,
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当时，,∴，故C正确；
，
故D错误.
故选：AC.
13．答案：
解析：，，，
，故,，故
，
故答案为：
14．答案：14
解析：因为，
所以，
所以.
故答案为：14.
15．答案：
解析：由题意得：，，，……，
，
，
，解得：.
故答案为：.
16．答案：
解析：由得或，
在区间上,单调递增；在(0,2)内时，单调递减.
又，，，
，
又对于任意的恒成立，
，即a的取值范围是
故答案为：.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设线段的中点M的坐标为，P的坐标为，
，，
又在圆上，
，化简得，
故线段中点的轨迹方程为；
（2）设的中点为，
在中，，
设O为坐标原点，连接，则，
，
，
化简得
故线段PQ中点的轨迹方程为
18．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：由，知
又，是以为首项，3为公比的等比数列
（2）由（1）知，，
两式相减得
19．答案：（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）
解析：（1）
所以
当时，，当时，；
即的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由得，
将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，
由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象，
实数a的取值范围是.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意知，，，所以，
所以E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，设椭圆E的方程为，
则，，所以，所以E的轨迹方程为.
（2）设，，联立，消去y得，
由得①，
所以，.
因为原点О总在以FQ为直径的圆的内部，所以，
即.而，
所以，
即，所以，且满足①式，所以m的取值范围是.
21．答案：（I）；
（II）.
解析：（I）由，得
因为所以
所以，
（II）
①
②
由①-②得：
所以
22．答案：（1）；
（2）最小值为，最大值为
解析：（1），由得：或，则：
时：，递增；
时：，递减；
时：，递增；
函数在取得极小值，即，
解得所求；
（2）由以上可知函数在取得极大值
又，
故所求最小值为，最大值为.