压轴题02圆锥曲线压轴题十七大题型汇总-2

这是一份压轴题02圆锥曲线压轴题十七大题型汇总-2，共50页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
4．双纽线是1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的．在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）
①双纽线关于原点对称；②；③双纽线上满足的点只有两个；④的最大值是.
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
5．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为.
A．B．
C．D．和的大小关系无法确定
6．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）

（1）方程，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
（4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点.
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）
二、多选题
7．过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ）
A．直线与抛物线C有2个公共点
B．直线恒过定点
C．点的轨迹方程是
D．的最小值为
8．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
9．已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B．记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．为定值B．为定值
C．的最大值为2D．的最小值为4
三、填空题
10．应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为 ．

11．如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
四、解答题
12．已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
13．已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为．
(1)求的方程；
(2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值．
14．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，为直线上的一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点.是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
15．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
16．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
17．动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
18．某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深入研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．
（i）求（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．
19．已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线OP的斜率为，求的值；
(3)设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来．
20．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，左顶点为，过右焦点作直线与椭圆分别交于两点（异于左右顶点），连接.
(1)证明：与不可能垂直；
(2)求的最小值；
21．已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求圆Q的方程；
(3)设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
22．在直角坐标系中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知．
(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为，且圆Γ过点F，求的取值范围．
23．设双曲线：（，）过，，，四个点中的三个点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，其中与的右支交于，两点，与直线交于点，与的右支相交于，两点，与直线交于点，求的最大值．
24．已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．
25．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
(1)求的方程．
(2)是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】先根据双曲线的方程，得到，再设，通过求导，判断函数的极小值点，得到的值，再根据的关系求双曲线的离心率.
【详解】设为双曲线上异于、两点的任意一点，则，
又，，所以：
所以，
设，则（），
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值.
即时，取得最小值.
此时：.
故选：A
2．C
【分析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，写出该玻璃球的轴截面的方程和抛物线的方程，两方程联立，只有一个解求解.
【详解】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，
当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为．
因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为，
代入圆的方程消元得：，
所以原题等价于方程在上只有实数解．
因为由，得或，
所以需或，即或．
因为，所以，
故选：C．
3．C
【分析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得.
【详解】显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数，
因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得，
设，则，令，则有，即，
解得，即，因此点或，或，
选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.
4．B
【分析】对①，设动点，把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；对②，根据的面积范围证明即可；对③，易得若，则在轴上，再根据的轨迹方程求解即可；对④，根据题中所给的定点，距离之积等于，再画图利用余弦定理分析中的边长关系，进而利用三角形三边的关系证明即可.
【详解】对①，设动点，由题可得的轨迹方程，
把关于原点对称的点代入轨迹方程，原方程不变，故①正确；
对②，因为，故，
又，所以，
即，故，故②正确；
对③，若，则在的中垂线即轴上，
故此时，代入，
可得，即，仅有一个，故③错误；
对④，因为，故，
即，
因为，，
故，
即，
所以，
又，当且仅当共线时取等号，
故，
即，解得，故④正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定，因为该方程较复杂，故在作不出图象时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.
5．A
【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得、，结合可判断两者大小.
【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为，如图所示，
则，解得，
所以，
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为，如图所示，
则切点坐标为，
则椭圆上一点的切线方程为，
所以椭圆的切线方程的斜率为，
将切点坐标代入切线方程可得，解得，
所以，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：A.
6．A
【分析】因为，所以与异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线经过点，再将第一象限内经过的整点，，逐一代入曲线的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）.
【详解】对于（1）：因为，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确；
对于（2）：因为，所以，
所以，所以，正确；
对于（3）：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为，
结合（2）知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误；
对于（4）：将和联立，解得，
所以可得圆与曲线C相切于点，，，，
点的位置是图中的点M，

由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，
把，和代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，
所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点，错误.
故选：A
7．BC
【分析】设出直线的方程为，代入，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB；根据B可得的轨迹方程，从而判断C；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.
【详解】设直线的方程为，
联立，消去得，则，
对于A：抛物线在点处的切线为，
当时得，即，
所以直线的方程为，整理得，
联立，消去的，解得，即直线与抛物线C相切，A错误；
对于B：直线的方程为，整理得，此时直线恒过定点，B正确；
对于C：又选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，C正确；
对于D： ，
则，
令，
则，
设，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，D错误.
故选：BC.

【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题
第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．
第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．
第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.
第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．
第五步：根据题设条件求解问题中的结论．
8．BD
【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D.
【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，

显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误；
对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象，
即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称，
因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确；
对于C，的定义域为，且，
即为奇函数，图象关于对称，

若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上，
因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误；
对于D，直线，即，
由，解得，则直线恒过定点，
显然直线经过圆的圆心，
该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确，
故选：BD
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
9．AD
【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，对照系数结合得到的轨迹方程，A选项，计算出，，求出；B选项，在A选项基础上进行求解；C选项，得到双曲线的渐近线，C错误；D选项，先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0，
所以直线方程斜率一定存在，
设直线的方程为，联立得，
，
设，则，
故
，
其中，
故，即，
所以，解得，
下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
故椭圆在点的切线方程为，
同理可得，椭圆在点的切线方程为，
由于点为与的交点，
故，，
所以直线为，
因为直线的方程为，对照系数可得
，
又，故，整理得，
又在第一象限，
故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分，
A选项，，同理可得，
则，A正确；
B选项，
，
其中
又，
故，不为定值，
故不是定值，B错误；
C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为，
设，则，故无最大值，
D选项，由于，，，故，
设，则，
则两式联立得，
由得，，
检验，当时，，又，
解得，满足要求.
故的最小值为4，D正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点的切线方程为，
过椭圆外一点的切点弦方程为;
过双曲线上一点的切线方程为,
过双曲线外一点的切点弦方程为,
10．
【分析】设，由，解出得点坐标，结合得抛物线方程.
【详解】以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，
不妨设．
由，则有，解得，
又，解得，
，则有，
故抛物线方程为．
故答案为：
11．
【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离.
【详解】如图，
设弧的中点为，弧所对的圆心角为，
圆的半径，在弧上取两点，则，
分别过点作圆的切线，并交直线于点，
当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径，
设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在中，，
则，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：
相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即.
12．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知可得，两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方程，联立方程即可得点坐标；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，写出直线，的方程，联立可得点坐标，设外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标；
（3）由已知设，坐标，表示和到的距离，然后表示,设，，，可得，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）∵，与抛物线相切于，两点，
设在左侧，则，，
由得，所以，
所以的斜率为，的斜率为，
此时方程：，即．
方程：，即，联立得；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，
由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即，
直线的斜率为，直线方程为，即，
所以且，，
设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以，
设外接圆方程为：过，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圆过定点；
（3）：，所以，，
所以，
到的距离为，所以，
设，，，由，
，当且仅当时等号成立．
所以，
令，，
在上单调递减，上单调递增，
所以，所以面积的最小值.
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，，，由，，当且仅当时等号成立，把三角形的面积表示为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值.
13．(1)；
(2)
【分析】（1）利用展开计算求最值可得的值；
（2）设直线的方程为，直线的方程为，根据与圆相切求出满足的二次方程，求出直线斜率的斜率，利用导数求解最值.
【详解】（1）连接，由题意知
，当点与点重合时取等号，
得，
所以的方程为；
（2）由题意知，
连接，则，
所以．
又当时，圆与轴相切，不满足题意；
当时，圆与轴相切，不满足题意，
故且．
设直线的方程为，
因为直线为圆的切线，所以，
整理得．②
设直线的方程为，
同理可得，
所以是关于的方程的两个根，
所以．设，
由得，同理可得，
所以直线的斜率为，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，．
所以直线斜率的最大值为．
14．(1)
(2)存在，理由见详解
【分析】（1）由折纸的对称性可知，，从而确定点的轨迹；
（2）设，，，，在根据点的坐标来表示各条直线的解析式，然后得出直线恒过定点的结论，最后数形结合将面积比转化为边长比化简计算.
【详解】（1）由题意可知，，
所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，
所以，所以轨迹的方程为；
（2）
存在，使得成立，
设，，，，
又，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入得：
，所以，即，
所以，
因为，所以直线斜率为，
所以直线的方程为，代入得：
，所以，所以，
所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以直线恒过定点，设该定点为，
所以，，
，
，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
15．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到，，进而得到函数的解析式；
（2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度；
（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值.
【详解】（1）解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，圆的方程为，
由，得，，
过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为，
所以直线的斜率为，其方程为，将其代入，
得点的坐标为，
经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为，
则，即，解得，
所以，圆的方程为，
故用函数表示过桥道路为 .
解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
作圆与x轴相切于点，并和圆切于点，
设圆的半径为，则，即，解得，
所以圆的方程为，
将直线的方程代入得，点的坐标为，
所以用函数表示过桥道路为.
（2）解法1：由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为3.398，
由点的坐标为，点的坐标为，得，
所以圆弧的长为32.175，
所以过桥道路的总长度为，
解法2：因为，，
则，即，
所以圆弧的长为，
又由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为，
所以过桥道路的总长度为63.9．
（3）解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面，
高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体，
提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？
方案1：，
所以，铺设过桥路需要混凝土10（）．
方案2：，
所以，铺设过桥路需要混凝土10（）．
16．(1)为双曲线的一部分，解析式为
(2)或
【分析】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；
（2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可
【详解】（1）设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为，
则，，
由题意得，得，化简得，
，．令，得，
为双曲线的一部分，解析式为．
（2）由题意知．
设，，，，
则，，，
，，，
易知，，得，，
即，．
将点的坐标代入，得，
化简整理得．
同理可得，
与为方程的两个解，
．
由题知，，解得，
点的坐标可能为或.

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系， 关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k的二次方程，结合韦达定理求解.
17．(1)
(2)（i）证明见解析，（ii）
【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程；
（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而得出定点坐标；
（ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出的定点坐标，表示出，由基本不等式得出结果.
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：.
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，显然当时，，
故直线经过定点.
（ii）设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
18．(1)（i）；（ii）证明见解析
(2)
【分析】（1）（i）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，然后求最值即可；（ii）利用坐标运算计算即可；
（2）， 找到各小块三角形的面积与的关系，从而得到方程，解出值..
【详解】（1）（i）明显直线的斜率不为零，设直线的方程为，，
联立，消去得，
则，
又，
则当时，的面积最小，且最小值为；
（ii）由已知得，
联立，解得，即
所以
所以；
（2）如图. ，线段$AB$的中点，
则.
，
分别过线段的中点，线段的中点，
作轴的平行线交抛物线分别于两点，连接.
同理可得.
，（分子的上标均省略了文字“的面积”）
又由于的面积的面积的面积，
所以，解得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是如何绕过直接求出曲线围成的面积，通过找到各三角形与三角形之间的关系，从而解出值.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据双曲线方程求离心率；
（2）首先由已知得，由直线垂直关系，点斜式写出直线的方程，联立曲线并应用韦达定理求；
（3）首先由条件设出点的坐标，并根据已知条件表示，进而求出和，再求直线，与双曲线方程联立，求得，并结合已知确定与的关系.
【详解】（1）由双曲线方程可知，，，，
所以双曲线的离心率；
（2）设，，，由题意可知，，则直线的斜率，
所以直线的斜率，故直线的方程为，
联立直线和双曲线，，得，显然，
由韦达定理得，，
所以；
（3）设，，则，
因为，故为，代入，得点，
所以，
因为点在双曲线上，故满足双曲线方程，即，
所以，
所以，
，
又，联立直线双曲线，，得，
根据题意知，此方程的两根即为，所以，
所以，
，
即
所以，即
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是设出相关点的坐标，利用相关点的坐标表示斜率，整理后即可求解.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出椭圆方程，设出点坐标，结合求解即可.
（2）设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可表示，运用换元法进而将问题转化为求关于的二次函数的最小值.
【详解】（1）由题意知，，
又因为，所以椭圆方程为，则，
证明：设，，则①，
如图所示，
假设，即，
所以，
又，，
所以②，
由①②消去得到，与题设矛盾，所以与不可能垂直.
（2）如图所示，

设方程为：，
由，得，
设，则，
所以，
，
所以，
设，
则
，
即当，即时，取得最小值为.
故的最小值为.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简椭圆的标准方程，根据的关系即可求得焦点坐标；
（2）先联立方程求得，，求出直线的方程，然后利用待定系数法求得内切圆的方程；
（3）设过P作圆Q的切线方程为，利用相切关系求得点A，B坐标，进而结合内切圆的半径利用三角形中等面积法求解即可.
【详解】（1）椭圆的标准方程为，因为，所以焦点坐标为.
（2）将代入椭圆方程得，由对称性不妨设，，
直线的方程为，即，
设圆Q方程为，由于内切圆Q在的内部，所以，
则Q到直线和直线的距离相等，即，解得，，
所以圆方程为.
（3）显然直线和直线的斜率均存在，
设过P作圆Q的切线方程为，
其中k有两个不同的取值和分别为直线和的斜率.
由圆Q与直线相切得：，化简得：，
则，
由得，
可得，
所以
.
同理，，所以直线的方程为，
所以与圆Q相切，将代入得，
所以，又点P到直线的距离为，
设的周长为，则的面积，
解得.所以的周长为.

22．(1)
(2)
【分析】（1）由点差法与直线与圆的性质分别得到与直线的斜率有关的等量关系，结合已知条件将坐标化，得，再结合两斜率关系，整体消元可得，从而求出斜率；
（2）将化斜为直，转化为坐标表示，再由韦达定理代入得关于的函数解析式，求解值域即可.
【详解】（1）设，，则线段中点
由题意不与重合，则，由在双曲线右支上，则，
所以斜率存在且不为.
由在双曲线上，则，且，
两式作差得，
所以有，
故①，
由圆Γ的圆心P在y轴上（P不与O重合），设，
由题意，
则，
化简得，由，得，
由圆Γ的圆心为，弦中点为，所以，
则，即②，
由①②得，，则，
故Ω的离心率为.
（2）由Ω的右焦点为，得，
由（1）知，，所以有，故双曲线的方程为.
设圆的方程为，由圆Γ过点，则，
则圆的方程可化为，
联立，消化简得，
，
其中，，则有，
由，
同理，
所以，
其中，
令，则，
所以，
设，，
由函数在单调递增，则，即，
所以有，
故,
.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线最值范围问题，关键在把要求最值（范围）的几何量、代数式转化为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式方法进行求解.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得双曲线不过点，将其余点坐标代入双曲线方程计算即可得；
（2）借助韦达定理与两点间距离公式表示出并化简后，可得，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由，，，与不能同过，与对称，
故该双曲线不过点，
则有，解得，即双曲线方程为；
（2）由双曲线方程为，故，
由题意可知，，的斜率均存在，
设的斜率为，则的斜率为，
即，设、，
令，则，即，
联立双曲线，有，
由双曲线性质可知，即，
此时恒成立，
有，，
则，，
故
，
同理可得，
则
，当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
24．(1)
(2)证明见解析
(3)8
【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线C的方程；
（2）要证，即证DG平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，
由，得，
设，，
则，，
从而，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）要证，即证DG平分，即证，
由（1）可知，，
则
，
故；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，
由题意，得，
由切线长定理，知，，，
所以，
又
，解得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故面积的最小值为8．
【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解．
25．(1)
(2)存在，个
【分析】（1）设椭圆的方程为，根据条件得到，即可求出结果；
（2）设直线为，直线为，当时，由椭圆的对称性知满足题意；当时，联立直线与椭圆方程，求出的坐标，进而求出中垂线方程，根据条件中垂线直经过点，从而将问题转化成方程解的个数，即可解决问题.
【详解】（1）由题设椭圆的方程为，
因为椭圆过两点，
所以，得到，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，易知直线的斜率均存在且不为0，
不妨设，，直线为，直线为，
由椭圆的对称性知，当时，显然有，满足题意，
当时，由，消得到，
所以，，即，
同理可得，所以，
设中点坐标为，则，，
所以中垂线方程为，
要使为为底边的等腰直角三角形，则直中垂线方程过点，
所以，整理得到，
令，则，，所以有两根，且，即有两个正根，
故有2个不同的值，满足，
所以由椭圆的对称性知，当时，还存在2个符合题意的三角形，
综上所述，存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线为，直线为，联立椭圆方程求出坐标，进而求出直线的中垂线方程，将问题转化成直线的中垂线经过点，再转化成关于的方程的解的问题.