2023-2024学年广西南宁市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年广西南宁市八年级上学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
3．（3分）已知点P的坐标为（2，3），则点P关于x轴的对称点坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高D．一边的垂直平分线
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝BC，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，若∠ACD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
7．（3分）如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3cm（ ）​
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AB⊥AD，则BC等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．（3分）如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，就是AB的长．其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
10．（3分）如图，点B、D、E在同一条直线上，AB⊥BC，CE⊥BE，AB＝BC，CE＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．7
11．（3分）如图，△ABC的三边AB，BC，30，40，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
12．（3分）如图，EB交AC于点M，交FC于点D，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CM＝AM；④BE＝CF．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）若n边形的内角和为360°，则n＝ ．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，则BC的长为 cm．
15．（2分）如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B＝40°，则∠BCD＝ °．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过AC的中点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若AE＝BC＝5cm ．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，EF垂直平分BC，则△ABP周长的最小值是 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中．对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b） ．
​
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示．
21．（10分）如图，已知A（2，3）、B（1，1）（4，1）是平面直角坐标系中的三点．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，并标出点P的位置，使得PA+PC最小；
（3）若△ABC中有一点M坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A1B1C1中点M的对应点M′的坐标为 ．
22．（10分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AE，若AB＝AC，试证明：BD＝CE．
圆圆的证明过程如下：
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．
她的证明过程 （填“正确”“错误”）．若不正确，请写出正确的推导过程．
23．（10分）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F
求证：△DEF是等边三角形．
24．（10分）萱萱与爸爸妈妈在操场上荡秋千．如图，萱萱坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，妈妈在B处接住她；妈妈用力一推，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°，
（1）△OCG与△BOF全等吗？请说明理由；
（2）请求出FG的长．
25．（10分）数学课上，老师画出一等腰△ABC并标注：AB＝AC＝10，∠A＝30°
（1）甲同学提出：∠B＝∠C＝ 度；
（2）乙同学提出：△ABC的面积为： ；
（3）丙同学提出：点D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，请求出DE+DF的值；
（4）丁同学说受丙同学启发，点D为边BC上任一点，DE⊥AB，CH⊥AB，垂足为E、F、H
26．（10分）如图①，已知点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝BC，∠EAD＝∠AED＝45°，且M为EC的中点．
（1）连接DM并延长交BC于N，写出线段CN与AD的数量关系： ；
（2）写出直线BM与DM的位置关系： ；
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立；若不成立，请说明理由．
2023-2024学年广西南宁市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．（3分）已知点P的坐标为（2，3），则点P关于x轴的对称点坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，3），
∴点P关于x轴的对称点坐标为（8，﹣3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
4．（3分）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高D．一边的垂直平分线
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的概念结合三角形的面积公式，得出结果．
【解答】解：把三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的中线．此时两个三角形等底同高．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中一些重要线段的概念，注意三角形的中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段是解答此题的关键．
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝BC，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据△ABC中，AB＝AC＝BC，判断△ABC是等边三角形，即可得出∠A的度数．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，若∠ACD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据三角形的外角性质得出∠B＝∠ACD﹣∠A，再求出答案即可．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠ACD＝∠A+∠B＝2∠B＝80°，
∴∠B＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7．（3分）如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3cm（ ）​
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵P为线段AB的垂直平分线上一点，PB＝3cm，
∴PA＝PB＝3cm，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AB⊥AD，则BC等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝2，
∴BD＝2AD＝6，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC＝2，
∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长．
9．（3分）如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，就是AB的长．其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】已知条件是∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，AC＝AC，据此作出选择．
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
．
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（3分）如图，点B、D、E在同一条直线上，AB⊥BC，CE⊥BE，AB＝BC，CE＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．7
【分析】由垂直可得∠ABC＝∠ADB＝∠BEC＝90°，从而可求得∠BAD＝∠CBE，利用AAS可判定△ABD≌△BCE，则有AD＝BE，BD＝CE，从而可求DE的长度．
【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥BE，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠CBE+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，BD＝CE，
∵AD＝7，CE＝4，
∴BE＝AD＝3，BD＝CE＝4，
∴DE＝BE﹣BD＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
11．（3分）如图，△ABC的三边AB，BC，30，40，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
12．（3分）如图，EB交AC于点M，交FC于点D，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CM＝AM；④BE＝CF．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，可得△ABE≌△ACF，三角形全等的性质BE＝CF；∠BAE＝∠CAF可得①∠1＝∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM，④CM＝AM不成立．
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF；∠BAE＝∠CAF；
∵∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2；故①符合题意；
∵△ABE≌△ACF，
∴∠B＝∠C，AB＝AC，
又∵∠BAC＝∠CAB，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故③符合题意；
∴AM＝AN，
∴MC＝BN，
∵∠B＝∠C，∠MDC＝∠BDN，
∴△MDC≌△NDB（AAS），
∴CM＝BN，
∴CM＝AM不能证明成立，故②不符合题意．
综上分析可知，成立的有8个．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）若n边形的内角和为360°，则n＝ 4 ．
【分析】根据n边形的内角和等于360°列方程即可得到结论．
【解答】解：由题意得，（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：2．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，则BC的长为 5 cm．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，
∴BC＝AB＝6cm，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
15．（2分）如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B＝40°，则∠BCD＝ 160 °．
【分析】根据轴对称的性质可得∠D＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理得∠DCA的度数，进而得到答案．
【解答】解：根据轴对称的性质可得∠D＝∠B＝60°，
∵∠CAD＝60°，
∴∠DCA＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
根据轴对称的性质可得∠BCA＝∠DCA＝80°，
∴∠BCD＝160°．
故答案为：160．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，利用四边形内角和定理是解决问题的关键．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过AC的中点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若AE＝BC＝5cm 10cm ．
【分析】根据CD⊥AB，∠ACB＝90°，可得∠DCA＝∠B，根据E是AC的中点，AE＝BC，可得EC＝BC，根据ASA可证△ACB≌△FEC，根据全等三角形的性质可得EF＝AC＝10cm．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠B＝90°，
∴∠DCA＝∠B，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AE＝BC＝5cm，
∴CE＝CB，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
在△ACB和△FEC中，
，
∴△ACB≌△FEC（ASA），
∴EF＝AC＝2AE＝10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，EF垂直平分BC，则△ABP周长的最小值是 12 ．
【分析】设EF交AC于点D，连接BD，CD，根据垂直平分线的性质得出PB＝PC，当P点与D点重合时，△APB的周长最小，据此即可求解．
【解答】解：如图所示，设EF交AC于点D，CD，
∵EF垂直平分BC，
∴DB＝DC，PB＝PC，
∵△APB的周长为AB+AP+BP＝AB+AP+PC≥AB+AC，
当P点与D点重合时，△APB的周长最小，
故答案为：12．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中．对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b） （﹣a，b） ．
​
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505…3，
∴经过第2023次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，b），
故答案为：（﹣a，b）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【分析】先根据数的乘方及开方法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣4+2+2＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键．
20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由2x+4＜3（x+2），得x＞﹣2，
由 ≥，得x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
解集表示如图：
【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．用数轴确定不等式组的解集是中考的命题重点，体现了数形结合的思想．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．
21．（10分）如图，已知A（2，3）、B（1，1）（4，1）是平面直角坐标系中的三点．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，并标出点P的位置，使得PA+PC最小；
（3）若△ABC中有一点M坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A1B1C1中点M的对应点M′的坐标为 （x，﹣y） ．
【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，分别连接各点即可；
（2）连接CA1交x轴于点P，则点P即为所求点；
（3）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，从而可得结论．
【解答】解：（1）△A1B1C4如图所示；
（2）点P如图所示；
（3）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，
点M（x，y）的对应点M′的坐标为（x．
故答案为：（x，﹣y）．
【点评】本题考查的是平面直角坐标系内画关于x轴对称的点的坐标特点，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（10分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AE，若AB＝AC，试证明：BD＝CE．
圆圆的证明过程如下：
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．
她的证明过程 错误 （填“正确”“错误”）．若不正确，请写出正确的推导过程．
【分析】利用SSA无法证明三角形全等，根据AD＝AE，得到∠ADE＝∠AED，进而推出∠ADB＝∠AEC，利用AAS证明△ABD≌△ACE，进而得出BD＝CE．
【解答】解：圆圆利用SSA的方法，不能判定△ABD≌△ACE，
∴她的证明过程是错误的，
故答案为：错误；
正确的推导过程如下：
证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．（10分）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F
求证：△DEF是等边三角形．
【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF＝DE，
同理DE＝EF，
∴DE＝DF＝EF．
∴△DEF是等边三角形．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（10分）萱萱与爸爸妈妈在操场上荡秋千．如图，萱萱坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，妈妈在B处接住她；妈妈用力一推，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°，
（1）△OCG与△BOF全等吗？请说明理由；
（2）请求出FG的长．
【分析】（1）利用AAS证明△OCG≌△BOF即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CG＝OF，OG＝BF，代入数值结合FG＝OF﹣OG进行求解即可．
【解答】解：（1）△OCG与△BOF全等，理由如下：
由题意可知∠OGC＝∠OFB＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COG+∠BOF＝90°，
∵∠BOF+∠OBF＝90°，
∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF，
∴∠COG＝∠OBF，
在△OCG和△BOF中，
，
∴△OCG≌△BOF（AAS）；
（2）∵△OCG≌△BOF，
∴CG＝OF，OG＝BF，
∵BF，CG分别为1.8m和5.2m，
∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝8.4m，
∴FG的长为0.7m．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
25．（10分）数学课上，老师画出一等腰△ABC并标注：AB＝AC＝10，∠A＝30°
（1）甲同学提出：∠B＝∠C＝ 75 度；
（2）乙同学提出：△ABC的面积为： 25 ；
（3）丙同学提出：点D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，请求出DE+DF的值；
（4）丁同学说受丙同学启发，点D为边BC上任一点，DE⊥AB，CH⊥AB，垂足为E、F、H
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；
（2）过点B作BH⊥AC，交AC于点H，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）先证明DE＝DF，根据，得出S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝5（DE+DF），即5（DE+DF）＝25，即可求出结果；
（4）连接AD，根据三角形的面积公式得出，，，根据S△ABD+S△ACD＝S△ABC，得出，即AB•（DE+DF）＝AB•CH，即可求出结果．
【解答】（1）解：∵AB＝AC＝10，∠A＝30°，
∴；
故答案为：75；
（2）解：过点B作BH⊥AC，交AC于点H，
∵AB＝AC＝10，∠A＝30°，
∴，
∴；
故答案为：25；
（3）解：连接AD，如图所示：
∵AB＝AC，点D为边BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线的性质）；
∵AB＝AC＝10，
∴，，
，
由（2）知S△ABC＝25，
∴5（DE+DF）＝25，
∴DE+DF＝5；
（4）证明：连接AD，如图所示：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴，，，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，AB＝AC，
∴，
即：AB•（DE+DF）＝AB•CH，
∴DE+DF＝CH．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，准确计算．
26．（10分）如图①，已知点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝BC，∠EAD＝∠AED＝45°，且M为EC的中点．
（1）连接DM并延长交BC于N，写出线段CN与AD的数量关系： CN＝AD ；
（2）写出直线BM与DM的位置关系： BM⊥DM ；
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由∠ABC＝∠ADE＝90°可得DE∥BC，再根据平行线的性质，推出∠DEM＝∠MCB，根据ASA推出△EMD≌△CMN，证出CN＝ED，因为AD＝DE，即可得到CN＝AD；
（2）由（1）可知CN＝AD，DM＝MN，再由AB＝AC，可得BD＝BN，从而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边DN上的中线，即可得到BM⊥DM；
（3）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E＝∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．
【解答】（1）解：CN＝AD，理由如下：如图1，
∵AD＝DE，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴∠EDA＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM＝∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN＝DE，
∵AD＝DE，
∴CN＝AD；
故答案为：CN＝AD；
（2）解：BM⊥DM，理由如下：
由（1）得：△EMD≌△CMN，
∴CN＝AD，DM＝MN，
∵BA＝BC，
∴BD＝BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM；
故答案为：BM⊥DM；
（3）解：BM⊥DM仍成立，理由如下：
如图2，作CN∥DE交DM的延长线于N，
∴∠E＝∠MCN＝45°，
在△EMD与△CMN中，，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN＝DE＝DA，MN＝MD，
又∵∠DAB＝180°﹣∠DAE﹣∠BAC＝90°，
∠BCN＝∠BCM+∠NCM＝45°+45°＝90°，
∴∠DAB＝∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA＝∠NBC，DB＝BN，
∴∠DBN＝∠ABC＝90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM．
【点评】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．