福建省泉州市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

这是一份福建省泉州市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题，共22页。试卷主要包含了07，55%，火电装机占比29，5，，5．，75．等内容，欢迎下载使用。

2024.07
本试卷共19题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2，考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．5
2．从甲、乙、丙三所学校中随机抽取210名学生，接受省级高中体育与健康教育质量监测．已知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为400，700，1000，若按各校人数分层抽样，则从甲学校中应抽取的学生人数为（ ）
A．40B．50C．60D．70
3．单位向量满足，则和的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为12cm的正四棱台，其两个底面边长分别为8cm和10cm．若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数据的均值为3，方差为1，则数据的均值和方差分别为（ ）
A．9，5B．6，5C．9，4D．6，4
7．已知直线，平面，则的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
8．《周易·系辞》曰：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图1是八卦模型图，图2是根据八卦图抽象而得的正八边形与其内部的圆，其中，圆的直径为为正八边形的中心，为正八边形边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。
9．已知为复数，则下列命题正础的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．
10．第75届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰、碳中和的各项工作，大力发展新能源．常见的新能源主要有潮汐能、风能、太阳能和地热能等．下图为2015年与2020年我国新增电力装机结构对比，则（ ）
A．2015年我国新增电力装机中，火电装机占比最大
B．2020年我国新增电力装机中，风电装机数多于火电装机数
C．2020年我国水电新增装机数少于2015年
D．2020年我国新增电力装机结构中，新能源装机占比大于2015年
11．正方体中，分别为的中点，为侧面内一点，则（ ）
A．存在点，使得平面
B．线段上不存在点，使与所成角为30°
C．当平面时，的最大值为
D．当点为侧面中心时，平面截正方体所得的截面为五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，若，则______．
13．已知中，，向量在向量上的投影向量为，则______．
14．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为2，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，的内角所对的边分别为为外一点，，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16．（15分）
盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球．
（1）求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率；
（2）设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求．
17．（15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，．
（1）求三棱柱的体积；
（2）求证：．
18．（17分
“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心"于2021年7月25日成功列入《世界遗产名录》，成为中国第56处世界遗产，泉州在持续做好世界遗产保护的同时，积极推动文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期间，为了解全国各地游客对泉州某景点的满意度，景区在该景点向游客做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分（百分制），绘制了如下频率分布直方图：
（1）求a；
（2）估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数；
（3）已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1∶7∶2，其中儿童游客满意度得分的平均数为86，方差为45.15；老年人游客满意度得分的平均数为96，方差为10.55．请结合频率分布直方图，估计中青年游客对该景点满意度得分的平均数和方差．
19．（17分）
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（1）写出复数的三角形式；
（2）阅读材料：
数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，其中，读作的阶乘．
数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．
数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献．
（ⅰ）利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）；
（ⅱ）设，求集合的元素个数．
2023-2024学年度下学期泉州市高中教学质量监测
高一数学参考答案及评分细则
2024.07
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识：考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】解法一：设，由，得，
解得，所以．
解法二：由，得，所以．
解法三：由，得，所以．
解法四：由，得，所以，故选C．
2．【命题意图】本小题主要考查抽样方法，分层抽样等基础知识；考查运算求解，推理论证等能力，体现基础性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注．
【试题解析】由分层抽样，从甲学校中应抽取的人数为人．
故选A．
3．【命题意图】本小题主要考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与转化等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】由两边平方可得，
整理得，所以的夹角为60°．
故选B．【附：本题也可通过考察平几图形，快速得解】
4．【命题意图】本小题主要考查向量的加法、减法和数乘等基础知识，考查运算求解等能力，考查数形结合和化归与转化等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】如图
．
故选D．
5．【命题意图】本小题主要考查棱台的体积公式，考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、应用性．
【试题解析】解法一：根据四棱台的体积公式
．
解法二：若公式记不住，也可考虑补台为锥的办法快速求解
根据三角形相似可知，则，
即，所以
故选B．
6．【命题意图】本小题主要考查数据的数字特征中均值和方差的性质，考查运算求解的能力；考查转化与化归思想；考查数学运算和逻辑推理等核心素养，体现基础性．
【试题解析】设数据的均值为，方差为，则，
由得的均值为：
；
的方差为：
另解（高二学习的公式）：由均值，方差，
可知．
故选C．
7．【命题意图】本小题主要考查空间线线、线面和面面关系等基础知识；考查空间想象、逻辑推理能力等；考查数形结合、化归与转化思想等；体现基础性，导向发展直观想象等核心素养的命题立意．
【试题解析】对于A，记直线平面，直线平面；但直线与直线为异面直线，故A错误；
对于B，平面平面，直线平面，直线平面；但直线与直线为异面直线，故B错误；
对于D，平面平面，直线平面，直线平面，但直线与直线为异面直线，故D错误．
对于C，，作平面，使得，
则，作平面，使得，
则，所以，所以且，所以，所以，故C正确；故选C．
8．【命题意图】本小题主要考查向量的数量积、余弦定理等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查数形结合、化归与转化等思想，体现综合性、应用性，导向对发展数学直观、数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】
如图，过点作交于，
则由正八边行的对称性可知为的最小值，
则，
，
所以最小值为，
的长度解法提供以下三种解法：
解法一：延长交于，连结由正八边形的对称性显然有，且易得为等腰直角三角形．
依题可知，所以．
，
所以
所以最小值为
解法二：在中，，设，
由余弦定理得，解得，
所求最小值为．
解法三：由（或解得）
由，解得，
所求最小值为．
故选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。
9．【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识：考查逻辑推理、运算求解等能力；考查化归与转化、函数与方程等思想；体现基础性和应用型；导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．
【试题解析】设复数，
对于A，若，则，所以，
所以，故A正确；
对于B，令，则，故B错误；
对于C，令，此时满足，但，故C错误；
对于D，解法一：
，
解法二：假设复数为三角形式，再根据复数的乘法法则，易证明（过程略），故D正确．
故选AD．
10．【命题意图】查扇形统计图的基础知识：考查数学问题与统计图表的阅读理解能力，数据处理、运算求解能力；体现基础性，导向对数据分析等核心素养的关注．
【试题解析】对于A，2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%，显然占比最大，故A正确；
对于B，2020年我国新增电力装机中风电装机占比37.55%，火电装机占比29.53%，所以新增电力装机中风电装机数大于火电装机数，故B正确；
对于C，虽然相对于2015年，2020年我国核电新增装机占比减少，但由于总装机数不确定，所以不能得出核电装机数减少的结论，故C错误；
对于D，2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%，所以新能源装机占比不超过50%，但2020年我国风电和太阳能新增装机占比和为62.8%大于50%，所以2020年我国新增电力装机结构中清洁能源占比增加，故D正确．
故选ABD．
11．【命题意图】本小题以正方体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力等；导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性与综合性．
【试题解析】
设正方体的棱长为2
对于A，若存在平面，因为平面，则平面平面，矛盾，故不存在点使平面，故A错误；
对于B，因为，则是异面直线与所成角，
因为平面平面，为直角三角形，，，
则，所以不存在点使与所成角为，故B正确；
对于C，取中点中点，则，平面平面，
则平面，因为平面平面，则平面，，所以平面平面，
因为四点共面，平面平面，
所以平面时，平面，
平面平面，
在中，边上的高满足，则，，故C正确；
对于D，过作交于，过作交于，且，延长相交于平面，为中点，且为中点，所以且，
即三点共线且，
连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，，所以，
连接与相交于点，所以，
连接与相交于点，由对称性可得，
连接，则平面截正方体所得的截面图形为五边形，故D正确．故选BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【命题意图】本小题主要考查向量的数量积、向量的坐标表示等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与转化等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】由可知，则．故答案为．
13．【命题意图】本小题主要考查向量的投影向量等基础知识，考查运算求解等能力，考查数形结合等思想，体现综合性，导向对发展数学直观等核心素养的关注．
【试题解析】解法一：因为向量在向量上的投影向量为
，则，即或．
解法二：如图作延长线于点，
由题可知向量在向量上的投影向量为，
即，因为，
所以或故答案为（或）．
14．【命题意图】本小题主要考查球的表面积、三角形面积、圆锥的母线与轴截面等基础知识，考查运算求解、数形结合的能力，体现综合性，导向对发展直观想象、数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】如图所示，因为，
所以当为轴截面时，最大，
因为的面积最大值为，
则，所以，
即圆锥的轴截面为等边三角形，
解法一：因为圆锥的母线长为2，所以，
因为，
在直角中，，
即，解得，
解法二：因为为的外心，所以外接球直径，即，
所以外接球表面积．故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【命题意图】本小题主要考查解三角形、正余弦定理等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查数形结合和化归与转化等思想，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】解法一：（1）在中，由余弦定理得：
，
代入得，
解得或（舍去），
所以．
（2）在中，由正弦定理得：
可化为，
所以，
整理得，又因为，
所以，
所以为等腰直角三角形，
则的面积为．
解法二：（1）在中，由正弦定理得：，
所以，
即，所以，
由勾股定理得，，
所以．
（2）在中，由余弦定理得：可化为，
整理得，
由勾股定理的逆定理得为等腰直角三角形，
则的面积为．
16．【命题意图】本小题主要是对古典概型、有放回事件、事件的关系和运算等基础知识的考查；考查了学生推理论证能力、运算求解能力、数学应用能力等；考查或然与必然基本思想、化归与转化思想方法，导向对教学对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注，体现基础性、综合性、应用性．
【试题解析】（1）解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是
，（也可以采用列表、树状图等方法枚举）
所以，共有16个样本点．
记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”，
则，
所以，共有8个样本点．
因为样本空间的每个样本点具有等可能性，
所以，
即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为．
解法二：记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”．
每一次从盒中摸出小球，小球的数字都有概率相同的4种可能，
故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有种可能，
1，2，3，4中共有2个偶数和2个奇数，
事件发生有种可能（2次都摸到偶数和2次都摸到奇数），
因为上述各种情况发生的可能性都相同，所以．
（2）解法一：因为，则，
，
，
所以，则，
因为事件不会同时发生，所以两两互斥，
所以，
又因为，
所以
即可得．
解法二：因为，
，
，
，
，
可以得到，
，
，
所以，
共有8个样本点，
即．
17．【命题意图】本小题主要考查直线、平面间的平行、垂直等基础知识：考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】
解法一：（1）过点做，垂足为平面，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
在中，，
所以为直角三角形，
在中，由，
解得，
所以；
（2）在中，，即，
在中，，
因为平面平面，所以，
在中，，
则，所以，
因为，所以．
解法二：（1）同解法一；
（2）在中，，即，
在中，，
，则，
又因为平面平面，则，
且平面，
所以平面，平面，则，
因为，所以．
解法三：（1）取中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
在中，，，所以为直角三角形，
在中，，
，
所以．
【以为底面，以为高，算错扣2分】
（2）在中，，
因为平面平面，则，
在中，，
则，又因为，所以．
18．【命题意图】本题考查频率分布直方图、平均数、百分位数、方差等基础知识；考查数据处理、运算求解等基本能力；体现综合性、创新性、应用性，导向教学对数据处理、数学运算等素养的关注．
【试题解析】（1）由频率分布直方图得：，
解得．
（2），
由频率分布直方图，第一四分位数落在区间之间，
由，
可以估计该满意度得分的第一四分位数为89.5，
1000份问卷的平均分可估计为：
．
用样本估计总体，可以估计游客对该景点满意度的总体平均数为91.5．
（3）由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为：
，
用样本估计总体，则所有游客满意度平均分为，方差为
儿童游客满意度平均分为，方差为，
老年人游客满意度平均分为，方差为，
估计中青年游客对该景点满意度的平均分为，方差，
则，
所以，
得，
所以估计中青年游客对该景点满意度的平均分为91，方差28.75．
19．【命题意图】本小题主要考查新定义（复数的三角表示）的理解；考查阅读、逻辑推理、运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现综合性、创新性、应用性；导向对发展数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注．
【试题解析】（1）由，知，
故，
对于复数，
则，且，故可取，
所以的三角形式为；
【说明：答案不唯一，等三角形式也正确；本小题直接写出答案即可得4分；若答案错误，可回补过程分——能体现模为1得1分，模错误但辐角正确得1分．】
（2）（ⅰ）的近似值为
；
（ⅱ）解法一：
依题可知，
所以，
即，又因为，
所以，即，
故的值中有168个实数，
即集合的元素个数为168．
解法二：
（注：）
所以，即，
因为，
且当时，，当时，，
所以，
故的值中有168个实数，
即集合的元素个数为168．
解法三：
下同解法二．