福建省南平市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

这是一份福建省南平市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题，共9页。试卷主要包含了“在上单调递增”是“”的，若，，则，以表示数集M中最大的数，若，则n的值可能为，已知函数等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码“准考证号、姓名”．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂片它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．“在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若，，则（ ）
A．10B．20C．50D．100
5．已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ）
A．5B．C．D．-3
6．将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A．B．C．D．
7．将分别标有数字1，2，3、4、5的五个小球A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子．则不同方法有（ ）
A．72种B．42种C．114种D．36种
8．以表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则n的值可能为（ ）
A．3B．4C．6D．8
10．已知函数（且）在R上为单调函数，，则（ ）
A．实数a的取值范围为
B．当时，的取值范围为
C．函数是周期函数
D．函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
11．A是轮子（半径为0.5m）外地沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，则（ ）
A．当时，点A恰好位于轮子的最高点
B．
C．当时，点A距离地面的高度在下降
D．若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量，若，则______．
13．若，则______．
14．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
已知的展开式中，二项式系数和为64．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中的项．
15．（本题满分15分）
某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2．
表1：
表2：
（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关?
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：①，．
②临界值有：
③参考公式：，．
17．（本题满分15分）
已知函数，为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
18．（本题满分17分）
已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盘中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
19．（本题满分17分）
函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知．
（1）若关于T可线性分解，求，；
（2）若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数的零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．
南平市2023—2024学年第二学期高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．C 2．B 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
12．0.2 13． 14．1
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
【解】（1）因为在的展开式中，二项式系数和为64，所以，解得．
所以的展开式的各项系数和为．
（2）展开式的通项为，
令，得，
所以的展开式中的项为．
16．（本题满分15分）
【解】（1）
零假设为：两种工艺生产的配件与合格率无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品合格率与生产工艺有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）因为，，
，．
所以，
所以，
所以y关于x的线性经验回归方程为：．
令，得，
故预估研发投入10亿元时，收益将达到12.75亿元．
17．（本题满分15分）
【解】（1）因为偶函数，所以，即
整理得：，所以．
（2）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）因为为偶函数，且在区间上为增函数，
依题意得，对于任意，不等式恒成立，
因为，所以有，
即对于任意恒成立．
令，则．
令，则．
所以实数k的取值范围为．
18．（本题满分17分）
【解】（1）依题意，X可能的取值为0，1，2，3，4．
当有1种情况，所以，
当有2种情况，所以，
当有3种情况，所以，
当有3种情况，所以，
当有1种情况，所以，
所以X的分布列为：
（2）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出黑球”，则，且，，两两互斥．
（ⅰ）根据题意得，，，
，，．
由全概率公式，得
．
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率为．
（ⅱ）“如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率．
．
所以在乙盒中摸出的是黑球时，甲盒中恰剩一个黑球的概率为．
19．（本题满分17分）
【解】解法一：（1）若关于T可线性分解，
则，即，
由，得（*），
若，则k充分大时，将大于2，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有．
（2）由（1）知，所以即
因为，所以，，又，所以，
此时，，不符合题意
或，，又，所以，
此时，满足，符合题意
所以．
（ⅰ）由已知得，所以或，
因为，不成立，所以，，
所以，，
即函数的零点为（或），．
（ⅱ）因，
又周期为3，所以
当，时，．
当，时，．
当，时，
．
所以恒成立，即，所以m的取值范围为．
解法二：（1）若关于T可线性分解，则，即．
所以，则．
由，得，
所以关于x恒成立，
所以，，，即．
（2）由（1）知3为函数的一个周期，
所以，，因为，所以，，
又，，，，
因为，所以，所以．
以下同解法一．X
-1
0
1
P
n
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18
20
乙
8
合计
40
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
收益y（亿元）
6.5
7
8
8.5
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18
2
20
乙
12
8
20
合计
30
10
40
X
0
1
2
3
4
P