北师大版七年级数学下册常考题专练专题05整式乘除的综合运用(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题05整式乘除的综合运用(原卷版+解析)，共30页。
2．化简求值：，其中．
3．已知，求代数式的值．
4．先化简，再求值：，其中，
5．已知，求代数式的值．
题型二 整式乘除的几何背景
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是
A．B．
C．D．
7．如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重盘无缝隙），则矩形的面积为
A．B．C．D．
8．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）
方法 ．
方法 ．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立；
（3）已知，，请利用（2）中的等式，求的值．
9．如图1，两种长方形纸片的长分别为和，宽都为，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形和四边形都为正方形，设空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为．
（1）直接写出，，的等量关系式；
（2）用含，的代数式表示图中阴影部分的面积；
（3）若，求与的数量关系．
10．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A．B．
C．D．
11．我们知道，可以利用直观的几何图形形象地表示有些代数恒等式．例如：，可以用图1的面积关系来表示．还有许多代数恒等式也可以用几何图形面积来表示其正确性．
（1）根据图2写出一个代数恒等式；
（2）已知等式：，请你在图3的方框内画出一个相应的几何图形，利用这个图形的面积关系来表示等式的正确性．
12．在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形（如图，通过不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：．
（1）根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为： ；利用图3可以验证的等式为： ；
（2）利用（1）中所得结论，解决下面的问题：，，求的值；
（3）如图4，有、、三类长方形（或正方形）卡片，其中甲同学持有、类卡片各一张，乙同学持有、类卡片各一张，丙同学持有、类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．（直接写出结果）
13．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
14．对于任意有理数，，，，我们规定．
（1）填空：对于有理数，，，若是一个完全平方式，则 ；
（2）对于有理数，，若，．
求的值；
将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值．
15．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为的正方形、1张边长为的正方形和2张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为 ；
（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若，，求的值；
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分面积．
题型三 整式运算中的归纳猜想
17．探索规律：，，．请运用你发现的规律解决问题：若，则 ．
18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了，2，3，4，的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 2
1 3 3
1 4 6 4
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．
19．观察下列各式，寻找规律：
已知，计算：
（1）根据上面各式可得规律：
（2）根据（1）中规律计算的值．
（3）求的个位数字．
20．观察下列各式的规律：；；；，则第五个式子为 ，第个式子为 ．（其中为正整数）
21．阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ．
22．观察下列等式：
利用你的发现的规律解决下列问题
（1） （直接填空）；
（2） （直接填空）；
（3）利用（2）中得出的结论求的值．
23．观察下面各式的规律：
；
；
；
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第个式子，并验证你的结论．
题型四 新定义运算与阅读理解题型
24．对于任意有理数，，现用★定义一种运算：★．根据这个定义，代数式★可以化简为
A．B．C．D．
25．定义运算“”，其法则为，则方程的解是 ．
26．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．
27．阅读：
计算：．
解：设，
则原式
．
请按照上述的解题思路，解答下列问题：
计算：．
28．我们定义：三角形，五角星，若，则的值 ．
29．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
（1）填空： ， ．
（2）计算：①；②；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，，为实数），求，的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
30．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若，，则的值为 ．
（2）“若满足，求的值”．
阅读以下解法，并解决相应问题．
解：设，
则
这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
若满足，求的值．
（3）若满足，求的值．
31．若我们规定三角表示为；方框表示为：．
例如：．
请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：
（2）代数式：为完全平方式，则常数
（3）当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
32．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算 ；
（2）代数式为完全平方式，则 ；
（3）当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
33．阅读理解并完成下面问题：
我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的因式分解：，是正整数），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：（其中．例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
（1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，若是一个完全平方数，求的值；
（2）如果一个两位正整数，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为18，那么我们称这个两位正整数为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；
（3）在（2）中的所有“吉祥数”中，求的最小值．
专题05 整式乘除的综合运用
题型一 整式乘法中的化简求值
1．已知，求代数式的值．
【解答】解：
，
把代入得：
原式．
2．化简求值：，其中．
【解答】解：原式
，
，
，，
，，
原式．
3．已知，求代数式的值．
【解答】解：原式，
当时，原式．
4．先化简，再求值：，其中，
【解答】解：
，
当，时，原式．
5．已知，求代数式的值．
【解答】解：
．
，
．
原式．
题型二 整式乘除的几何背景
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是
A．B．
C．D．
【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
．
故选：．
7．如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重盘无缝隙），则矩形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：矩形的面积是
．
故选：．
8．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）
方法 ．
方法 ．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立；
（3）已知，，请利用（2）中的等式，求的值．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为：或，
故答案为：；．
（2），成立．
证明：．
．
（3）由（2）得：．
，，
．．
9．如图1，两种长方形纸片的长分别为和，宽都为，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形和四边形都为正方形，设空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为．
（1）直接写出，，的等量关系式；
（2）用含，的代数式表示图中阴影部分的面积；
（3）若，求与的数量关系．
【解答】解：（1）由图知；
（2）
；
（3），
，
，
，
又，
．
10．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
，
故选：．
11．我们知道，可以利用直观的几何图形形象地表示有些代数恒等式．例如：，可以用图1的面积关系来表示．还有许多代数恒等式也可以用几何图形面积来表示其正确性．
（1）根据图2写出一个代数恒等式；
（2）已知等式：，请你在图3的方框内画出一个相应的几何图形，利用这个图形的面积关系来表示等式的正确性．
【解答】解：（1）；
（2）如图所示：．
12．在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形（如图，通过不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：．
（1）根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为： ；利用图3可以验证的等式为： ；
（2）利用（1）中所得结论，解决下面的问题：，，求的值；
（3）如图4，有、、三类长方形（或正方形）卡片，其中甲同学持有、类卡片各一张，乙同学持有、类卡片各一张，丙同学持有、类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．（直接写出结果）
【解答】（1）；
；
故答案为：；；
（2），
，
即，
又，
，
；
（3）画树状图如图所示：
共有6个等可能的结果，能拼成一个正方形的结果有2个，
能拼成一个正方形的概率为；
故答案为：．
13．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：，
故答案为：；
（2）①，，，
，
；
②
．
14．对于任意有理数，，，，我们规定．
（1）填空：对于有理数，，，若是一个完全平方式，则 ；
（2）对于有理数，，若，．
求的值；
将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值．
【解答】解：（1），
是一个完全平方式，
，
解得；
故答案为：．
（2）方法
，
，
解得；
方法2：依题意有，
解得，，
则；
，
，
，
，
，
解得．
故的值为2．
15．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为的正方形、1张边长为的正方形和2张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1），
验证：，
（2），
所需、两种纸片各2张，种纸片5张，
（3）设，则，
，
，
，
，
，
，
．
16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为 ；
（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若，，求的值；
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分面积．
【解答】解：（1）由图可得，；
故答案为：；
（2）由（1）可得：；
（3）
．
题型三 整式运算中的归纳猜想
17．探索规律：，，．请运用你发现的规律解决问题：若，则 41204 ．
【解答】解：，
，
，
则，
故答案为：41204．
18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了，2，3，4，的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 2
1 3 3
1 4 6 4
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．
【解答】解：展开式中含项的系数，
由
可知，展开式中第二项为，
展开式中含项的系数是，
故答案为：
19．观察下列各式，寻找规律：
已知，计算：
（1）根据上面各式可得规律：
（2）根据（1）中规律计算的值．
（3）求的个位数字．
【解答】解：（1）由规律可知：，
故答案为；
（2）原式；
（3）原式
，
，，，，，
个位数按3，9，7，1进行循环，
原式
，
的个位数字是7．
20．观察下列各式的规律：；；；，则第五个式子为 ，第个式子为 ．（其中为正整数）
【解答】解：由题意知第五个式子为，
第个式子为，
故答案为：，．
21．阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ．
【解答】解：根据题意，总结规律得：
，
当，时，
，
，
原式，
故答案为：．
22．观察下列等式：
利用你的发现的规律解决下列问题
（1） （直接填空）；
（2） （直接填空）；
（3）利用（2）中得出的结论求的值．
【解答】解：（1）
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）．
23．观察下面各式的规律：
；
；
；
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第个式子，并验证你的结论．
【解答】解：（1）根据题意得：第2021个式子为；
（2）以此类推，第行式子为．
理由：左边
，
右边
，
．
题型四 新定义运算与阅读理解题型
24．对于任意有理数，，现用★定义一种运算：★．根据这个定义，代数式★可以化简为
A．B．C．D．
【解答】解：★，
★
，
故选：．
25．定义运算“”，其法则为，则方程的解是 1或 ．
【解答】解：根据题意，得：，
解得：或，
故答案为：1或．
26．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 6 ．
【解答】解：由题意可得：
，
，
，
，
，
故答案为：6．
27．阅读：
计算：．
解：设，
则原式
．
请按照上述的解题思路，解答下列问题：
计算：．
【解答】解：设，
则
．
28．我们定义：三角形，五角星，若，则的值 32 ．
【解答】解：根据题意得：，
所以，
即，
所以
，
，
故答案为：32．
29．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
（1）填空： ， ．
（2）计算：①；②；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，，为实数），求，的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
【解答】解：（1），
，
，
（2）①；
②；
（3），
，，
，；
（4）．
30．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若，，则的值为 40 ．
（2）“若满足，求的值”．
阅读以下解法，并解决相应问题．
解：设，
则
这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
若满足，求的值．
（3）若满足，求的值．
【解答】解：（1），
，
即，
将，代入得：，
，
故答案为40．
（2）设，，
则，
，
．
（3）设，，
则，
，
．
31．若我们规定三角表示为；方框表示为：．
例如：．
请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：
（2）代数式：为完全平方式，则常数
（3）当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
【解答】解：（1）原式，
故答案为；
（2）原式是完全平方公式，
，
，
故答案为；
（3）原式，
当．
32．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算 ；
（2）代数式为完全平方式，则 ；
（3）当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
【解答】解：（1）
．
故答案为：；
（2）
，
代数式为完全平方式，
，
解得．
故答案为：；
（3）原式
，
当时有最小值，最小值是．
33．阅读理解并完成下面问题：
我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的因式分解：，是正整数），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：（其中．例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
（1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，若是一个完全平方数，求的值；
（2）如果一个两位正整数，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为18，那么我们称这个两位正整数为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；
（3）在（2）中的所有“吉祥数”中，求的最小值．
【解答】解：（1）是完全平方数
且
；
（2）设正整数为：，则，
，
则，
故．
可取13，24，35，46，57，68，79；
（3）由（2）得．
，，，，，，．
．
的最小值为．