2024中考数学全国真题分类卷 模型八 利用两点之间线段最短求最值 强化训练(含答案)

这是一份2024中考数学全国真题分类卷 模型八 利用两点之间线段最短求最值 强化训练(含答案)，共10页。试卷主要包含了利用两点之间线段最短求最值等内容，欢迎下载使用。
类型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
1. (2022永州)如图，A，B两点的坐标分别为A(4，3)，B(0，－3)，在x轴上找一点P，使线段PA＋PB的值最小，则点P的坐标是________．
第1题图
2. (2023眉山)如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4 eq \r(3) ，则PE＋PB的最小值为________．
第2题图
3. (2018铜仁)已知在平面直角坐标系中有两点A(0，1)，B(－1，0)，动点P在反比例函数y＝ eq \f(2,x) 的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为________．
4. (2023遵义)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝ eq \r(2) .当AM＋BN的值最小时，CM的长为________.
第4题图
5. (挑战题) (2023成都)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P′，点Q是AC上一动点，连接P′Q，DQ.若AE＝14，CE＝18，则DQ－P′Q的最大值为________．
第5题图
类型二 “—点两线”型(两动点＋一定点)
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点P为△ABC内一定点，点M，N分别在AB，BC上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是( )
A. 120° B. 90° C. 80° D. 60°
第6题图
7. (2023聊城)如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C(－2，0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为( )
A. E(－ eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) )，F(0，2) B. E (－2，2)，F (0，2)
C. E(－ eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) )，F(0， eq \f(2,3) ) D. E(－2，2)，F(0， eq \f(2,3) )
第7题图

类型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2 eq \r(10) ，点D，E在BC边上，BD＝CE＝1，点G，F分别是边AB，AC上的两个动点，则四边形DEFG周长的最小值为________．
第8题图
9. (2023滨州)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为______________________．
第9题图
类型四 “定长＋定点”型
10. (2023鄂州)如图，定直线MN∥PQ，点B，C分别为MN，PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24 eq \r(3) ，当线段BC在平移过程中，AB＋CD的最小值为( )
A. 24 eq \r(13) B. 24 eq \r(15) C. 12 eq \r(13) D. 12 eq \r(15)
第10题图
11. (2022聊城)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为________．
第11题图
12. (2023自贡)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为________．
第12题图
参考答案与解析
1. (2，0) 【解析】由题意可知，当点P为AB与x轴的交点时，PA＋PB的值最小，最小为AB的长．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵点A(4，3)，B(0，－3)在直线上，∴直线AB的解析式为y＝ eq \f(3,2) x－3，当y＝0时，0＝ eq \f(3,2) x－3，解得x＝2，∴P(2，0).
2. 6 【解析】如解图，作点B关于AC的对称点B′，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE＋PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4 eq \r(3) ，∴tan ∠ACB＝ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，BB′＝2BF，BB′⊥AC，∴BF＝ eq \f(1,2) BC＝2 eq \r(3) ，∠CBF＝60°，∴BB′＝2BF＝4 eq \r(3) ，∵E是BC的中点，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝B′F，设∠FB′E＝α，则∠FEB′＝α，∴2α＝60°，∴∠FB′E＝30°，∴∠B′EB＝90°，∴B′E＝ eq \r(B′B2－BE2) ＝ eq \r(（4\r(3)）2－（2\r(3)）2) ＝6，∴PE＋PB的最小值为6.
第2题解图
3. (1，2)或(－2，－1) 【解析】如解图，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将A(0，1)，B(－1，0)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1,－k＋b＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1,b＝1)) ，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，直线AB与反比例函数y＝ eq \f(2,x) 图象的交点即为所求点P，此时|PA－PB|＝AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1,y＝\f(2,x))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝－1)) ，∴点P的坐标为(1，2)或(－2，－1).
第3题解图
4. 2－ eq \r(2) 【解析】如解图①，过点A作AH⊥BC于点H.设AN＝CM＝x.∵AB＝AC＝ eq \r(2) ，∠BAC＝90°，∴BC＝ eq \r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2) ＝2.∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM＋BN＝ eq \r(12＋（1－x）2) ＋ eq \r(（\r(2)）2＋x2) ，要求AM＋BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P(x，0)，到E(1，1)，F(0， eq \r(2) )的距离和的最小值，如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′三点共线时，PE＋PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝( eq \r(2) ＋1)x－ eq \r(2) ，当y＝0时，x＝2－ eq \r(2) ，∴AM＋BN的值最小时，CM的值为2－ eq \r(2) .
第4题解图
【一题多解】2－ eq \r(2) 【解析】如解图③，过点A作AD∥BC，且AD＝AC，连接DN，BD，∴∠DAN＝∠ACM，又∵AN＝CM，∴△AND≌△CMA，∴DN＝AM，∴AM＋BN＝DN＋BN≥BD，当B，N，D三点共线时，AM＋BN取得最小值，此时如解图④所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ eq \r(2) ，∴BC＝ eq \r(2) AB＝2，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，设∠CAM＝α，∴∠BAM＝∠BAC－α＝90°－α，∴∠ABM＝∠ABN＋∠MBN＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝∠BAM＝67.5°，∴AB＝BM＝ eq \r(2) ，∴CM＝BC－BM＝2－ eq \r(2) ，即BN＋AM取得最小值时CM的长为2－ eq \r(2) .
第4题解图
5. eq \f(16\r(2),3) 【解析】如解图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长交AB于点J，连接BQ，BP′，∵四边形ABCD是菱形，∴点B、D关于AC对称，∴DQ＝BQ，当点P是定点时，DQ－QP′＝BQ－QP′，当B，P′，Q三点共线时，DQ－QP′的值最大，最大值是线段BP′的长，当点P与B重合时，点P′与J重合，当点Q与A重合时，此时BQ－QP′的值最大，最大值是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14，EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO－AE＝16－14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴ eq \f(ED,EC) ＝ eq \f(EO,ED) ，即DE2＝EO·EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6(负值已舍去)，∴BC＝CD＝ eq \r(EC2－DE2) ＝ eq \r(182－62) ＝12 eq \r(2) ，OD＝ eq \r(DE2－OE2) ＝ eq \r(62－22) ＝4 eq \r(2) ，∴BD＝8 eq \r(2) ，∵S△DCB＝ eq \f(1,2) OC·BD＝ eq \f(1,2) BC·DK，∴DK＝ eq \f(16×8\r(2),12\r(2)) ＝ eq \f(32,3) .∵∠DEB＋∠DCK＝180°，∠DEB＋∠BER＝180°，∴∠BER＝∠DCK，∴sin ∠BER＝ eq \f(BR,BE) ＝sin ∠DCK＝ eq \f(DK,CD) ＝ eq \f(\f(32,3),12\r(2)) ＝ eq \f(4\r(2),9) ，∴RB＝BE× eq \f(4\r(2),9) ＝ eq \f(8\r(2),3) ，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝ eq \f(8\r(2),3) ，∴JB＝ eq \f(16\r(2),3) ，∴DQ－P′Q的最大值为 eq \f(16\r(2),3) .
第5题解图
6. C 【解析】如解图，分别作点P关于BA，BC的对称点P1，P2，连接P1，P2，交BA于点M，交BC于点N，连接BP1，BP，BP2，∴BP1＝BP＝BP2，∠BP1M＝∠MPB，∠NPB＝∠NP2B，根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN周长的最小值为P1P2的长，由轴对称的性质可得∠P1BP2＝2∠ABC，∴∠BP1P2＋∠BP2P1＝180°－2∠ABC＝80°，∴∠MPN＝∠BPM＋∠BPN＝∠BP1M＋∠BP2M＝∠BP1P2＋∠BP2P1＝80°.
第6题解图
7. C 【解析】如解图，作C(－2，0)关于y轴的对称点G(2，0)，作C(2，0)关于直线y＝x＋4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE＋CF＋EF＝DE＋GF＋EF＝DG，此时△CEF周长最小，由y＝x＋4得A(－4，0)，B(0，4)，∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∵C，D关于直线AB对称，∴∠DAB＝∠BAC＝45°，∴∠DAC＝90°.∵C(－2，0)，∴AC＝OA－OC＝2＝AD，∴D(－4，2)，∴直线DG解析式为y＝－ eq \f(1,3) x＋ eq \f(2,3) ，在y＝－ eq \f(1,3) x＋ eq \f(2,3) 中，令x＝0得y＝ eq \f(2,3) ，∴F(0， eq \f(2,3) )，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋4,y＝－\f(1,3)x＋\f(2,3))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,2),y＝\f(3,2))) ，∴E(－ eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) ).
第7题解图
8. 12 【解析】如解图，作点D关于AB的对称点M，点E关于AC的对称点N，连接MN交AB于G，交AC于F，得到四边形DEFG的周长最小，延长MD交NE的延长线于T，设DM交AB于点J，EN交AC于点K.在Rt△ABC中，根据勾股定理得出，BC＝7，∵BD＝CE＝1，∴DE＝5，∵点D，M关于AB对称，∴DJ＝JM，DJ∥AC，∴△BJD∽△BAC，∴ eq \f(DJ,AC) ＝ eq \f(BD,BC) ，∴ eq \f(DJ,3) ＝ eq \f(1,7) ，∴DJ＝ eq \f(3,7) ，∵∠A＝∠AJT＝∠AKE＝90°，∴四边形AJTK是矩形，∴∠T＝90°，ET∥BJ，∴△BDJ∽△EDT，∴ eq \f(DB,DE) ＝ eq \f(DJ,DT) ，∴ eq \f(1,5) ＝ eq \f(\f(3,7),DT) ，∴DT＝ eq \f(15,7) ，∴MT＝DT＋2DJ＝3，同理EK＝ eq \f(2\r(10),7) ，在Rt△DTE中，根据勾股定理得，ET＝ eq \f(10\r(10),7) ，∴TN＝ET＋2EK＝2 eq \r(10) ，∴MN＝ eq \r(TM2＋NT2) ＝7，∴四边形DEFG的周长的最小值为DE＋EF＋FG＋DG＝DE＋FN＋FG＋GM＝DE＋MN＝5＋7＝12.
第8题解图
9. eq \f(25＋5\r(5),2) 【解析】如解图，过点E作EM⊥BC于点M，过点A作AN∥EF使得AN＝EF，连接NE，∴四边形ANEF是平行四边形，∴AF＝NE，∴AF＋CE＝NE＋CE.∴当N，E，C三点共线时，NE＋CE最小，最小值为CN的长．∵EF⊥AC，E，F分别在边AD，直线BC上，∴EF始终保持不变，∴AF＋FE＋EC的最小值为CN＋FE.∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝10，∴CD＝AB＝5，∠D＝90°，∴AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝5 eq \r(5) .∵EM⊥BC，∴∠EMF＝∠AEM＝90°，EM＝CD＝5.又∵EF⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴∠AEO＋∠FEM＝∠AEO＋∠OAE，∴∠FEM＝∠OAE，∴tan ∠FEM＝tan ∠DAC，∴ eq \f(FM,EM) ＝ eq \f(CD,AD) ，即 eq \f(FM,5) ＝ eq \f(5,10) ，解得FM＝ eq \f(5,2) .在Rt△EFM中，由勾股定理得EF＝ eq \r(FM2＋EM2) ＝ eq \f(5\r(5),2) ，∴AN＝ eq \f(5\r(5),2) .又∵EF⊥AC，AN∥EF，∴NA⊥AC，∴∠CAN＝90°，∴在Rt△ACN中，由勾股定理得CN＝ eq \r(AC2＋AN2) ＝ eq \f(25,2) ，∴AF＋FE＋EC的最小值为CN＋EF＝ eq \f(25＋5\r(5),2) .
第9题解图
10. C 【解析】如解图，过点B作BG⊥PQ于点G，过点D作DL⊥PQ于点L，过点A作PQ的垂线AR，交PQ的平行线DR于点R，AR，MN交于点K，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT交MN于点B′，作B′C′∥BC，交PQ于点C′，则当BC在B′C′时，AB＋CD最小，最小值为AT的长，可得AK＝AE·sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) AE＝2 eq \r(3) ，DL＝ eq \f(\r(3),2) DF＝4 eq \r(3) ，BG＝ eq \f(\r(3),2) BC＝6 eq \r(3) ，∴AR＝2 eq \r(3) ＋6 eq \r(3) ＋4 eq \r(3) ＝12 eq \r(3) ，∵AD＝24 eq \r(3) ，∴sin ∠ADR＝ eq \f(AR,AD) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD＝∠BCQ＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝ eq \r(AD2＋DT2) ＝ eq \r(（24\r(3)）2＋122) ＝12 eq \r(13) .
第10题解图
11. (－ eq \f(2,5) ，0) 【解析】如解图，在BC上截取BM＝3，作点D关于x轴的对称点D′，连接ED′，则BM＝EF，∴M(－1，6)，D′(0，－4).∵四边形OABC为矩形，∴BC∥OA，∴四边形BMEF为平行四边形，∴BF＝ME，∴BF＋DE＝ME＋DE.∵点D和D′关于x轴对称，∴ED＝ED′.∵BD，EF都是定值，∴当点M，E，D′在同一条直线上时，BF＋DE＝ME＋DE＝ME＋D′E的值最小．设直线MD′的解析式为y＝kx＋b，把M(－1，6)，D′(0，－4)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋b＝6,b＝－4)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－10,b＝－4)) ，∴直线MD′的解析式为y＝－10x－4，当y＝0时，x＝－ eq \f(2,5) ，∴点E的坐标为(－ eq \f(2,5) ，0).
第11题解图
12. 3 eq \r(2) 【解析】如解图，作点G关于AB的对称点M，连接EM，∴GE＝ME，在CD上截取CH＝1，连接EH，得四边形EFCH为平行四边形，∴CF＝HE，连接HM交AB于点E′，则GE＋CF＝ME＋HE≥HM，当M，E，H三点共线时，GE＋CF最小，∵G为AD的中点，∴AG＝DG＝AM＝1，DM＝AD＋AM＝3，DH＝CD－CH＝3，在Rt△DMH中，MH＝ eq \r(DH2＋DM2) ＝ eq \r(32＋32) ＝3 eq \r(2) ，∴GE＋CF的最小值为3 eq \r(2) .
第12题解图