人教版九年级数学上册精品专题22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质(原卷版+解析)，共35页。

一、单选题
1．(2023·河南驻马店·九年级期末）抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的值增大而减小
2．(2023·全国·九年级）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·九年级课时练习）二次函数y=x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限
5．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A．向上，轴B．向上，轴
C．向下，轴D．向下，轴
6．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·河南信阳·九年级期末）已知抛物线上的两点和，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y＝x24x1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（2，5）D．当x≥2时，y随x增大而减小
9．(2023·全国·九年级课时练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．(2023·全国·九年级专题练习）已知函数，不画图象，回答下列各题：
（1）其图象的开口方向：________
（2）其图象的对称轴：________
（3）其图象的顶点坐标：________
（4）当x>0时，y随x的增大而__________________________；
（5）当x__时，函数y的最_____值是________
12．(2023·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知点、在二次函数的图像上，则______（＞或＜或＝）．
13．(2023·上海普陀·二模）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
14．(2023·辽宁大连·九年级期末）在平面直角坐标系xy中，矩形四个顶点坐标分别为(1，1)，(1，2)，(3，1)，(3，2)，若抛物的图象与矩形的边有公共点，则实数的取值范围是____________．
15．(2023·河南南阳·九年级期末）已知点在二次函数的图象上，则的值等于_______．
16．(2023·辽宁葫芦岛·九年级期末）已知抛物线经过 三点，则、、的大小关系是______；（用“<”连接）
三、解答题
17．(2023·全国·九年级专题练习）通过列表、描点、连线的方法画函数y=的图象．
18．(2023·全国·九年级专题练习）画函数的图像．
19．(2023·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习）已知是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
20．(2023·全国·九年级专题练习）已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
（1）求m的值；
（2）画出函数的图象．
21．(2023·全国·九年级专题练习）已知y=是二次函数且其图象开口向上，求m的值和函数解析式．
22．(2023·全国·九年级）已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）已知：，且点都在函数的图像上，那么的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
3．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069B．6066C．6063D．6060
4．(2023·浙江温州·九年级阶段练习）方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
5．(2023·江西赣州·九年级期末）如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
7．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A(，2)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为_______．
9．(2023·全国·九年级课时练习）若是二次函数，且图象的开囗向下，则m的值为______．
10．(2023·全国·九年级课时练习）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝_______________．
11．(2023·湖南株洲·九年级期末）对于3个数：，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数的最大数．例如：．如果，则=______________．
12．(2023·山东德州·二模）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M2014的坐标为____．
三、解答题
13．(2023·全国·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
14．(2023·全国·九年级课时练习）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
15．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，，求的值，并证明：；
（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．
22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·河南驻马店·九年级期末）抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的值增大而减小
答案:B
分析：根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．(2023·全国·九年级）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据函数解析式求出与的值，比较大小即可．
【详解】解：把，代入得，
，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是利用自变量的值求出函数值．
3．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：由抛物线解析式可得顶点坐标．
【详解】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．(2023·全国·九年级课时练习）二次函数y=x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限
答案:A
分析：由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】∵y=x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A．向上，轴B．向上，轴
C．向下，轴D．向下，轴
答案:B
分析：利用二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，
，
对称轴为 ，对称轴为轴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据抛物线的图像，时，开口向下即可得到答案．
【详解】解：抛物线 y=−2x2，
∵，
∴二次函数图像开口向下．
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线的图像，a0时，开口向上，顶点（0，0）；时，开口向下，顶点（0，0）．
7．(2023·河南信阳·九年级期末）已知抛物线上的两点和，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：抛物线的对称轴为，且开口向下，在时，y随x的增大而增大，且，即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为，抛物线开口向下，
函数在时，y随x的增大而增大，
∴，
而，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是：找到二次函数的对称轴，利用函数增减性进行比较．
8．(2023·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y＝x24x1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（2，5）D．当x≥2时，y随x增大而减小
答案:B
分析：根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为（2，-5），
∴当时，y随x的增大而增大，
故选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．(2023·全国·九年级课时练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；
C．在 中，在每个象限内，y随x的增大而增大减小，故选项C符合题意；
D．在中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查正比例函数的性质、一次函数的性质，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和一次函数的性质解答．
10．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案:C
分析：根据二次函数图象的性质判定即可．
【详解】抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；
综上分析可知，正确的个数为2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题
11．(2023·全国·九年级专题练习）已知函数，不画图象，回答下列各题：
（1）其图象的开口方向：________
（2）其图象的对称轴：________
（3）其图象的顶点坐标：________
（4）当x>0时，y随x的增大而__________________________；
（5）当x__时，函数y的最_____值是________
答案: 向下 y轴 (0，0) 减小 =0 大 0
分析：由抛物线解析式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：因为已知函数，所以其图象是抛物线．
又因为a＜0，所以抛物线开口方向向下；
对称轴是y轴(或直线x=0)；
顶点坐标是(0，0)；
当x>0时，y随x的增大而减小；
当x=0时，y最大，最大值是0．
故答案为：向下；y轴；(0，0)；减小；0，大，0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
12．(2023·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知点、在二次函数的图像上，则______（＞或＜或＝）．
答案:
分析：分别计算出自变量和对应的函数值即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵点、在二次函数的图像上，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上的点的坐标满足其解析式．
13．(2023·上海普陀·二模）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
答案:0（答案不唯一）
分析：由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．
【详解】解：图像在轴右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
14．(2023·辽宁大连·九年级期末）在平面直角坐标系xy中，矩形四个顶点坐标分别为(1，1)，(1，2)，(3，1)，(3，2)，若抛物的图象与矩形的边有公共点，则实数的取值范围是____________．
答案:
分析：根据a值对抛物线开口的作用进行判断即可．
【详解】解：根据题意得：抛物线过点（1，2）时开口最小，过点（3，1）时，开口最大．
当抛物线过点（1，2）时，2=a×1，
解得：a=2．
当抛物线过点（3，1）时，1=9a，
解得：，
∴实数的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的图象，确定a取最值时的条件是求解本题的关键．
15．(2023·河南南阳·九年级期末）已知点在二次函数的图象上，则的值等于_______．
答案:
分析：把点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
【详解】解：∵点P(a，)在二次函数y=2x2的图象上，
∴=2a2，即a2=，
解得a=±．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
16．(2023·辽宁葫芦岛·九年级期末）已知抛物线经过 三点，则、、的大小关系是______；（用“<”连接）
答案:
分析：把点的坐标分别代入抛物线的解析式可用a表示、、的值，比较大小即可．
【详解】解：∵抛物线经过 三点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
三、解答题
17．(2023·全国·九年级专题练习）通过列表、描点、连线的方法画函数y=的图象．
分析：首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象．
【详解】解：列表得：
描点、连线．
【点睛】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键．
18．(2023·全国·九年级专题练习）画函数的图像．
分析：利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．
【详解】解：列表：
描点、连线如下图所示：
【点睛】本题考查了二次函数的画法，做题的关键是列出表格、描点、连线即可．
19．(2023·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习）已知是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
答案:（1）k=2；（2）顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴
分析：（1）根据二次函数的次数是2，可得方程，根据二次函数图象的性质，可得k＋2＞0，可得答案；
（2）根据二次函数的图象，可得顶点坐标，对称轴．
【详解】解：（1）由y＝（k＋2）是二次函数，且当x＞0时，
y随x的增大而增大，得
解得k＝2；
（2）y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和函数图象的性质，熟练应用二次函数图象性质是解题关键．
20．(2023·全国·九年级专题练习）已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
（1）求m的值；
（2）画出函数的图象．
答案:（1）m=1；（2）见解析
分析：（1）根据二次函数的定义以及性质，求解即可；
（2）描点法画出函数的图像即可．
【详解】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴ ，
∴
∴
（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，
描点连线，如图所示．
【点睛】此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质．
21．(2023·全国·九年级专题练习）已知y=是二次函数且其图象开口向上，求m的值和函数解析式．
答案:m=1，y=
分析：根据二次函数的定义，得m2+m=2且m+1>0，确定m的值，然后把m的值代入函数式即可得到答案．
【详解】解：∵函数是二次函数且其图象开口向上，
∴，
解得：m=1，
∴二次函数的解析式为：y=．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及性质，二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是： a、b、c为常数且a≠0，自变量最高次数为2．当a<0时，二次函数图象开口向下；当a＞0时，二次函数图象开口向上．
22．(2023·全国·九年级）已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
答案:（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0
分析：（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；
（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；
（3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集．
【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当时，，
当x＝4时，，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，，
∴当时，；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）已知：，且点都在函数的图像上，那么的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可．
【详解】∵点都在函数的图像上，
∴，，，
∵，
∴-4a＞0，-4a+4＞0，4a＜0，4a+4=4（a+1）＞0，
∴＞0，＜0，
∴，，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键．
2．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
答案:A
分析：先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．
【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．
3．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069B．6066C．6063D．6060
答案:A
分析：根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°，然后表示出A0B1的解析式，与二次函数解析式联立求出点B1的坐标，再根据等边三角形的性质求出A0A1，同理表示出A1B2的解析式，与二次函数解析式联立求出点B2的坐标，再根据等边三角形的性质求出A1A2，同理求出B3的坐标，然后求出A2A3，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求得三角形的周长．
【详解】解：∵△A0B1A1是等边三角形，
∴∠A1A0B1=60°，
∴A0B1的解析式为y=，
联立
解得：或，
∴B1（，），
∴等边△A0B1A1的边长为，
同理，A1B2的解析式为y=，
联立，
解得或，
∴B2（，2），
∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（21）=2，
同理可求出B3（，），
所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（-1-2）=3，
…，
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
△A2022B2023A2023的边长为2023，
∴△A2022B2023A2023的周长是6069．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，根据点B系列的坐标求出等边三角形的边长并且发现系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键．
4．(2023·浙江温州·九年级阶段练习）方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案:B
分析：将方程变形为，然后分别画出函数的图像和函数的图像，看图像有几个交点则表明有几个点，注意函数图像中的点不是方程的解．
【详解】解：由题意可知，方程可变形为，
进一步可将题意变成：函数的图像和函数的图像有几个交点，
画出它们的函数图像如下：
由图像可知，它们只有一个交点，故方程只有一个解，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像及反比例函数的图像交点问题，熟练掌握常见函数的图像是解决本题的关键．
二、填空题
5．(2023·江西赣州·九年级期末）如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
答案:2
分析：由A点坐标为（0，1）结合两个函数解析式求出点C的坐标，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后根据DE∥AC然后利用y2求出点E的坐标，用点E的横坐标减去点D得横坐标即可解答．
【详解】解：∵,AC//x轴
∴点A、C的纵坐标相同
∴，解得x=2，
∴点C（2，1），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同为2，
∴y1=22=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4，
∴，解得:x=4，
∴点E的坐标为（4，4），
∴DE=4-2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出相关点的坐标成为是解答本题的关键．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
答案:
分析：抛物线开口向上，因此a大于0，a越大抛物线开口越小，a越小抛物线开口越大，因此抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值，由此可解．
【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，
∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，找到a取最大值和最小值时与正方形的交点是解题的关键．
7．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．
答案:
分析：先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
【详解】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x，
得x=x2+x，
解得x=1或x=0（舍），
设A2B2=m，
∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y=x2+x，
得m2+m＝1+m，
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，
得B2021A2022=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A(，2)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为_______．
答案:
分析：通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为（m，2-2m），将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把A(，2)代入y=ax2中得2=a，
解得a=1，
∴y=x2，
设点C横坐标为m，
∵四边形CDFE为正方形，
∴CD=CE=2m，
∴点E坐标为（m，2-2m），
∴m2=2-2m，
解得m=-1-（舍）或m=-1+．
∴CD=2m=-2+2．
答：线段CD的长是-2+2．
故答案为：-2+2．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
9．(2023·全国·九年级课时练习）若是二次函数，且图象的开囗向下，则m的值为______．
答案:
分析：根据二次函数的定义，令m2−3＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数2−m＜0，确定m的值．
【详解】解：∵已知函数为二次函数，
∴m2−3＝2，
解得m＝−或，
当m＝时，2−m＝2−＜0，二次函数图象开口向下，
当m＝−时，2−m＝2＋＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及性质．二次函数y＝ax2＋bx＋c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．当a＜0时，二次函数图象开口向下．
10．(2023·全国·九年级课时练习）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝_______________．
答案:5﹣
分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
【详解】设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝，
∴点B（，a），
∴AB＝．
∵＝a，
则x＝，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1＝（）2＝5a，
∴点D的坐标为（，5a）．
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为5a，
∴＝5a，
∴x＝5，
∴点E的坐标为（5，5a），
∴DE＝5﹣，
∴＝＝5﹣．
故答案是：5﹣．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是关键．
11．(2023·湖南株洲·九年级期末）对于3个数：，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数的最大数．例如：．如果，则=______________．
答案:或
分析：由题意结合函数图像数形结合列出方程，解之可得．
【详解】解：由题意知：
∴设 ，做出图像如图：
结合图像可知：在图像中的交点A，B两点处满足条件 ，
此时
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了函数图像与方程的相关知识，解题的关键是读懂题意，根据题意结合图像去求解，考查综合应用能力．
12．(2023·山东德州·二模）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M2014的坐标为____．
答案:（4027，4027）
分析：根据抛物线y＝x2与抛物线yn＝（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．
【详解】解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，
抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，
得x2＝（x﹣a1）2+a1，
即2a1x＝a12+a1，
x＝（a1+1），
∵x为整数点，
∴a1＝1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y＝x2与y2相交于A2，
x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，
∴2a2x＝a22+a2，
x＝（a2+1），
∵x为整数点，
∴a2＝3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y＝x2与y3相交于A3，
x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x＝a32+a3，
x＝（a3+1），
∵x为整数点
∴a3＝5，
M3（5，5），
∴点M2014，两坐标为：2014×2﹣1＝4027，
∴M2014（4027，4027），
故答案为：（4027，4027）．
【点睛】本题是点的坐标规律型探究题，结合二次函数求出点的坐标并观察规律是解题的关键．
三、解答题
13．(2023·全国·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
答案:(1)抛物线解析式为
(2)
分析：(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
(1)把代入得：，
∴抛物线解析式为；
(2)设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．
14．(2023·全国·九年级课时练习）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
答案:(1)，
(2)见解析
分析：（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．
(1)把点A（-4，8）代入，得：
∴；
把点A（-4，8）代入，得：
∴；
(2)如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=-x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，
∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y=×22=2，
∴点D在抛物线y=x2上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，，求的值，并证明：；
（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．
答案:（1）；（2），证明见解析；（3）成立，理由见解析．
分析：（1）先将A点坐标代入解析式求得a，然后再求C即可；
（2）设 、然后再求直线AC的解析式，再结合AC2：BC2=1:4列式求得a，再确定C点坐标，然确定A、B的坐标，最后运用勾股定理逆定理解答即可；
（3）由可得，进而求得a，然再确定C点坐标，然确定A、B的坐标，最后运用勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：（1）当A（-4，-2）时，A在上，
∴，即a=-
∴；
（2）设 、
∴A（-1，a），C（0，a），
设AC的解析式为y=kx+b
则 ，解得
∴AC的解析式为
∵AC：BC=1:2
∴
∴
∴B（-2m，4am2），A（2，4a）
∵AC：BC=1:2
∴AC2：BC2=1:4，即BC2=4 AC2
∴ ，解得a=
∴A（-1，），B（2，）
∴AO2= , BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°；
（3）成立，理由如下：
∵，则 A(m，am2)，B(-km， ak2m2)，
∴

∴ ，解得，即a=（a＜0）
∴A（m， ），B（-km，）
∴AO2= ,
BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°；
【点睛】本题属于一次函数和二次函数的综合题，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
自变量