浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.16 换元法解一元二次方程（基础篇）（含答案）

这是一份浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.16 换元法解一元二次方程（基础篇）（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知实数满足，那么的值为（ ）．
A．-5或1B．-5C．5或-1D．1
2．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=2，x2=6D．x1=﹣2，x2=﹣6
3．用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是（ ）．
A．B．
C．D．
4．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．或4B．4C．D．4或
5．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2018
8．我们知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式进行求解．对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）也可以通过因式分解、换元等方法，使三次方程“降次”为二次方程或一次程，进而求解．这儿的“降次”所体现的数学思想是（ ）
A．转化思想B．分类讨论思想
C．数形结合思想D．公理化思想
9．已知实数x满足x2++x+=0，如果设 x+=y,则原方程可变形为（ ）
A．y2 +y-2=0B．y2 +y+2=0C．y2 +y=0D．y2 +2y=0
10．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A．x1=1，x2=3
B．x1=﹣2，x2=3
C．x1=﹣3，x2=﹣1
D．x1=﹣1，x2=﹣2
二、填空题
11．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．
12．解分式方程时，设，则原方程化为关于的整式方程是__________.
13．若，则_____．
14．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
15．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程一定有一个根为______．
16．在实数范围内，已知，则的值是______．
17．若x，y为实数，，则_______．
18．若，则___．
三、解答题
19．（换元法）
20．．
21．已知实数满足，，求的值．
22．解方程：．
23．我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
24．阅读下列材料
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，求出x．
（2）利用换元法解方程．
参考答案
1．D
分析：把看做一个整体，设，从而把原方程转化成一个关于y的一元二次方程，解方程即可．
解：设，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵
∵，
∴，
故选D．
【点拨】本题主要考查了换元法解方程和因式分解法解一元二次方程，正确利用换元的思想解方程是解题的关键．
2．D
分析：根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．
解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，
解得：x=﹣2或﹣6，
即x1=﹣2，x2=﹣6，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．
3．C
分析：根据换元法，可得答案．
解：设x2﹣x＝y，原方程等价于y﹣1＋＝0，
两边都乘以y，得
y2﹣y＋2＝0，
故选：C．
【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．
4．B
分析：设，则原方程变为，利用因式分解法求出方程的两个根，再根据即可得到答案．
解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．
5．B
分析：可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，然后解两个一次方程即可．
解：把方程看作关于的一元二次方程，
而于的方程的解是、，，均为常数，，
所以，，
所以，．
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
6．D
分析：先将方程化为，再根据方程有一个根为x＝5，根据x-1=5求解即可．
解：将关于x的一元二次方程变形，得(m≠0)，
令u=x-1，得，
关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，
关于u的一元二次方程(m≠0)有一个根为u=5，
将u=5代入u=x-1，得，
解得，x=6，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法是解本题的关键．
7．A
分析：对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021．
解：对于一元二次方程，
设t=x-1，
所以at2+bt+3=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020，
则x-1=2020，
解得x=2021，
所以一元二次方程必有一根为x=2021．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．A
分析：解高次方程的一般思路是逐步降次，所体现的数学思想就是转化思想．
解：由题意可知，解一元三次方程的过程是将三次转化为二次，二次转化为一次，从而解题，在解题技巧上是降次，在解题思想上是转化思想．
故选：A．
【点拨】本题考查高次方程；通过题意，能够从中提取出解高次方程的一般方法，同时结合解题过程分析出所运用的解题思想是解题的关键．
9．A
解：∵x2+=（x+）2-2，
∴原方程可变形为y2-2+y=0，
整理得：y2+y-2=0．
故选A．
10．D
解：此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3=0，
∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，
所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．
故选D．
11．
分析：设，将方程变形，开方求出a的值，即可确定出所求．
解：设，则，
方程变形得：，
开方得：或，
解得： 或（舍去），
∴；
故答案为：6．
【点拨】此题考查了换元法解一元二次方程， 熟练掌握直接开平方法解方程是解本题的关键．
12．
分析：根据换元法，可得答案．
解：设，则原方程化为，
两边都乘以y，得：，
故答案为.
【点拨】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
13．1
分析：设，则方程化为，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可．
解：，
，
设，
则化为，
解得：，
即，
所以．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是要将原式变形，设，得到一元二次方程．
14．
分析：把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），
∴方程变形为，
即此方程中或，
解得或．
故方程的解为．
故答案为．
【点拨】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
15．
分析：把方程化为令 则结合方程的解的含义可得答案．
解：∵，
∴
令 则
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴的一根为，
∴
解得：
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“整体未知数的方法或换元法理解一元二次方程的解”是解本题的关键．
16．-3
分析：直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案．
解：设，
则，
，
故，
解得：，，
当时，
则，
此时△，
此方程无解，
故，
故的值是．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键．
17．36
分析：首先设=t(t≥0)，把原式变形为t²-5t-6=0，得出t=6，再根据算术平方根的性质求解即可．
解：设=t(t≥0)，
则t(t-5)=6，
即t²-5t-6=0，
则(t-6)(t+1)=0，
解得：t1=6，t2=-1（不符合t的取值，舍去），
∴t=6，
∴=6，
∴x+y=36，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，掌握利用换元法和因式分解法解一元二次方程和算术平方根的非负性是解题关键．
18．3
分析：利用整体代换法令，再解方程即可解答.
解：令可得：
，整理得，
解得，，即，
故答案为：3．
【点拨】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.
19．，
分析：设2x+1=a，原方程可化为，解一元二次方程即可．
解：设2x+1=a，原方程可化为，
解得a=1或5，
当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；
当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；
∴原方程的解为，．
【点拨】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．
20．．
分析：设，则原方程变形为，可得，再分别代入计算，即可求解．
解： 设，则原方程变形为，
解得：，
经检验：均是方程的解，
当时，，
解得：；
当时，，此方程无解；
所以原方程的解为．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，利用换元法解答是解题的关键．
21．
分析：根据题意可得，然后因为，所以和可以看成是方程的两个根，从而得出结论．
解：∵
∴
又∵
∴和可以看成是方程的两个根．
∴或
当时，
∴
当时，x，y无解．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的知识，正确掌握方法是解题的关键．
22．x=或x=1
分析：由已知条件可知，可以用换元法把看做一个整体，即设，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
解：设，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1，y2=3，
∴或，
解得x=或x=1，
经检验：x=或x=1都是原方程的解，
∴原方程的解是x=或x=1．
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是化繁为简的一种方法，解题的关键是根据方程特点设出相应未知数，注意求出方程解后要验根．
23．(1) ，(2) ，，，
分析：（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解；
（2）设，则或，由此即可求解．
（1）解：（1）设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，此时方程无解，
∴原方程的解是，．
（2）解：设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，．
∴原方程的解是，，，．
【点拨】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．
24．（1），；（2），
分析：（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；
（2）设把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0，
∴因式分解为：，
∴或，
∴或，
对于方程，
解得：，，
对于方程，
移项得：，
∵，
∴上述方程无解，
∴原方程的解为：，．
（2）设y＝，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即，
解得，，
经检验，y＝1是分式方程的根．
∴＝1，
即：，
解得：，．
经检验，1±是上述分式方程的根．
∴原方程的解为：，．
【点拨】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．