2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数a+3i2+i是纯虚数，则实数a=( )
A. −32B. 32C. −23D. 23
2.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：
则下列说法正确的是( )
A. 得分的众数为34B. 得分的中位数为28
C. 得分的75%分位数为33D. 得分的极差为6
3.已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是( )
A. 若α/​/β，m//β，则l/​/mB. 若α/​/β，m⊥β，则l⊥m
C. 若l/​/m，α/​/β，则m//βD. 若l⊥m，m//β，则α⊥β
4.已知a>0，b>0，则“a+b>1”是“ab>14”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角的余弦值为( )
A. 12
B. 64
C. 14
D. 0
6.已知cs(α+π8)+2cs(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=( )
A. 12B. 43C. −1D. −43
7.已知m∈R，若函数f(x)=1x+1−mx−m−3(−10，b>0，已知lg2a+lg4b2=3，则ab= ______．
13.在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c2=2 2ac，则△ABC的面积为______．
14.定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(cs3x2,sin3x2)，b=(csx2,sinx2)，c=(sinx2,−csx2)．
(1)当x=π2时，求a⋅b及a⋅c的值；
(2)若函数f(x)=a⋅b+ 3a⋅c，其中x∈[0,π]，求f(x)的值域．
16.(本小题15分)
某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间(50,60)的人数为5．
(1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x；
(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数；
(3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA2+csA=1，acsinA+4sinC=4csinA．
(1)求边长a和角A；
(2)若△ABC的面积为 32，求中线AD的长度；
(3)若bc=1，求角平分线AE的长度．
18.(本小题17分)
在多面体ABCDEF中，AD//BC//EF，且AD=CD=DE=4，BC=EF=2，∠BCD=∠FED=π3．
(1)证明：AD⊥CE；
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，求二面角A−BF−D的余弦值；
(3)在(2)的条件下，求该多面体ABCDEF的体积．
19.(本小题17分)
对于函数f(x)，若存在实数m，使得ℎ(x)=f(x+m)−f(m)为R上的奇函数，则称f(x)是位差值为m的“位差奇函数”．
(1)若f(x)=sin(x+φ)是位差值为π3的位差奇函数，求φ的值；
(2)已知f(x)=2x−t⋅2−x，g(x)=4x+4−xt，若存在m∈[0,+∞)，使得f(x)是位差值为m的“位差奇函数”．
①求实数t的取值范围；
②设直线x=x1，x=x2与函数ℎ(x)=f(x+m)−f(m)的图象分别交于A、B两点，直线x=x1，x=x2与函数g(x)的图象分别交于C、D两点，若存在x1≠x2，且x1，x2∈[0,1]，使得AB//CD，求实数m的取值范围．
答案解析
1.A
【解析】解：∵a+3i2+i=(a+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a+3+(6−a)i4−i2=2a+35+6−a5i是纯虚数，
∴2a+3=06−a≠0，解得a=−32．
故选：A．
2.C
【解析】解：根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A错误；
将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34，
所以中位数为28+302=29，可知B错误；
易知75%×8=6为整数，
所以第75%分位数为第6个和第7个数的平均值32+342=33，即C正确；
得分的极差为34−26=8，即D错误．
故选：C．
3.B
【解析】解：对于A，若α/​/β，m//β，则l/​/m或l与m异面，故A错误；
对于B，若α/​/β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；
对于C，若l/​/m，α/​/β，则m//β或m⊂β，故C错误；
对于D，若l⊥m，m//β，则α/​/β或α与β相交，故D错误．
故选：B．
4.B
【解析】解：当a=0.01，b=1时，满足a+b>1，但ab=0.114时，由a>0且b>0，可得a+b≥2 ab>2 14=1，即a+b>1，必要性成立．
综上所述，“a+b>1”是“ab>14”的必要不充分条件．
故选：B．
5.C
【解析】解：由图可得，在正六棱柱中，BC1//FE1，连接E1F，FD，
则∠FE1D即为异面直线BC1与DE1所成角或其补角；
∵CC1⊥BC，BC=CC1=1，∴BC1= BC2+CC12= 12+12= 2，
同理可得，DE1= 2，
在△FDE1中，DE1=FE1= 2，又∠FED=120°，
∴FD= EF2+ED2−2EF⋅ED⋅cs120°= 3，
由余弦定理可得：cs∠FE1D=FE12+DE12−DF22FE1⋅DE1=2+2−32⋅ 2⋅ 2=14．
故选：C．
6.D
【解析】解：因为cs(α+π8)+2cs(α−3π8)=0，
所以cs(α+π8)+2cs(α+π8−π2)=0，即cs(α+π8)+2sin(α+π8)=0，
所以tan(α+π8)=sin(α+π8)cs(α+π8)=−12，
所以tan(2α+π4)=2tan(α+π8)1−tan2(α+π8)=2×(−12)1−(−12)2=−43．
故选：D．
7.B
【解析】解：令1x+1−mx−m−3=0，即1x+1=mx+m+3，
设g(x)=1x+1,ℎ(x)=mx+m+3，x∈(−1,0]，由题意，函数g(x)与函数ℎ(x)在(−1,0]上有且仅有两个交点，如图，
9
显然函数ℎ(x)过定点P(−1,3)，g′(x)=−1(x+1)2，设过点P且与函数g(x)相切时的切线为PN，切点为N(x0,y0)，
则y0−3x0+1=m−1(x0+1)2=my0=1x0+1，
解得m=−94x0=−13y0=32，
又kPM=3−1−1−0=−2，
易知，当kPN