沪教版六年级下册数学专题训练专题04计算能力之绝对值综合应用专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级下册数学专题训练专题04计算能力之绝对值综合应用专练(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 计算能力之绝对值综合应用专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知（|x﹣2|+|x+1|）（|y﹣2|+|y﹣7|）＝15，则（x+y）2021的最小值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．22021
2．数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在，之间B．在，之间
C．在，之间D．在，之间
3．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知a，b，c都是有理数，且满足，那么的值是（ ）
A．3B．5C．6D．7
5．若|a|＝2，|b﹣2|＝5，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值是（ ）
A．5B．5或9C．﹣5D．﹣5或﹣9
6．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（ ）
A．﹣4B．2C．﹣2D．﹣6
7．下列说法正确的是（ ）
①已知，，是非零有理数，若，则的值为0或；
②已知时，那么的最大值为8，最小值为；
③若且，则代数式的值为．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．下列说法正确的是（ ）
①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或－2；
②已知时，那么的最大值为8，最小值为－8；
③若且，则代数式的值为．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．当 时，代数式有最小值 b，则 的值为_____．
10．若，且，，均不为零，则的值为__________．
11．已知x为有理数，则|1－x|＋|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－10x|的最小值为__________
12．若为有理数，则的最小值为___________．
13．a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4，求2a﹣（cd）2020+2b﹣3m的值是_________．
14．式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．
15．已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，且，求的值为___．
16．若有理数x，y满足条件：，，，则___________．
17．的最小值为_________；此时取值范围是_________．
18．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___．
19．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．
20．若有理数x，y，z满足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．
三、解答题
21．已知a，b，c在数轴上的位置如图．
（1）﹣2，1之间的距离为 ；a，﹣1之间的距离可表示为 ，b，c之间的距离可表示为 ；
（2）化简：|a+b|﹣|c﹣a|；
（3）若b+c＝1﹣a，且b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，求a2+b+c的值．
22．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示和2两点之间的距离是________．
（2）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________．
（3）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________；
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ．
（5）当________时，的值最小，最小值是________．
23．某电力检修小组乘一辆皮卡车沿南北走向的公路检修线路，约定向北为正，向南为负，当天从P地出发到收工时，行走记录如下（单位：千米）+15，－8，+5，－12，+10，－18，+20，+14，－11，+17．
（1）收工时，该检修小组在P地的哪一边，距P地有多远？说明理由；
（2）若该车每千米耗油0.08升，收工时共耗油多少升？说明理由；
（3）现油价约为7.5元/升，若耗油量与（2）相同，则该小组回到P地时，当天所需油费总共是多少元？
24．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：
+9，-3，-5，+4，-8，+6，+3，-6，-4，+7．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
25．（1）用“>”“<”或“=”填空：_____ ；______；_____；______；归纳：若a、b异号时，______，若a、b同号或至少有一个为0时，____；
（2）根据上题中得出的结论，若，，求的值．
26．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
27．已知满足关系式，试求的最大值和最小值．
28．问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究：
（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 ．
问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？
编者小k君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 计算能力之绝对值综合应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知（|x﹣2|+|x+1|）（|y﹣2|+|y﹣7|）＝15，则（x+y）2021的最小值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．22021
【标准答案】C
【思路指引】
根据式子确定的范围，求得的最小值，并得到的最小值，即可求解．
【详解详析】
解：∵
∴、化简结果都为常数，
当时，，
∴
当时，，
∵
∴当，时，的取值范围符合题意，
∴的最小值为，的最小值为
∴的最小值为
∴
故选C
【名师指路】
此题考查了绝对值的性质，乘方的性质，解题的关键是根据题中的式子确定的取值范围．
2．数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在，之间B．在，之间
C．在，之间D．在，之间
【标准答案】B
【思路指引】
根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解详析】
解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC
∵，
∴MD=BD，
又∵-5＜d＜-1＜3
∴M点介于O、C之间，
故选：B．
【名师指路】
本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键．
3．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可．
【详解详析】
解：∵，，且，
∴，，，
∴，
∴．
故选：C．
【考点】
本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
4．已知a，b，c都是有理数，且满足，那么的值是（ ）
A．3B．5C．6D．7
【标准答案】D
【思路指引】
此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到a，b，c的符号关系，再进一步求解．
【详解详析】
解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或−1．
又，则其中必有两个1和一个−1，即a，b，c中两正一负．
则，
则＝6−（−1）＝7．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5．若|a|＝2，|b﹣2|＝5，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值是（ ）
A．5B．5或9C．﹣5D．﹣5或﹣9
【标准答案】D
【思路指引】
根据|a|＝2，|b﹣2|＝5，得出a和b的值，再由|a+b|＝a+b确定a+b的符号，即可得出答案．
【详解详析】
解：∵|a|＝2，
∴a＝﹣2或2，
∵|b﹣2|＝5，
∴b﹣2＝﹣5或5，
∴b＝﹣3或7，
又∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴当a＝﹣2时，b＝7，此时a﹣b＝﹣2﹣7＝﹣9，
当a＝2时，b＝7，此时a﹣b＝2﹣7＝﹣5，
∴a﹣b＝﹣9或﹣5，
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查绝对值，有理数的减法，关键是要牢记绝对值的定义．
6．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（ ）
A．﹣4B．2C．﹣2D．﹣6
【标准答案】A
【思路指引】
利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c＝0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可．
【详解详析】
解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
∵＝，
∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0；
当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝−a．
7．下列说法正确的是（ ）
①已知，，是非零有理数，若，则的值为0或；
②已知时，那么的最大值为8，最小值为；
③若且，则代数式的值为．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【标准答案】D
【思路指引】
利用绝对值的意义对每个说法逐一判断即可得出结论．
【详解详析】
解：①∵a，b，c是非零有理数，若，
∴a，b，c中有两个负数一个正数，
∴a，b有可能同为负数或一个正数一个负数，
当a，b同为负数时，
；
当a，b一个正数一个负数时，设a＜0，b＞0，
∴，
综上，的值为0或2．故①正确；
②∵x≤5，
∴|x-5|=5-x．
当-3≤x≤5时，
∴|x+3|-|x-5|=（x+3）-（5-x）=2x-2，
∴当x=5时，原式有最大值2×5-2=8，
当x=-3时，原式有最小值2×（-3）-2=-8；
当x＜-3时，
|x+3|-|x-5|=-x-3-（5-x）=-x-3+x-5=-8．
综上，当x≤5时，那么|x+3|-|x-5|的最大值为8，最小值为-8，∴②正确；
③∵|a|=|b|且|a−b|=，
∴a，b互为相反数，
∴a+b=0，a=-b．
∴-ab=b2．
∴|-2b|=，
∴|b|=，
∴b2=．
∴．∴③正确．
综上，正确的说法有：①②③．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了求代数式的值，绝对值，利用分类讨论的方法求|x+3|-|x-5|的最大值或最小值是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或－2；
②已知时，那么的最大值为8，最小值为－8；
③若且，则代数式的值为．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【标准答案】D
【思路指引】
根据绝对值的意义进行化简和计算求值即可判断．
【详解详析】
解：∵，
∴a，b，c中两负一正，当a，b都为负数时，；当a，b一正一负时，；故①正确；
时，那么，此时，最大值为8，最小值为-8；时，那么；故②正确；
∵且，
∴或；
，或；
故③正确；
故选：D
【名师指路】
本题考查了绝对值、代数式求值、有理数的运算，解题关键是理解绝对值的含义，熟练化简绝对值，准确进行计算．
二、填空题
9．当 时，代数式有最小值 b，则 的值为_____．
【标准答案】
【思路指引】
利用绝对值的性质去掉绝对值符号，找到当时，有最小值为10，即可求解．
【详解详析】
当时，
，
此时，没有最小值；
当时，
，
此时，当时，有最小值为10，
∴，，
∴．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了绝对值的应用，利用绝对值的性质正确去掉绝对值符号是解题的关键．
10．若，且，，均不为零，则的值为__________．
【标准答案】
【思路指引】
由题意易得，，的值可能是两负一正或两正一负，然后进行分类求解即可．
【详解详析】
解：∵，且，，均不为零，
∴，，的值可能是两负一正或两正一负，
①当，，时，其他两负一正的情况都是一样的，故这里只说明一种，则有：
，
②当，，时，则有：
，
综上所述：的值为；
故答案为．
【名师指路】
本题主要考查正负数与绝对值的意义及有理数的混合运算，熟练掌握正负数与绝对值的意义及有理数的混合运算是解题的关键．
11．已知x为有理数，则|1－x|＋|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－10x|的最小值为__________
【标准答案】或
【思路指引】
取不同范围内，去绝对值符号，得到不同的式子，可列出所有范围，再求其最小值．
【详解详析】
解：（1）当时，原式，
（2）当时，原式，
最小值为；
（3）当时，原式，
最小值为；
（4）当时，原式，
最小值为；
（5）当时，原式，
最小值为；
（6）当时，原式，
最小值为；
根据趋势，时，该区域内的最小值会逐渐增加，
最小值为，
故答案是：．
【名师指路】
本题考查了含绝对值的代数式求最值问题，解题的关键通过分类讨论取绝对值符号进行求解．
12．若为有理数，则的最小值为___________．
【标准答案】1
【思路指引】
根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程可得结论．
【详解详析】
解：令x-3=0，得x=3；
令x-2=0，得x=2
当x<2时，，
当x>3时，，
当2≤x≤3时，；
故答案为：1．
【名师指路】
此题主要考查了绝对值的意义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．
13．a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4，求2a﹣（cd）2020+2b﹣3m的值是_________．
【标准答案】﹣13或11或-13
【思路指引】
首先依据相反数、倒数、绝对值的性质得到a+b＝0，cd＝1，m＝±4，然后代入计算即可．
【详解详析】
解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝4，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4．
∴当a+b＝0，cd＝1，m＝4时，
2a﹣（cd）2020+2b﹣3m＝2(a+b)﹣（cd）2020﹣3m
＝2×0﹣12020﹣3×4
＝0﹣1﹣12
＝﹣13，
当a+b＝0，cd＝1，m＝﹣4时，
2a﹣（cd）2020+2b﹣3m＝2(a+b)﹣（cd）2020﹣3m
＝2×0﹣12020﹣3×（﹣4）
＝0﹣1＋12
＝11，
故答案为：﹣13或11．
【名师指路】
本题考查代数式求值，理解相反数和倒数的概念，掌握绝对值的意义，利用分类讨论思想解题是关键．
14．式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．
【标准答案】7
【思路指引】
|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数﹣4的距离之和，因此当x在3与﹣4之间时，这个距离之和最小，最小值为3与﹣4之间的距离7．
【详解详析】
解：|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3的点与表示数﹣4的点的距离之和，
因此当﹣4≤x≤3时，这两个距离之和就是表示数3的点与表示数﹣4的点之间的距离，为7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7，
当x＜﹣4或x＞3时，这两个距离之和都会大于表示数3的点与表示数﹣4的点的距离，即：|x﹣3|+|x+4|＞7，
∴当﹣4≤x≤3时，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7．
故答案为：7．
【名师指路】
本题考查了绝对值的几何意义．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提．
15．已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，且，求的值为___．
【标准答案】7
【思路指引】
根据条件，表示方法，确定表示方法中的哪两个数是表示同一个数，后代入化简计算即可．
【详解详析】
∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，
∴a+b=0或b=0，
若b=0，则就没有意义，
故b=0不成立，
∴a+b=0；
若=1，则a=b，这与已知三个互不相等的有理数矛盾，
∴=1不成立，
故a=1，
∴=b即，
∴b= -1或b=1，与a相等，舍去，
∴a+b=0，a=1，b= -1，
∵，
∴，
∴
=0-1-1+9
=7，
故答案为：7．
【名师指路】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘方运算是解题的关键．
16．若有理数x，y满足条件：，，，则___________．
【标准答案】4或0或4
【思路指引】
根据绝对值的性质求出x，y，再计算代数式的值即可；
【详解详析】
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴当时，，
当，时，原式；
当，时，原式；
故答案是：4或0．
【名师指路】
本题主要考查了绝对值的性质应用和代数式求值，准确计算是解题的关键．
17．的最小值为_________；此时取值范围是_________．
【标准答案】6
【思路指引】
根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解详析】
当时，，
∵，
∴；
当时，；
当时，，
∵，
∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．
故答案是：6；．
【名师指路】
本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．
18．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___．
【标准答案】-4
【思路指引】
利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c=0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可．
【详解详析】
解：∵abc＞0，a+b+c=0，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
∵，
∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0；
当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4，
∴x+y=0+（-4）=-4．
故答案为：-4．
【名师指路】
本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a．
19．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案．
【详解详析】
解：∴，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查数轴上两点间距离，掌握线段上的点与线段两端点的距离的和最小是解题的关键．
20．若有理数x，y，z满足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．
【标准答案】﹣8
【思路指引】
根据绝对值的性质分别得出|x+1|+|x﹣2|，|y﹣1|+|y﹣3|，|z﹣3|+|z+3|的取值范围，进而得出x，y，z的取值范围进而得出答案．
【详解详析】
解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1＞3，
当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣（x﹣2）＝3，
当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3，
所以可知|x+1|+|x﹣2|≥3，
同理可得：
|y﹣1|+|y﹣3|≥2，
|z﹣3|+|z+3|≥6，
所以（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）≥3×2×6＝36，
所以|x+1|+|x﹣2|＝3，
|y﹣1|+|y﹣3|＝2，
|z﹣3|+|z+3|＝6，
所以﹣1≤x≤2，
1≤y≤3，
﹣3≤z≤3，
∴x+2y+3z的最大值为：2+2×3+3×3＝17，
x+2y+3z的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【名师指路】
本题主要考查了绝对值的性质和有理数的计算，能够分段讨论正确得出x，y，z的取值范围是解题关键．
三、解答题
21．已知a，b，c在数轴上的位置如图．
（1）﹣2，1之间的距离为 ；a，﹣1之间的距离可表示为 ，b，c之间的距离可表示为 ；
（2）化简：|a+b|﹣|c﹣a|；
（3）若b+c＝1﹣a，且b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，求a2+b+c的值．
【标准答案】（1）3；a+1；b-c；（2）；（3）7．
【思路指引】
（1）根据两点之间的距离（用较大的数-较小的数）即可得；
（2）根据题意得出a，b，c的符号、绝对值大小，再去绝对值符号运算化简即可；
（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．
【详解详析】
解：（1）由数轴的定义得：在数轴上表示-2的点与表示1的点之间的距离为1-（-2）=3；
∵a>0
∴a，﹣1之间的距离可表示为：a-（-1）=a+1，
∵b>c
∴b，c之间的距离可表示为b-c；
故答案为：3；a+1；b-c；
（2）由a，b，c在数轴上的位置可知：c＜0＜b＜a，|a|＞|b|，则：
（3）当c<﹣1时，由已知得：b-（-1）=-1-c，即b+c=-2，
∵b+c＝1﹣a，即-2＝1﹣a，
∴a=3，
∴a2+b+c=9-2=7
当c>﹣1时，b-（-1）=c-（-1），则b=c，不符合题意，故舍去．
综上所述，a2+b+c=7．
【名师指路】
此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．
22．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示和2两点之间的距离是________．
（2）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________．
（3）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________；
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ．
（5）当________时，的值最小，最小值是________．
【标准答案】（1）3，5；（2）2或-4；（3）6；（4）12；（5）1；7
【思路指引】
（1）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值进行解答即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到，解得即可；
（3）先根据表示数的点位于与2之间可知，再根据绝对值的性质把原式去掉绝对值符号求出a的值即可；
（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．
（5）根据分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解详析】
解：（1）由数轴上两点之间的距离公式可知：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2两点之间的距离是；
故答案为：3，5；
（2）若表示数和的两点之间的距离是3，则，解得或，
故答案为：2或；
（3）∵，
∴；
故答案为：6；
（4）当时，，
当时，，
当时，，
∴使得的所有整数为：，，0，1，2，3，4，5，
∵，
故答案为：12；
（5）当时，，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，
由上可得，当时，的值最小，最小值是7，
故答案为：1，7．
【名师指路】
本题考查数轴、绝对值等知识点，明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．
23．某电力检修小组乘一辆皮卡车沿南北走向的公路检修线路，约定向北为正，向南为负，当天从P地出发到收工时，行走记录如下（单位：千米）+15，－8，+5，－12，+10，－18，+20，+14，－11，+17．
（1）收工时，该检修小组在P地的哪一边，距P地有多远？说明理由；
（2）若该车每千米耗油0.08升，收工时共耗油多少升？说明理由；
（3）现油价约为7.5元/升，若耗油量与（2）相同，则该小组回到P地时，当天所需油费总共是多少元？
【标准答案】（1）检修小组在P地的北边，距P地32千米；理由见解析；（2）10.4升；理由见解析；（3）97.2（元）．
【思路指引】
(1)只需求得所有数据的和，若和为正数，则检修小组在A地的北边，若和为负数，则检修小组在A地的南边，结果的绝对值即为离A地的距离；
(2)只需求得所有数的绝对值的和，即为汽车的行程，根据单位耗油量乘以行车路程，可得答案；
(3) 将油价乘以皮卡车回到P地时的路程，即可求出答案．
【详解详析】
解：
（1）因为15－8+5－12+10－18+20+14－11+17＝32 （千米）
所以收工时，检修小组在P地的北边，距P地32千米
（2）因为15+8+5+12+10+18+20+14+11+17＝130（千米）
所以130×0.08＝10.4
所以收工时共耗油10.4升
（3）因为该小组回到P地时皮卡车共行驶了130+32＝162（千米）
所以当天所需油费＝162×0.08×7.5＝97.2（元）
【名师指路】
本题考查了正数和负数，解决本题的关键是数量掌握有理数的加法运算和绝对值的含义．
24．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：
+9，-3，-5，+4，-8，+6，+3，-6，-4，+7．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
【标准答案】（1）出租车出租车离鼓楼出发点3千米远，在鼓楼的东方；（2）司机一个下午的营业额是元 ．
【思路指引】
（1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西；
（2）求出记录数字的绝对值的和，在乘以 即可．
【详解详析】
解：（1）根据题意有：向东走为正，向西走为负；
则将最后一名乘客送到目的地有（千米）．
故出租车出租车离鼓楼出发点3千米远，在鼓楼的东方；
（2）司机一个下午共走了（km）,
若每千米的价格为 元，有 （元 ）．
故司机一个下午的营业额是元 ．
【名师指路】
此题主要练习正数和负数，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
25．（1）用“>”“<”或“=”填空：_____ ；______；_____；______；归纳：若a、b异号时，______，若a、b同号或至少有一个为0时，____；
（2）根据上题中得出的结论，若，，求的值．
【标准答案】（1）＞，=，=，=，＞，=；（2）
【思路指引】
（1）分别计算各种情况的绝对值，再比较大小，再总结规律即可.
（2）由，，可得 可得异号，再分两种情况讨论即可.
【详解详析】
解：（1）
所以：＞，

所以=，

所以=，
所以=，
归纳：若a、b异号时，＞，
若a、b同号或至少有一个为0时，=；
（2） ，，

异号，
当


即
或
解得： 或
当



或
解得：或
故的值为：
【名师指路】
本题考查的是绝对值的含义与化简，绝对值方程的应用，二元一次方程组的解法，正确的理解题意，利用总结出的规律解决问题是解本题的关键.
26．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【标准答案】（1）是；（2）离开球门的位置最远是12米；（3）54米．
【思路指引】
（1）只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；
（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；
（3）将所有数据的绝对值相加即可．
【详解详析】
解：（1），
，
∴守门员回到了原来的位置；
（2）第一次离开球门的位置5米，第二次是5+（-3）=2米，第三次是2+10=12米，第4此是12+（-8）=4米，第5次是米，第6次是米，第7次是10+（-10）=0米，
∴离开球门的位置最远是12米；
（3）由题意得：总路程＝|5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝54米．
【名师指路】
本题考查正数和负数的实际应用、绝对值和有理数的加减，解题的关键是掌握正数和负数的实际应用、绝对值和有理数的加减．
27．已知满足关系式，试求的最大值和最小值．
【标准答案】最大值为7，最小值为-7．
【思路指引】
分x5，y2；-2【详解详析】
解：由题意得：|x+3|+|5−x|+|y−2|+|y+4|=14，
当x5，y2时，
去绝对值符号得：x+3+x-5+y−2+y+4=14，即2x+2y=14，
∴x+y=7；
当-2去绝对值符号得：x+3+5-x+2-y+y+4=14，
此时x+y<7；
当x-3，y-4时，
去绝对值符号得：-x-3-x+5-y+2-y-4=14，即-2x-2y=14，
∴x+y=-7；
综上，x+y的最大值为7，x+y的最小值为-7．
【名师指路】
本题考查了绝对值，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键．
28．问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究：
（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 ．
问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？
【标准答案】（1）4，；（2）2；（3）B，2000米，
【思路指引】
（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为；
（2）|x﹣3|+|x﹣5|表示的点到3和5两点距离和，由到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离即可；
（3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离．
【详解详析】
解：（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为；
故答案为：4，；
（2）∵|x﹣3|表示x的点到3的点的距离，|x﹣5|表示x的点到5的点的距离，
到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，
∴|x﹣3|+|x﹣5|的最小值为，
（3）∵到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，
∴当配发点P在点B时，到三处放置点路程之和最短；
即：最小距离和=AB+BC= 800米+1200米=2000米．
【名师指路】
本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义．