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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.3 分类变量与列联表优秀练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.3 分类变量与列联表优秀练习，文件包含人教A版数学高二选择性必修第三册832独立性检验分层作业原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第三册832独立性检验分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
【夯实基础】
题型1 有关“相关的检验”
1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A．若的观测值为，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
C．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
D．以上三种说法都不正确
【答案】B
【分析】根据独立性原理，分别判断选项中的三个命题是否正确即可．
【详解】解：对于A，的观测值时，有的把握认为吸烟与患肺病有关系，不是指“在100个吸烟的人中必有99人患有肺病”，故A错误；
对于B，根据独立性原理知，从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得判断出现错误，B正确．
对于C，从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，不能说某人吸烟，那么他有的可能性患有肺病，C错误.
故选：B．
2.若由一个列联表中的数据计算得，则（ ）
A．能有的把握认为这两个变量有关系
B．能有的把握认为这两个变量没有关系
C．能有的把握认为这两个变量有关系
D．能有的把握认为这两个变量没有关系
【答案】A
【分析】通过所给的观测值，同临界值表中的数据进行比较，得到结论.
【详解】因为，所以能有的把握认为这两个变量有关系．
故选：A
3.有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是（ ）．
A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大
B．对分类变量X与Y的随机变量来说，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大
C．由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95％的可能患有心脏病
D．依据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关
【答案】C
【分析】根据列联表、独立性检验等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，根据列联表的知识可知，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，
说明两个变量有关系成立的可能性就越大，A选项正确.
B选项，根据的知识可知，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大，B选项正确.
C选项，由独立性检验可知，有的把握认为秃顶与患心脏病有关，
并不是秃顶的人患心脏病的概率，所以C选项错误.
D选项，由独立性检验可知，的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，
是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关，所以D选项正确.
故选：C
在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足，那么的一个可能取值为
A．6.635B．5.024C．7.897D．3.841
【答案】C
【分析】同临界值表进行比较，得到假设两件事情无关不合理的程度约为，即无关的可能性不足，由临界值表可得答案．
【详解】解：计算出，
这说明两件事情无关的可能性不足，
即判断吸烟与患肺炎有关，合理的程度约为以上，由此可得正确．
故选：C．
5.给出下列实际问题:
①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有区别;
③吸烟者得肺病的概率;④吸烟是否与性别有关系;
⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系.其中用独立性检验可以解决的问题有（ ）
A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】利用独立性检验的概念分析即得解.
【详解】独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验解决.
故选：B
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于理解掌握独立性检验的概念.
题型2 有关“无关的检验”
1.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况进行了一次调查统计，根据独立性检验，处理所得数据之后发现，若依据的独立性检验，则认为关注冰雪运动与性别无关；若依据的独立性检验，则认为关注冰雪运动与性别有关，则的值可能为（ ）
A．3.448B．6.537C．6.677D．10.934
【答案】C
【分析】依题意及所给表格数据得到的取值范围，即可判断；
【详解】解：由题知的范围为，因此可能为6.677.
故选：C
2.2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大.基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（ ）
参考数据：
A．有关的可靠性不足95%B．有99%的把握认为两者有关
C．有99.9%的把握认为两者有关D．有5%的把握认为两者无关
【答案】B
【解析】计算的值，由此确定正确选项.
【详解】由于，而，故有99%的把握认为两者有关.
故选：B
【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，属于基础题.
3.京剧是中国的四大国粹之一，是第一批国家级非物质文化遗产．为纪念京剧表演艺术大师梅兰芳先生，某栏目的一期“我爱京剧”比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演唱者的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人，此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解程度进行了调查，得到如下表所示的数据，则（ ）
A．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关
B．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关
C．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关
D．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关
【答案】C
【分析】利用公式计算的值，将的值与几个临界值进行比校，进而做出推断．
【详解】，因为，所以有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关．
故选：C
4.某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据见下表：
根据表中数据得到，因为K2≥10.828，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）
A．0.1B．0.05C．0.01D．0.001
【答案】D
【分析】由题意，根据独立性检验的定义，可得答案.
【详解】，则有以上的把握认为秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性为，
故选：D.
5.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表：
由此列联表得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
【答案】C
【分析】作出列联表，求得，再与临界值表对比判断.
【详解】列联表如下：
所以，且，
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.
故选：C
题型3 独立性检验的综合应用
1.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：
附：.
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【答案】D
【分析】计算出，比较所给数据，可得结论．
【详解】由题意，根据列联表中的数据，得，
又，
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.
故选：D.
2.某人在网上购买了100只青岛产的虾开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：
则可以认为大虾与其颜色有关的概率（ ）
参考公式：其中
A．至多为99.9%B．至少为99.5%C．至多为0.5%D．至少为0.1%
【答案】B
【分析】补全2×2列联表，根据参考公式求出，对比临界值即可得出结论.
【详解】补成如下的2×2列联表：
所以，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%.
故选：B.
3.下列说法：
①分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大.
②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则、的值分别是和.
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中， ，，，则.
④如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据不能写出一个线性方程
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据独立性检验的定义判断①，对两边取对数，根据对数的运算即可求出、，即可判断②，利用线性回归方程恒过样本中心点求得判断③；由任何一组都能写出一个线性方程判断④．
【详解】解：①分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大，故①正确；
②∵，∴两边取对数，可得，
令，可得，
∵，
∴，，∴，故②正确；
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，
因为，，，则，解得，故③正确．
任何一组都能写出一个线性方程，只是有无意义的问题，故④错误．
故①②③正确，④错误，
故选：C.
4.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表.则根据列联表可知（ ）
参考公式：独立性检验统计量，其中 .
下面的临界值表供参考：
A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
【答案】A
【分析】根据列联表求出观测值，对照临界值表，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】，
根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，
故选：A
5.下列正确命题的序号有（ ）
A．若随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则
B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是互斥事件，也是对立事件
C．在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越大
D．由一组样本数据，，…得到回归直线方程，那么直线至少经过，，…中的一个点
【答案】B
【分析】A根据二项分布的期望、方差求法求，再由求方差；B根据互斥事件、独立事件的性质判断事件与的关系；C由独立性检验K2的意义判断；D理解回归方程与样本数据是拟合关系，而不是过样本点.
【详解】A：由，而，得，且，所以，故错误；
B：由A，B，C，D彼此互斥，则与为互斥事件，又、，即，易知与也为对立事件，故正确；
C：在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越小，故错误；
D：因为回归方程与样本数据是拟合关系，不一定过样本点，所以不一定过样本数据中的点，故错误.
故选：B
【能力提升】
单选题
1.为了考查某种药物预防疾病的效果，进行抽样调查，得到如下的列联表，
你认为此药物有效的把握有( )
A．80%B．90%C．95%D．99% .
【答案】B
【分析】由卡方公式计算即可．
【详解】由题意，假设服药和患病没有关系，则K2的观测值应该很小．而k＝≈3.405，3.405＞2.706，由独立性检验临界值表可以得出，有90%的把握认为该药物有效．故选B
【点睛】由卡方公式计算K2，得出的临界值，最后得出结论．
2.某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有99%的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（ ）
A．12人B．18人
C．24人D．30人
【答案】B
【分析】设被调查的男生人数为x，根据题意可得列联表，进而可得，运算求解即可.
【详解】设被调查的男生人数为x，被调查的女生人数为，则得到2×2列联表如下：
则，解得，
又因为男、女人数为整数，所以被调查的男生至少有18人.
故选：B.
3.2019年10月18日至27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌．为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．
则正确说法的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根据概率和独立性检验的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，故①错误；
，故②错误，③正确．
故选：B．
4.下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；
④在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.
A．①③B．①②C．②④D．③④
【答案】B
【分析】对于①，结合线性回归方程中的值，即可求解，
对于②，结合最小二乘法求回归直线方程的原理判断即可，
对于③，结合独立性检验的定义，即可求解，
对于④，结合相关指数的定义，即可求解.
【详解】对于①，在回归直线方程 中， 当解释变量 每增加一个单位时, 预报变量平均增加 0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即:作为总离差, 并使之达到最小；这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方, 所以这种使 “离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量 与 , 对它们的随机变量 的观测值 来说，越小，则“与 有 关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为, 故④错误.
故选：B.
5.2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大基于以上现象，开学后某学校对本校学生网课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下列联表：
通过以上数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（ ）
参考公式：
A．有关的可靠性不足95%B．有99%的把握认为两者有关
C．有99.9%的把握认为两者有关D．有5%的把握认为两者无关
【答案】B
【分析】结合已知列联表求出，进而可选出正确答案.
【详解】解：由列联表可知，
所以有99%的把握认为两者有关，
故选:B.
【点睛】本题考查了独立性检验，属于基础题.
6.在某次独立性检验中，得到如下列联表：
最后发现，没有90%的把握认为A与B有关，则a的值可能是（ ）
A．300B．400
C．500D．600
【答案】D
【分析】根据选项a的值，逐一代入求出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】当时，，
所以有90%的把握认为A与B有关；
当时，，
所以有90%的把握认为A与B有关；
当时，，
所以有90%的把握认为A与B有关；
当时，，
所以没有90%的把握认为A与B有关.
故选：D.
7.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到列联表如下：
由此得出的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别无关”
C．有的把握认为“选择物理与性别有关”
D．有的把握认为“选择物理与性别无关”
【答案】A
【解析】根据列联表，计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；
【详解】根据列联表，
可得，
由于，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了独立性检验，解题关键是掌握卡方运算基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：
则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）
附：参考公式和临界值表
A．90%B．95%C．99%D．99.9%
【答案】C
【分析】计算出，进而作出判断.
【详解】由题意，得
所以有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关
故选：C.
多选题
9.下列说法正确的有（ ）
A．随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大
B．随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为
C．根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
D．若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关
【答案】AD
【分析】对A、C、D：根据案例分析相关知识逐项分析判断；对B：根据二项分布结合组合数的性质分析判断.
【详解】对于选项A：根据方差的计算公式可知：方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大，故A正确；
对于选项B：随机抛掷质地均匀的硬币100次，设出现正面向上的次数为，则，
则，
根据组合数的性质可知，
即，
所以，即出现50次正面向上的可能性小于，故B错误；
对于选项C：因为，
根据小概率的独立性检验，可判断与无关，故C错误；
对于选项D：由经验回归方程为可知，
所以变量与负相关，故D正确；
故选：AD.
10.为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法不正确的是（ ）
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
【答案】ABC
【分析】根据卡方表示的意义结合临界值表分析判断即可
【详解】只有χ2≥6.635时才能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，
而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有99%的人等无关．故A，B，C不正确．
由于χ2＝0.99＜2.706，故D正确．
故选：ABC
11.下列命题中错误的是（ ）
A．将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变
B．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
C．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
【答案】ABC
【分析】对A，由均值的理解可知；对B，由线性相关系数的理解与求法都可得；对C，根据对独立性检验思想的理解可知；对D，非线性转化线性回归，由换元的关系可得.
【详解】对A，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值也应加上或减去同一个常数，故A错误；
对B，所有样本点都在直线上，
法一：由此成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系，
则线性相关系数，由成对样本数据负相关，则，
法二：由公式得
，
故B错误；
对C，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，我们可以认为吸烟更容易引发肺病.独立性检验可以推断分类变量吸烟与患肺病是否独立，而不能得到一个吸烟的人有多大可能性患病的结论，故C错误；
对D，由，且，若线性回归方程为，则，即，的值分别是和，故D正确.
故选：ABC.
12.关于独立性检验的说法中正确的有（ ）
A．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
B．分类变量X与Y的统计量越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．由独立性检验可知：有的把握认为“秃顶与患心脏病有关”．我们说某人秃顶，那么他有的可能患有心脏病
D．有的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”
【答案】ABD
【分析】AB选项，根据卡方公式可知AB均正确；CD选项，根据独立性检验的意义来判断.
【详解】A选项，根据卡方公式可知，样本不同，计算出得卡方值可能不同，故独立性检验的结论可能有差异，A正确；
B选项，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小，越大，“X与Y有关系”的可信程度越大，B正确；
C选项，有的把握认为“秃顶与患心脏病有关”，不表示某人秃顶就有的可能患有心脏病，所以C不正确．
D选项，有的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”，D正确..
故选：ABD．
填空题
13.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 .
【答案】5%
【分析】根据题目所给的数据填写列联表，计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
【详解】由题意，可得以下列联表：
则，故认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过5%.
故答案为：5%
14.某公司在2016-2021年的销售额（万元）如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为.
则当关于的表达式取最小值时， .
【答案】4067
【分析】根据题意结合最小二乘法可得取到最小值时，，换元令，分析运算即可.
【详解】根据题意结合最小二乘法可知：取到最小值时，，
令，即，
则取到最小，
即，所以.
故答案为：4067.
15.新闻媒体为了了解观众对央视某节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的2×2列联表：
试根据样本估计总体的思想，估计约有 的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．
参考附表：
(参考公式：，其中n=a+b+c+d)
【答案】99%/0.99
【分析】计算卡方，与表格中的数据比较大小，得到结论.
【详解】分析列联表中数据，可得，
但,
所以有的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”，
故答案为:．
16.下列命题中错误的是 ．
①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，平均数与方差都不变；
②残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
③在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．
⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好；
【答案】①③④
【分析】根据平均数的定义和方差的定义判断命题①，根据残差图的性质判断命题②，根据相关系数的定义判断命题③，根据独立性检验的知识判断命题④，根据决定系数性质判断命题⑤.
【详解】设原样本数据为，设其平均数为，方差为，
则，
将样本数据都加上常数可得，，
则新数据的平均数，
新数据的平均数，
同理可得将原数据中每个数据都减，新数据的平均数为，方差为，
命题①错误；
由残差的性质可得残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的平方和越小，说明回归方程的预报精确度越高；命题②正确；
若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，命题③错误；
若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．只能说明结论判断错误的概率为，不能说明他有的可能性患肺病，命题④错误；
因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好；命题⑤正确；
故答案为：①③④.
解答题
17.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已知图（1）中身高在的男生有16名.
（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？
（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？
参考公式：，其中
参考数据：
【答案】（1）男生40名，女生40名；（2）列联表见解析，
【分析】（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，由算出即可
（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.
【详解】解：（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，
设抽取的学生中，男生有名，
则，解得.
所以女生有（名）.
（2）由（1）及频率分布直方图知，
身高的男生有（名），
身高的女生有（名），所以可得下列列表：
由列联表中数据得的观测值为，
所以能有的把握认为身高与性别有关.
【点睛】本题考查的是统计的相关知识，注意根据观察值与临界值的大小关系得出结论，本题较简单.
18.某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．
(1)根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由．
(2)将这40名顾客的评分的中位数记为，求，并将评分超过和不超过的顾客数填入下面的列联表：
(3)根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？
附：．
【答案】(1)男顾客对该商场的服务质量更认可，理由见解析；
(2)，列联表见解析；
(3)没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
【分析】（1）根据男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，可判断出结果；
（2）求出中位数后，结合茎叶图计算可得出列联表中的数据；
（3）求出，根据临界值表可得结论.
【详解】（1）男顾客对该商场的服务质量更认可．
理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，故男顾客对该商场的服务质量更认可．
（2）由茎叶图可知，．
列联表如下：
（3）
故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
19.五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：
（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．
(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；
(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：①参考数据：，，，．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为2.
【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出的回归方程，再代换作答.
（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.
【详解】（1）由已知点集中在一条直线附近，设回归直线方程为，
由，，，
得，，
因此变量关于的回归方程为，
令，则，即，
所以关于的回归方程为.
（2）由，解得，所以，
于是为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数服从超几何分布，的可能取值为1,2,3，
，
所以的分布列为：
期望.
20.经验表明，一般树的直径（树的主干在地而以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高.在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表：
(1)请用样本相关系数（精确到0.01）说明变量x和y满足一元线性回归模型；
(2)建立y关于x的一元线性回归方程；并估计当树的直径为45cm时，树高为多少？（精确到0.01）
附参考公式：相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考数据：
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【分析】（1）计算，，再根据公式计算得到相关系数，得到答案.
（2）根据公式计算，，得到回归方程，代入数据计算得到答案.
【详解】（1），故，
，故，
，
故和成线性正相关，满足一元回归模型.
（2），，
，当时，.
21.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
(1)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）分布列见解析；．
（2）休闲方式与性别有关系
【分析】（1）先确定可能的取值为0,1,2,3,且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为,并且服从二项分布.然后列出分布列，根据期望公式求出期望值即可；
（2）根据列联表可求出,说明有99%的把握认为休闲方式与性别有关系.
【详解】解：（1）由题可知可能的取值为0,1,2,3,且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为，故,
所以，
则，,
，.
所以随机变量的分布列为：
所以.
（2），
所以在犯错误的概率不超过0．01的前提下，能认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”.
22.2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：
(1)请根据以上数据，由的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：，其中．
【答案】(1)有
(2)
【分析】（1）由公式根据列联表求出，将其与临界值比较大小，根据比较结果判断即可；
（2）由条件列出所有基本事件，再由古典概型的概率公式求解.
【详解】（1）零假设集齐“五福”与性别无关，
根据列联表可得：，
又，，
所以由的独立性检验，可推断不成立，即可认为是否集齐“五福”与性别有关；
（2）设集齐“五福”卡的男性抽取x人，则，所以，
故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人，未集齐“五福”卡的男性有1人，
设被抽取的集齐“五福”卡的4名男性为,未集齐“五福”卡的1名男性为，
从5人中任意抽取3人的所有基本事件如下：
，
，
所以基本事件总数为10，其中事件恰有1人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：
共6种，
由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率,
故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
对京剧非常了解
对京剧一般了解
总计
50岁及以上
15
10
25
50岁以下
3
12
15
总计
18
22
40
心脏病
无心脏病
秃发
20
300
不秃发
5
450
分类
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
分类
做不到“光盘”
能做到“光盘”
总计
男
45
10
55
女
30
15
45
总计
75
25
100
A
总计
认可
13
5
18
不认可
7
15
22
总计
20
20
40
P（K2≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
中小虾
大虾
白色
40
15
灰色
20
25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
中小虾
大虾
合计
白色
40
15
55
灰色
20
25
45
合计
60
40
100
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
患病
未患病
合计
服用该药
15
35
50
没服用该药
24
26
50
合计
39
61
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢吃水果情况
总计
喜欢
不喜欢
学生
性别
男生
女生
总计
男性运动员
女性运动员
对主办方表示满意
200
220
对主办方表示不满意
50
30
认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
A
总计
B
200
800
1000
180
a
总计
380
选择物理
不选择物理
总计
男
35
20
55
女
15
30
45
总计
50
50
100
偏爱蔬菜
偏爱肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
集中培训
分散培训
总计
一次考试通过
45
30
75
一次考试未通过
10
20
30
总计
55
50
105
2016
2017
2018
2019
2020
2021
女
男
总计
喜爱
40
20
60
不喜爱
20
30
50
总计
60
50
110
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
身高
身高
总计
男生
女生
总计
0.40
0.25
0.10
0.010
0.001
0.708
1.323
2.706
6.635
10.828
身高
身高
总计
男生
30
10
40
女生
4
36
40
总计
34
46
80
男顾客
女顾客
8
8
7
5
3
7
2
2
3
3
5
6
7
8
8
7
6
5
5
2
1
8
0
1
2
2
5
7
7
8
9
7
6
5
5
3
0
0
9
0
0
1
2
超过
不超过
男顾客
女顾客
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
超过
不超过
男顾客
11
9
女顾客
7
13
套票类别
A
B
C
D
E
F
套票价格（元）
40
50
60
65
72
88
购买人数（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
1
2
3
编号
1
2
3
4
5
6
直径x/cm
19
22
26
29
34
38
树高y/m
5
7
10
12
14
18
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
0
1
2
3
集齐“五福”卡
末集齐“五福”卡
合计
男性
80
20
100
女性
65
35
100
合计
145
55
200
0.10
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【夯实基础】
题型1 有关“相关的检验”
1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A．若的观测值为，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
C．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
D．以上三种说法都不正确
【答案】B
【分析】根据独立性原理，分别判断选项中的三个命题是否正确即可．
【详解】解：对于A，的观测值时，有的把握认为吸烟与患肺病有关系，不是指“在100个吸烟的人中必有99人患有肺病”，故A错误；
对于B，根据独立性原理知，从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得判断出现错误，B正确．
对于C，从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，不能说某人吸烟，那么他有的可能性患有肺病，C错误.
故选：B．
2.若由一个列联表中的数据计算得，则（ ）
A．能有的把握认为这两个变量有关系
B．能有的把握认为这两个变量没有关系
C．能有的把握认为这两个变量有关系
D．能有的把握认为这两个变量没有关系
【答案】A
【分析】通过所给的观测值，同临界值表中的数据进行比较，得到结论.
【详解】因为，所以能有的把握认为这两个变量有关系．
故选：A
3.有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是（ ）．
A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大
B．对分类变量X与Y的随机变量来说，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大
C．由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95％的可能患有心脏病
D．依据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关
【答案】C
【分析】根据列联表、独立性检验等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，根据列联表的知识可知，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，
说明两个变量有关系成立的可能性就越大，A选项正确.
B选项，根据的知识可知，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大，B选项正确.
C选项，由独立性检验可知，有的把握认为秃顶与患心脏病有关，
并不是秃顶的人患心脏病的概率，所以C选项错误.
D选项，由独立性检验可知，的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，
是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关，所以D选项正确.
故选：C
在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足，那么的一个可能取值为
A．6.635B．5.024C．7.897D．3.841
【答案】C
【分析】同临界值表进行比较，得到假设两件事情无关不合理的程度约为，即无关的可能性不足，由临界值表可得答案．
【详解】解：计算出，
这说明两件事情无关的可能性不足，
即判断吸烟与患肺炎有关，合理的程度约为以上，由此可得正确．
故选：C．
5.给出下列实际问题:
①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有区别;
③吸烟者得肺病的概率;④吸烟是否与性别有关系;
⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系.其中用独立性检验可以解决的问题有（ ）
A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】利用独立性检验的概念分析即得解.
【详解】独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验解决.
故选：B
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于理解掌握独立性检验的概念.
题型2 有关“无关的检验”
1.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况进行了一次调查统计，根据独立性检验，处理所得数据之后发现，若依据的独立性检验，则认为关注冰雪运动与性别无关；若依据的独立性检验，则认为关注冰雪运动与性别有关，则的值可能为（ ）
A．3.448B．6.537C．6.677D．10.934
【答案】C
【分析】依题意及所给表格数据得到的取值范围，即可判断；
【详解】解：由题知的范围为，因此可能为6.677.
故选：C
2.2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大.基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（ ）
参考数据：
A．有关的可靠性不足95%B．有99%的把握认为两者有关
C．有99.9%的把握认为两者有关D．有5%的把握认为两者无关
【答案】B
【解析】计算的值，由此确定正确选项.
【详解】由于，而，故有99%的把握认为两者有关.
故选：B
【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，属于基础题.
3.京剧是中国的四大国粹之一，是第一批国家级非物质文化遗产．为纪念京剧表演艺术大师梅兰芳先生，某栏目的一期“我爱京剧”比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演唱者的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人，此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解程度进行了调查，得到如下表所示的数据，则（ ）
A．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关
B．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关
C．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关
D．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关
【答案】C
【分析】利用公式计算的值，将的值与几个临界值进行比校，进而做出推断．
【详解】，因为，所以有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关．
故选：C
4.某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据见下表：
根据表中数据得到，因为K2≥10.828，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）
A．0.1B．0.05C．0.01D．0.001
【答案】D
【分析】由题意，根据独立性检验的定义，可得答案.
【详解】，则有以上的把握认为秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性为，
故选：D.
5.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表：
由此列联表得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
【答案】C
【分析】作出列联表，求得，再与临界值表对比判断.
【详解】列联表如下：
所以，且，
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.
故选：C
题型3 独立性检验的综合应用
1.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：
附：.
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【答案】D
【分析】计算出，比较所给数据，可得结论．
【详解】由题意，根据列联表中的数据，得，
又，
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.
故选：D.
2.某人在网上购买了100只青岛产的虾开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：
则可以认为大虾与其颜色有关的概率（ ）
参考公式：其中
A．至多为99.9%B．至少为99.5%C．至多为0.5%D．至少为0.1%
【答案】B
【分析】补全2×2列联表，根据参考公式求出，对比临界值即可得出结论.
【详解】补成如下的2×2列联表：
所以，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%.
故选：B.
3.下列说法：
①分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大.
②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则、的值分别是和.
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中， ，，，则.
④如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据不能写出一个线性方程
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据独立性检验的定义判断①，对两边取对数，根据对数的运算即可求出、，即可判断②，利用线性回归方程恒过样本中心点求得判断③；由任何一组都能写出一个线性方程判断④．
【详解】解：①分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大，故①正确；
②∵，∴两边取对数，可得，
令，可得，
∵，
∴，，∴，故②正确；
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，
因为，，，则，解得，故③正确．
任何一组都能写出一个线性方程，只是有无意义的问题，故④错误．
故①②③正确，④错误，
故选：C.
4.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表.则根据列联表可知（ ）
参考公式：独立性检验统计量，其中 .
下面的临界值表供参考：
A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
【答案】A
【分析】根据列联表求出观测值，对照临界值表，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】，
根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，
故选：A
5.下列正确命题的序号有（ ）
A．若随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则
B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是互斥事件，也是对立事件
C．在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越大
D．由一组样本数据，，…得到回归直线方程，那么直线至少经过，，…中的一个点
【答案】B
【分析】A根据二项分布的期望、方差求法求，再由求方差；B根据互斥事件、独立事件的性质判断事件与的关系；C由独立性检验K2的意义判断；D理解回归方程与样本数据是拟合关系，而不是过样本点.
【详解】A：由，而，得，且，所以，故错误；
B：由A，B，C，D彼此互斥，则与为互斥事件，又、，即，易知与也为对立事件，故正确；
C：在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越小，故错误；
D：因为回归方程与样本数据是拟合关系，不一定过样本点，所以不一定过样本数据中的点，故错误.
故选：B
【能力提升】
单选题
1.为了考查某种药物预防疾病的效果，进行抽样调查，得到如下的列联表，
你认为此药物有效的把握有( )
A．80%B．90%C．95%D．99% .
【答案】B
【分析】由卡方公式计算即可．
【详解】由题意，假设服药和患病没有关系，则K2的观测值应该很小．而k＝≈3.405，3.405＞2.706，由独立性检验临界值表可以得出，有90%的把握认为该药物有效．故选B
【点睛】由卡方公式计算K2，得出的临界值，最后得出结论．
2.某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有99%的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（ ）
A．12人B．18人
C．24人D．30人
【答案】B
【分析】设被调查的男生人数为x，根据题意可得列联表，进而可得，运算求解即可.
【详解】设被调查的男生人数为x，被调查的女生人数为，则得到2×2列联表如下：
则，解得，
又因为男、女人数为整数，所以被调查的男生至少有18人.
故选：B.
3.2019年10月18日至27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌．为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．
则正确说法的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根据概率和独立性检验的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，故①错误；
，故②错误，③正确．
故选：B．
4.下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；
④在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.
A．①③B．①②C．②④D．③④
【答案】B
【分析】对于①，结合线性回归方程中的值，即可求解，
对于②，结合最小二乘法求回归直线方程的原理判断即可，
对于③，结合独立性检验的定义，即可求解，
对于④，结合相关指数的定义，即可求解.
【详解】对于①，在回归直线方程 中， 当解释变量 每增加一个单位时, 预报变量平均增加 0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即:作为总离差, 并使之达到最小；这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方, 所以这种使 “离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量 与 , 对它们的随机变量 的观测值 来说，越小，则“与 有 关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为, 故④错误.
故选：B.
5.2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大基于以上现象，开学后某学校对本校学生网课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下列联表：
通过以上数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（ ）
参考公式：
A．有关的可靠性不足95%B．有99%的把握认为两者有关
C．有99.9%的把握认为两者有关D．有5%的把握认为两者无关
【答案】B
【分析】结合已知列联表求出，进而可选出正确答案.
【详解】解：由列联表可知，
所以有99%的把握认为两者有关，
故选:B.
【点睛】本题考查了独立性检验，属于基础题.
6.在某次独立性检验中，得到如下列联表：
最后发现，没有90%的把握认为A与B有关，则a的值可能是（ ）
A．300B．400
C．500D．600
【答案】D
【分析】根据选项a的值，逐一代入求出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】当时，，
所以有90%的把握认为A与B有关；
当时，，
所以有90%的把握认为A与B有关；
当时，，
所以有90%的把握认为A与B有关；
当时，，
所以没有90%的把握认为A与B有关.
故选：D.
7.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到列联表如下：
由此得出的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别无关”
C．有的把握认为“选择物理与性别有关”
D．有的把握认为“选择物理与性别无关”
【答案】A
【解析】根据列联表，计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；
【详解】根据列联表，
可得，
由于，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了独立性检验，解题关键是掌握卡方运算基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：
则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）
附：参考公式和临界值表
A．90%B．95%C．99%D．99.9%
【答案】C
【分析】计算出，进而作出判断.
【详解】由题意，得
所以有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关
故选：C.
多选题
9.下列说法正确的有（ ）
A．随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大
B．随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为
C．根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
D．若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关
【答案】AD
【分析】对A、C、D：根据案例分析相关知识逐项分析判断；对B：根据二项分布结合组合数的性质分析判断.
【详解】对于选项A：根据方差的计算公式可知：方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大，故A正确；
对于选项B：随机抛掷质地均匀的硬币100次，设出现正面向上的次数为，则，
则，
根据组合数的性质可知，
即，
所以，即出现50次正面向上的可能性小于，故B错误；
对于选项C：因为，
根据小概率的独立性检验，可判断与无关，故C错误；
对于选项D：由经验回归方程为可知，
所以变量与负相关，故D正确；
故选：AD.
10.为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法不正确的是（ ）
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
【答案】ABC
【分析】根据卡方表示的意义结合临界值表分析判断即可
【详解】只有χ2≥6.635时才能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，
而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有99%的人等无关．故A，B，C不正确．
由于χ2＝0.99＜2.706，故D正确．
故选：ABC
11.下列命题中错误的是（ ）
A．将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变
B．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
C．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
【答案】ABC
【分析】对A，由均值的理解可知；对B，由线性相关系数的理解与求法都可得；对C，根据对独立性检验思想的理解可知；对D，非线性转化线性回归，由换元的关系可得.
【详解】对A，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值也应加上或减去同一个常数，故A错误；
对B，所有样本点都在直线上，
法一：由此成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系，
则线性相关系数，由成对样本数据负相关，则，
法二：由公式得
，
故B错误；
对C，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，我们可以认为吸烟更容易引发肺病.独立性检验可以推断分类变量吸烟与患肺病是否独立，而不能得到一个吸烟的人有多大可能性患病的结论，故C错误；
对D，由，且，若线性回归方程为，则，即，的值分别是和，故D正确.
故选：ABC.
12.关于独立性检验的说法中正确的有（ ）
A．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
B．分类变量X与Y的统计量越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．由独立性检验可知：有的把握认为“秃顶与患心脏病有关”．我们说某人秃顶，那么他有的可能患有心脏病
D．有的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”
【答案】ABD
【分析】AB选项，根据卡方公式可知AB均正确；CD选项，根据独立性检验的意义来判断.
【详解】A选项，根据卡方公式可知，样本不同，计算出得卡方值可能不同，故独立性检验的结论可能有差异，A正确；
B选项，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小，越大，“X与Y有关系”的可信程度越大，B正确；
C选项，有的把握认为“秃顶与患心脏病有关”，不表示某人秃顶就有的可能患有心脏病，所以C不正确．
D选项，有的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”，D正确..
故选：ABD．
填空题
13.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 .
【答案】5%
【分析】根据题目所给的数据填写列联表，计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
【详解】由题意，可得以下列联表：
则，故认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过5%.
故答案为：5%
14.某公司在2016-2021年的销售额（万元）如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为.
则当关于的表达式取最小值时， .
【答案】4067
【分析】根据题意结合最小二乘法可得取到最小值时，，换元令，分析运算即可.
【详解】根据题意结合最小二乘法可知：取到最小值时，，
令，即，
则取到最小，
即，所以.
故答案为：4067.
15.新闻媒体为了了解观众对央视某节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的2×2列联表：
试根据样本估计总体的思想，估计约有 的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．
参考附表：
(参考公式：，其中n=a+b+c+d)
【答案】99%/0.99
【分析】计算卡方，与表格中的数据比较大小，得到结论.
【详解】分析列联表中数据，可得，
但,
所以有的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”，
故答案为:．
16.下列命题中错误的是 ．
①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，平均数与方差都不变；
②残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
③在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．
⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好；
【答案】①③④
【分析】根据平均数的定义和方差的定义判断命题①，根据残差图的性质判断命题②，根据相关系数的定义判断命题③，根据独立性检验的知识判断命题④，根据决定系数性质判断命题⑤.
【详解】设原样本数据为，设其平均数为，方差为，
则，
将样本数据都加上常数可得，，
则新数据的平均数，
新数据的平均数，
同理可得将原数据中每个数据都减，新数据的平均数为，方差为，
命题①错误；
由残差的性质可得残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的平方和越小，说明回归方程的预报精确度越高；命题②正确；
若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，命题③错误；
若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．只能说明结论判断错误的概率为，不能说明他有的可能性患肺病，命题④错误；
因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好；命题⑤正确；
故答案为：①③④.
解答题
17.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已知图（1）中身高在的男生有16名.
（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？
（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？
参考公式：，其中
参考数据：
【答案】（1）男生40名，女生40名；（2）列联表见解析，
【分析】（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，由算出即可
（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.
【详解】解：（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，
设抽取的学生中，男生有名，
则，解得.
所以女生有（名）.
（2）由（1）及频率分布直方图知，
身高的男生有（名），
身高的女生有（名），所以可得下列列表：
由列联表中数据得的观测值为，
所以能有的把握认为身高与性别有关.
【点睛】本题考查的是统计的相关知识，注意根据观察值与临界值的大小关系得出结论，本题较简单.
18.某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．
(1)根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由．
(2)将这40名顾客的评分的中位数记为，求，并将评分超过和不超过的顾客数填入下面的列联表：
(3)根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？
附：．
【答案】(1)男顾客对该商场的服务质量更认可，理由见解析；
(2)，列联表见解析；
(3)没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
【分析】（1）根据男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，可判断出结果；
（2）求出中位数后，结合茎叶图计算可得出列联表中的数据；
（3）求出，根据临界值表可得结论.
【详解】（1）男顾客对该商场的服务质量更认可．
理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，故男顾客对该商场的服务质量更认可．
（2）由茎叶图可知，．
列联表如下：
（3）
故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
19.五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：
（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．
(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；
(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：①参考数据：，，，．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为2.
【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出的回归方程，再代换作答.
（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.
【详解】（1）由已知点集中在一条直线附近，设回归直线方程为，
由，，，
得，，
因此变量关于的回归方程为，
令，则，即，
所以关于的回归方程为.
（2）由，解得，所以，
于是为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数服从超几何分布，的可能取值为1,2,3，
，
所以的分布列为：
期望.
20.经验表明，一般树的直径（树的主干在地而以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高.在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表：
(1)请用样本相关系数（精确到0.01）说明变量x和y满足一元线性回归模型；
(2)建立y关于x的一元线性回归方程；并估计当树的直径为45cm时，树高为多少？（精确到0.01）
附参考公式：相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考数据：
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【分析】（1）计算，，再根据公式计算得到相关系数，得到答案.
（2）根据公式计算，，得到回归方程，代入数据计算得到答案.
【详解】（1），故，
，故，
，
故和成线性正相关，满足一元回归模型.
（2），，
，当时，.
21.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
(1)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）分布列见解析；．
（2）休闲方式与性别有关系
【分析】（1）先确定可能的取值为0,1,2,3,且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为,并且服从二项分布.然后列出分布列，根据期望公式求出期望值即可；
（2）根据列联表可求出,说明有99%的把握认为休闲方式与性别有关系.
【详解】解：（1）由题可知可能的取值为0,1,2,3,且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为，故,
所以，
则，,
，.
所以随机变量的分布列为：
所以.
（2），
所以在犯错误的概率不超过0．01的前提下，能认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”.
22.2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：
(1)请根据以上数据，由的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：，其中．
【答案】(1)有
(2)
【分析】（1）由公式根据列联表求出，将其与临界值比较大小，根据比较结果判断即可；
（2）由条件列出所有基本事件，再由古典概型的概率公式求解.
【详解】（1）零假设集齐“五福”与性别无关，
根据列联表可得：，
又，，
所以由的独立性检验，可推断不成立，即可认为是否集齐“五福”与性别有关；
（2）设集齐“五福”卡的男性抽取x人，则，所以，
故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人，未集齐“五福”卡的男性有1人，
设被抽取的集齐“五福”卡的4名男性为,未集齐“五福”卡的1名男性为，
从5人中任意抽取3人的所有基本事件如下：
，
，
所以基本事件总数为10，其中事件恰有1人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：
共6种，
由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率,
故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
对京剧非常了解
对京剧一般了解
总计
50岁及以上
15
10
25
50岁以下
3
12
15
总计
18
22
40
心脏病
无心脏病
秃发
20
300
不秃发
5
450
分类
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
分类
做不到“光盘”
能做到“光盘”
总计
男
45
10
55
女
30
15
45
总计
75
25
100
A
总计
认可
13
5
18
不认可
7
15
22
总计
20
20
40
P（K2≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
中小虾
大虾
白色
40
15
灰色
20
25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
中小虾
大虾
合计
白色
40
15
55
灰色
20
25
45
合计
60
40
100
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
患病
未患病
合计
服用该药
15
35
50
没服用该药
24
26
50
合计
39
61
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢吃水果情况
总计
喜欢
不喜欢
学生
性别
男生
女生
总计
男性运动员
女性运动员
对主办方表示满意
200
220
对主办方表示不满意
50
30
认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
A
总计
B
200
800
1000
180
a
总计
380
选择物理
不选择物理
总计
男
35
20
55
女
15
30
45
总计
50
50
100
偏爱蔬菜
偏爱肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
集中培训
分散培训
总计
一次考试通过
45
30
75
一次考试未通过
10
20
30
总计
55
50
105
2016
2017
2018
2019
2020
2021
女
男
总计
喜爱
40
20
60
不喜爱
20
30
50
总计
60
50
110
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
身高
身高
总计
男生
女生
总计
0.40
0.25
0.10
0.010
0.001
0.708
1.323
2.706
6.635
10.828
身高
身高
总计
男生
30
10
40
女生
4
36
40
总计
34
46
80
男顾客
女顾客
8
8
7
5
3
7
2
2
3
3
5
6
7
8
8
7
6
5
5
2
1
8
0
1
2
2
5
7
7
8
9
7
6
5
5
3
0
0
9
0
0
1
2
超过
不超过
男顾客
女顾客
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
超过
不超过
男顾客
11
9
女顾客
7
13
套票类别
A
B
C
D
E
F
套票价格（元）
40
50
60
65
72
88
购买人数（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
1
2
3
编号
1
2
3
4
5
6
直径x/cm
19
22
26
29
34
38
树高y/m
5
7
10
12
14
18
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
0
1
2
3
集齐“五福”卡
末集齐“五福”卡
合计
男性
80
20
100
女性
65
35
100
合计
145
55
200
0.10
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
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