中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题05A字型、8字模型、飞镖模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题05A字型、8字模型、飞镖模型(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了基础知识回顾，模型的概述等内容，欢迎下载使用。

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
二、模型的概述：
A字型模型： ∠1+∠2=∠A+180° （结论）
证明：∵∠1=∠A+∠ACB
∴∠1=∠A+180°-∠2
∴∠1+∠2=∠A+180°
8字模型（基础）：∠A+∠B=∠C+∠D （结论）
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
而∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
8字模型（变形）：已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则
∠P=12 (∠B+∠D)
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ①
∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则∠P=12 (∠B+∠D)
飞镖模型（基础）：∠C=∠A+∠B+∠D （结论）
证明：
1）延长AC到点P
2）延长BC交AD于点P
3）连接BD
飞镖模型（变形）：已知线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12 (∠A+∠C)
【基础过关练】
1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
4．如图，若，则____________．
5．如图所示，已知四边形，求证．
【提高测试】
1．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A．24°B．25°C．30°D．36°
4．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
5．如图，____________．
6．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
7．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
8．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
9．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
10．如图，中，
(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；
(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．
11．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；
②如图3，平分，平分，若，，则______°；
③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数．
12．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
专题05 A字型、8字模型、飞镖模型
一、基础知识回顾
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
二、模型的概述：
A字型模型： ∠1+∠2=∠A+180° （结论）
证明：∵∠1=∠A+∠ACB
∴∠1=∠A+180°-∠2
∴∠1+∠2=∠A+180°
8字模型（基础）：∠A+∠B=∠C+∠D （结论）
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
而∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
8字模型（变形）：已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则
∠P=12 (∠B+∠D)
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ①
∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则∠P=12 (∠B+∠D)
飞镖模型（基础）：∠C=∠A+∠B+∠D （结论）
证明：
1）延长AC到点P
2）延长BC交AD于点P
3）连接BD
飞镖模型（变形）：已知线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12 (∠A+∠C)
【基础过关练】
1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
2．如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，根据题意可知，，然后结合三角形内角和定理即可推出的度数．
【详解】解：如图．
∵为直角三角形，，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出，．
3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
4．如图，若，则____________．
【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
5．如图所示，已知四边形，求证．
【答案】见解析
【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；
方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】方法1如图所示，连接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如图所示，连接AD并延长.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．
【提高测试】
1．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．
2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，
，
，
又，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A．24°B．25°C．30°D．36°
【答案】B
【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB
∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，
∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB，
同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选：B
4．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
5．如图，____________．
【答案】720°##720度
【分析】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解．
【详解】解：如图，连接DH，
∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360°
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°，
∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°，
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°，
∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE，
∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°，
故答案为：720°．
【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键．
6．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
7．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）；（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到180°，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到即可求解；
（4）连接PB，PD根据180°，180°得到360°，同理得到：360°，再根据180°，180°，，，即可求解.
【详解】解：（1）180°，180°，
．
，
；
（2），分别平分，，设，，
则有，
，
（36°+16°）=26°
（3）直线平分，平分的外角，
，，
∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴

∴
∴180°，
即90°．
（4）连接PB，PD
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，
180°-
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
9．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；
④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．
10．如图，中，
(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；
(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、的三等分线交于点、，
∴
∴，
；
（2）解：∵，
∴，
∵、的等分线交于点、，
∴
∴，
．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．
11．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；
②如图3，平分，平分，若，，则______°；
③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①40，②90，③70°
【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；
（2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值；②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案．③由②方法，进而可得答案．
【详解】（1），理由如下：
连接并延长至点F，
由外角定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）的结论易得：，
∵，，
∴，
故答案是：40；
②由（1）的结论易得，，
∵，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
③由②知，，
∵，
∴设为，
∵，
∴，
∴，
∴为70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；
②；
③
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；
（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
（1）
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．
（2）
，理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．
②，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；
③，理由如下：
如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．