广西桂林市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

这是一份广西桂林市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷，共8页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知点是椭圆C，直线l等内容，欢迎下载使用。

（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列求导运算正确的是
A． B． C． D．
2．双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
3．曲线在点（1，1）处的切线方程是
A． B． C． D．
4．已知数列的各项均不为0，，，则
A． B． C． D．
5．对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是
A． B． C． D．
6．从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是
A．8 B．12 C．18 D．72
7．在数列中，，对任意m，，都有，则
A． B． C． D．
8．已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是
A．[，1） B．（0，] C．[，1） D．[，]
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．直线l：，圆C：，下列结论正确的是
A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0）
C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交
10．已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是
A． B．数列是递增数列 C． D．
11．如图，在正四棱柱中，，，EE为的中点，则
A．平面
B．平面
C．P为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值
D．平面DCE截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，的系数是________．（用数字作答）
13．盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是________．
14．若不等式（）恒成立，则的最小值为________
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）判断在（1，2）上是否有零点，并说明理由．
16．设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）已知等比数列的公比为q，，，设，求数列的前n项和．
17．已知抛物线E：，过点T（1，2）的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P．
（1）若点A的坐标为（，1），求的面积（O为坐标原点）；
（2）证明：点P在定直线上．
18．如图，已知边长为1的正方形ABCD，以边AB所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体．设P是上的一点，G，H分别为线段AP，EF的中点．
（1）证明：平面BCE；
（2）若，求平面BPD与平面BPA夹角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，线段AE上是否存在点T，使平面BPD，证明你的结论．
19．已知函数，（）．
（1）求函数的最小值；
（2）若恒成立，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测
高二数学参考答案及评分标准
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12．24 13． 14．
四、解答题
15．解：（1）函数的定义域为（0，）
令，得，的增区间为（l，）
令，得，的减区间为（0，1）
的极小值为，无极大值
（2）在（1，2）上有零点
因为
由零点存在定理可知，函数在（1，2）上有零点
16．解：（1）因为，所以①
又，所以②
由①②得，
所以
（2）因为，，所以，
所以
因为，所以
③
④
得：
所以
17．解：（1）直线AB的斜率
直线AB的方程为，即
联立方程，整理得：
设A（，），B（，），则，
设直线AB与y轴的交点为D，则D（0，）
（2）由，得
的方程为：，整理得：
同理可得的方程为：
设P（，），联立方程，解得
因为点T（1，2）在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立得：
故，
所以，，可得
所以点P在定直线上
18．证明：（1）取BP的中点Q，连接GQ，EQ
因为G，H分别为线段AP，EF的中点，
所以，
又因为，所以
所以四边形GQEH是平行四边形，所以．
又因为平面BCE，平面BCE，所以平面BCE
（2）依题意得平面BCE，所以，因为，AB，平面ABEF，，所以平面ABEF，所以
以B为坐标原点，BP，BE，BA所在直线分别为x，y，z轴，建系如图所示
B（0，0，0），A（0，0，1），D（，，1），P（1，0，0），E（0，1，0）
，
设平面BPD的法向量为，则
，得，取，得，
所以平面BPD的一个法向量是
易知平面BPA的一个法向量为
设平面BPD与平面BPA的夹角为θ，则
（3）满足条件的点T存在，证明如下：
设T（x，y，z），（），则
，所以T（0，λ，），
因为平面BPD，所以
所以，得
所以存在点T（0，，）满足题意
19．解：（1），
当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以
（2）因为恒成立，即恒成立
令（）
令（）
，在（0，）单调递增
因为，
所以，使，即
当时，，，单调递减
当时，，，单调递增
故
所以，
令（），，在（0，）单调递减
因为
所以a的取值范围是（0，e]
（3）由（1）知，当且仅当时，等号成立
要证
只要证
因为
故原命题得证题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
C
B
D
C
A
题号
9
10
11
答案
BCD
AC
BC