甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷命题范围，已知，，且，，则的值为，欧拉公式其中等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本试卷命题范围：湘教版必修第二册。
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．抽查10件产品，设事件A：“至少有两件次品”，则“事件A的对立事件”为（ ）
A．至多有两件次品B．至多有一件次品
C．至多有两件正品D．至少有两件正品
4．已知a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是（ ）
A．，，且
B．，
C．，，
D．，
5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，李生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得是素数，素数对称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A．2B．C．D．
6．已知向量，满足，则在方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．将棱长为的正方体的六个面的中心的连线所围成的八面体挖空，其中放置一个玻璃球体，要求玻璃球与这个八面体的八个面都相切，则该玻璃球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．欧拉公式其中（…，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A=“第一次摸出球的标号为2”，事件B=“第二次摸出球的标号为3”，事件C=“两次摸出球的标号之和为4”，事件D=“两次摸出球的标号之和为5”，则（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立
C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则k的值为______．
13．______．
14．济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为30°，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为50°，则小明同学求出泉标的高度约为______米．
（参考数据：，，）
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤．
15．（13分）
如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，．
（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高PO的中点O'作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
16．（15分）
某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲，乙胜出的概率分别为，．甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
17．（15分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求证；；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．
18．（17分）
已知平面ACD，平面ACD，△ACD为等边三角形，，，F为CD的中点．
（1）求证：平面BCE；
（2）求证：平面平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
19．（17分）
对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．
（1）设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
（2）若，且集合具有性质P，求x的值；
（3）若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．
甘肃省华池县第一中学2023-2024学年度第二学期期末考试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由题意可知，故．
2．A △ABC中，，，，
由余弦定理得，所以．
3．B ∵至少有n个的否定是至多有个，
又∵事件A：“至少有两件次品”，事件A的对立事件为至多有一件次品．
4．B 对于A项，由，可得，又，则，故A项正确；
对于B项，由，可得或，故B项错误；
对于C项，由，可得，又，故得，即C项正确；
对于D项，由线面垂直的性质易得结论正确．
5．A 依题意，10以内的素数共有4个，
从中选两个有（2，3），（2，5），（2，7），（3，5），（3，7），（5，7），共6个基本事件，
而10以内的孪生素数有（3，5），（5，7）两对，包含2个基本事件，
所以从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率．
6．B 因为，
所以，
所以在方向上的投影向量的模为．
7．A 因为，所以，
所以，
化简得：，
所以．
又由，
可得，
所以，
即，所以，
所以，
又，，所以，所．
8．D 由题知，该八面体是如图所示的正八面体MABCDN，
根据正八面体与正方体的位置关系，可得该正方体的面对角线长为4，
从而可知正八面体的棱长为2，即，连接AC，BD，
交于点O，过点O作AB的垂线，垂足为E，
连接ME，MO，则平面ABCD，，平面OME，
易知四边形ABCD与四边形BNDM都是边长为2的正方形，
，，在Rt△MOE中，
由勾股定理可得，
设点O到ME的距离为d，由，
即，解得，从而可知该正八面体的内切球的半径为，
所以所求玻璃球的表面积是．
9．ABD 对于A，，所以几何体不是三棱台，故A错误；
对于B，，所以几何体不是三棱台，故B错误；
对于C，，所以几何体是三棱台，故C正确；
对于D，该几何体可能是三枝柱，故D错误．故选ABD．
10．ABD A选项：
，故A正确；
B选项；可得，
因为，则，
可得，所以，B正确；
C选项；因为，
，故C错误；
D选项；因为，
，
则
，所以，D正确．
11．CD 根据题意，依次分析选项；对于A，两次摸球中，
第一次摸出球的标号为2，第二次摸出球的标号为3，
即事件AB可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误；
对于B，若事件A发生，即第一次摸出球的标号为2，
则事件C一定不会发生，则A，C不是相互独立事件，B错误；
对于C，事件CD不会同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D．，，，有，
则B、D是相互独立事件，D正确．
12． 因为，，所以，解得．
13． 由
．
14．38.3 设，在△ACD中，，
则，在△ABD中，由正弦定理得，
所以，
结合，
解得．所以泉标的高度约为38.3米．
15．解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线．
该圆锥的表面积．
（2）在Rt△POB中，，
∵是PO的中点，．
小圆锥的高，小圆锥的底面半径，
截得的圆台的体积．
16．解：（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，
事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，所以表示“甲赢得比赛”，
，表示“乙赢得比赛”，
，因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大．
（2）记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”
由（1）知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为．
17．（1）证明；因为，
由正弦定理可得，
又因为，
代入整理得，
且，则，
可得，整理得．
由B，可知，则，解得．
可知，所以．
（2）解：因为，即，
由余弦定理可得，即，
所以．
由正弦定理可得．
则，，
则．
可得，
．
因为△ABC为锐角三角形，则解得，
则，可得，
则，可知，
所以．
18．（1）证明：如图，取CE的中点G，连接FG、BG．∵F为CD的中点，
且，
由平面ACD，平面ACD，
，．
又，，
四边形GFAB为平行四边形，则，
平面BCE，平面BCE，平面BCE．
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
．∵平面ACD，平面ACD，．
，所以，，
又，CD、平面CDE，平面CDE，
平面BCE，平面平面CDE．
（3）如图：在平面CDE内，过F作于点H，连接BH，
∵平面平面CDE，平面平面，平面CDE，
平面BCE．
为BF和平面BCE所成的角．
因为，，
则，，
在中，．
直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．
19．（1）解；根据向量集Y的定义可得；
．
若，则存在，使得，
同理亦可证明对任意，也满足性质P，故具有性质P．
（2）解：对任意a，，都存在c，，使得，
即对于，都存在，使得，其中a，b，c，，
因为集合具有性质P，
选取，，则有，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假没，则有，解得，满足，故．
经检验，集合具有性质P．
（3）证明：取，设且满足，
由得，从而s，t异号，
是x中唯一的负数，s，t中一个为，另一个为1，故．
因为，所以，X具有性质P，取，，
设，因为，且c，d中的正数大于等于1，
所以只能，所以，．
又X中只有个大于1的正数，即，
且，这个大于1的正整数都属于集合X，
所以只能，，，即，
即．