高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.5利用导数证明不等式(精讲)(原卷版+解析)

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【知识储备】
1.导数证明不等式方法：
（1）构造单函数求最值证明不等式；
（2）构造双函数比较最值证明不等式；
（3）参变分离转化为具体函数最值证明不等式；
（4）不等式放缩证明不等式；
（5）双变量不等式证明转化为单变量不等式证明。
2.常用不等式的生成
在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．
（1）生成一：利用曲线的切线进行放缩
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩
由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．
综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：
与有关的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）．
与有关的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（），（）；
（4）（），（）．
用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．
【题型精讲】
【题型一 构造单函数证明不等式】
方法技巧 构造单函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
例1 (2023·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a