中考数学一轮大单元复习专题3.1函数及其图象知识点讲练(原卷版+解析)(全国通用)

这是一份中考数学一轮大单元复习专题3.1函数及其图象知识点讲练(原卷版+解析)(全国通用)，共75页。试卷主要包含了和Q，且PQ∥x轴等内容，欢迎下载使用。

考点1：平面直角坐标系中点的坐标特征
例1．（1）（2023春·广东江门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P3,−3位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）（2023秋·江苏淮安·八年级校考期中）若点Pm+2,−4在第三象限内，则m的取值范围是______．
例2．(2023秋·浙江金华·八年级校联考期中）已知P(3，m+8)和Q(2m+5，3m+1)，且PQ∥x轴．
(1)求m的值；
(2)求PQ的长．
例3．(2023秋·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，有点P2a−4，a+6．
(1)当a=1时，求点P到x轴的距离；
(2)若点P的横坐标比纵坐标少5，求点P的坐标；
(3)点Q的坐标为−7,5，直线PQ∥y轴，求点P的坐标．
知识点训练
1．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点M3,2与点Na,b在同一条平行于 x 轴的直线上，且 N 到 y 轴的距离等于 4，则点 N 的坐标是（ ）
A．4,2或−4,2B．4,−2或−1,−2C．4,−2或−4,−2D．4,−2或−5,−2
2．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，点a2+1,−2022所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第一象限内，则点M的坐标为（ ）
A．2,3B．. −2,3C．−3,2D．3,2
4．(2023秋·宁夏中卫·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点A在第四象限，则点A的坐标可能是 （ ）
A．2,3B．−2,3C．3,−2D．0,−2
答案：C
分析：根据第四象限的坐标符号特征为+,−解答即可．
【详解】解：∵点A在第四象限，
∴点A的坐标可能是3,−2，
故选：C．
【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−．
5．（2023春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ=4，则点Q的坐标是（ ）．
A．6,−3或−2,−3B．6,−3C．−1,−2D．−1,−2或7,−2
6．（2023秋·广西梧州·八年级统考期末）点M（x，y）在第三象限且x=3，y=2，则点M的坐标为（ ）
A．﹣3，2B．3，−2C．3，2D．−3，−2
7．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即0,0→0,1→1,1→1,0→⋯］，且每秒跳动一个单位，那么第2022秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A．1,45B．2,45C．1,44D．2,44
8．(2023秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2 ，按A→B→C→D→A→…排列，则第2022个点所在的坐标是（ ）
A．1，1B．−1，1C．−1，−2D．1，−2
9．（2023秋·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为0,4，点C的坐标为4,3，点D在第二象限，且△ABD≌△ABC，则点D的坐标是______．
10．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）点P2a−1,a+2在坐标轴上，则点P的坐标为______．
11．(2023秋·河南郑州·八年级校考期中）已知平面直角坐标系中一点P3,2m+1，PB平行于x轴，且Bx,−3，PB=4，则m=________，x=___________．
12．（2023秋·河南许昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A1，2,B5，5,C3，2，存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标________．
13．(2023秋·云南曲靖·九年级校联考期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点记为A2022的坐标为____．
14．(2023秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A32,0，B0,2，则点B2022的坐标为_______．
15．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中：
(1)已知点P2a−6,a+4在y轴上，求点P的坐标；
(2)已知两点A−3,m−1，Bn+1,4，若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
16．(2023秋·广西崇左·八年级统考期中）已知点A4，0、B1，2、C−1，0、D1，−1在同一坐标系中描出A、B、C、D各点，并求出四边形ABCD的面积．
17．(2023秋·辽宁大连·八年级大连市第三十七中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−4,1)，C(−1,2)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．（保留作图痕迹）
18．(2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）如图，弹性小球从点P(0,1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(2,0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，….，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2022的坐标为______．
考点2：坐标的简单应用
例4. （1）(2023秋·八年级单元测试）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：
甲∶从学校向北直走500米，再向东直走100米可到新华书店．
乙：从学校向西直走300米，再向南直走200米可到市政府．
丙：市政府在火车站西方200米处．
根据三人的描述，若从新华书店出发，则下列走法中，终点是火车站的是（ ）
A．向南直走700米，再向西直走200米B．向南直走700米，再向西直走600米
C．向南直走300米，再向西直走200米D．向南直走300米，再向西直走600米
（2）(2023秋·福建三明·八年级统考期中）如图是在4×4的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用0,4和2,4表示眼晴，那么嘴的位置可以表示为（ ）
A．1,1B．−1,1C．2,1D．1,2
例5.(2023秋·陕西咸阳·八年级统考期中）为了更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A，B的位置分别表示为A(2,1)，B(5,5)；
(2)在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置的坐标为________；
②标出古树D(3,3)，E(4,−1)，F(−1,−2)的位置．
知识点训练
1．(2023秋·广西崇左·八年级统考期中）如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点2,−1，“相”位于点4,−1上，则“炮”位于点（ ）上．
A．0,2B．0,3C．−1,3 D．−1,2
2．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）在平面内，下列数据不能确定一个物体位置的是（ ）
A．北偏西40°B．3楼5号
C．解放路30号D．东经30°，北纬120°
3．(2023秋·浙江·八年级专题练习）如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为2,90°，用方位角和距离可描述为：在点O正北方向，距离O点2个单位长度．下面是嘉嘉和琪琪用两种方式表示目标B，则判断正确的是（ ）
嘉嘉：目标B的位置为3,210°；
淇淇：目标B在点O的南偏西30°方向，距离O点3个单位长度．
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确
C．两人均正确D．两人均不正确
4．(2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述港口B相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东40°，35海里）D．（北偏东50°，35海里）
5．(2023秋·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考期末）“十里绿荫岸，千亩桂圆林”，有关部门对张坝桂圆林古树实行分级保护和标准认定，百年以上古树均有窝位图，经纬坐标等详细信息．如图是其中的三棵古树A，B，C的平面分布图．如果A的位置用坐标表示为(1,0)，C的位置用坐标表示为(2,−1)，则B的位置用坐标表示为（ ）
A．(0,−1)B．(−2,0)C．(−1,−1)D．(−1,2)
6．(2023秋·山西运城·八年级统考期中）河东池盐业博物馆位于运城市盐湖区盐池的北岸，当地人习惯称之为“池神庙”．它也是我国惟一保存良好的盐神庙．站在池神庙高处俯瞰，“千古中条一池雪”的诗景美不胜收．如图是河东池盐业博物馆的平面图，已知池神庙的位置是0,0，老火车遗址的位置是−6,2，则盐湖生态公园的位置是（ ）
A．2,4B．−2,4C．2,−4D．−2,−4
7．(2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）一个四边形的形状和尺寸如图所示．若按下列选项建立平面直角坐标系，则其中点C的坐标为2.5，1.5的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的___方向的___m处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）
9．(2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，A，B两点的坐标分别为−3，2，3，2，请在图中建立平面直角坐标系，并标出C的坐标．
10．(2023秋·山东青岛·八年级统考期末）有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点A−2,1，B−3,−4可识别．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C3,2的位置；
(2)标志点A与主要建筑C的图上距离为______．
11．(2023秋·八年级单元测试）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置；
(1)请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．
(2)写出体育场、宾馆、超市的坐标．
(3)图书馆的坐标为−4,−3，请在图中标出图书馆的位置．
考点3：函数定义及应用
例6. （1）(2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）函数y=63−x的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x>3
C．x<3D．x=3
（2）(2023秋·广东佛山·八年级校考期中）下列各选项中分别有两个变量x、y，则y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．y=−2x−1
D．在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：
（3）(2023秋·八年级课时练习）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数
B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元
D．y不是x的函数
例7.(2023秋·安徽合肥·八年级统考期中）已知等腰三角形的周长为32cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围．
例8.(2023秋·湖北宜昌·八年级统考期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播与空气温度关系一些数据（如表）：
(1)指出在这个过程中自变量和因变量；
(2)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，写出y与x之间的关系式；
(3)当空气温度为15℃时，声音在空气中传播速度是多少m/s？
(4)当声音在空气中传播速度是351m/s，空气温度为多少℃？
例9.(2023秋·上海·八年级校考期中）已知x=2y+2y−1，y=fx．
(1)求y=fx；
(2)求f2的值；
(3)当fx=2时，求x的值．
知识点训练
1．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋·安徽六安·八年级统考期中）如图，下列各曲线中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023秋·北京海淀·八年级校考期末）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，y=2x+6表示了自变量x与因变量y的关系，当x每增加1时，y增加（ ）
A．1B．2C．6D．12
5．(2023秋·广东广州·八年级统考期中）下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=x2+2x−3B．y=2x−1C．y=3xD．y=x
6．(2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）小亮用100元钱去买单价是5元的笔记本，则他剩余的钱y（元）与他买这种笔记本的本数x之间的表达式是（ ）
A．y=5xB．y=100−5xC．y=5x−100D．y=5x+100
7．(2023秋·广东广州·八年级统考期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分別为xcm，ycm，则它们的关系为是（ ）
A．y=50−x0C．y=25−x08．(2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）
A．y=3x−2B．y=1xC．y=x2+2xD．y=x2+1
9．(2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）已知函数y=x2+1,−3≤x<0−2x+2,x≥0，若y=2，则x的值为（ ）
A．±1或0B．±1C．1或0D．−1或0
10．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，则行驶路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系式是______________．
11．(2023秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）函数y=x−1中，自变量x的取值范围是______．
12．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）已知 fx=x2−1，那么f−1的值是________．
13．(2023秋·上海青浦·八年级校考期中）已知函数fx=xx+1，那么f4=________．
14．(2023秋·山东济南·八年级统考期中）某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y(元)，用水量为x(立方米)．
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，y= ________________；
②每月用水量超过10立方米时，y= ________________；
(2)若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元?
(3)若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米?
15．(2023秋·山东济宁·九年级校考期末）已知一个长方体的体积是100cm3，它底面的两条边长分别是ycm和10cm，高是xcm．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(2)当x=2时，求y的值．
16．(2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，有长为30m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为20m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)要围成面积为48m2的花圃，AB的长是多少米？
17．(2023秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）一个三角形的两条直角边长的差为8cm，若三角形的较长直角边长为xcm，面积为ycm2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x=10时，求y的值．
18．(2023秋·辽宁大连·九年级统考期中）某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出170−5x件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
考点4：函数图象分析与应用
例10.(2023秋·安徽·八年级统考期末）某段时间内，汽车离开甲地到达乙地，并返回甲地，折线ABCDE描述了汽车的行驶过程中汽车离甲地的路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)甲地与乙地之间的路程是______千米，汽车在行驶途中停留了______小时；
(2)汽车在行驶过程中，哪段时间行驶速度最慢：______（填“AB段”“CD段”或“DE段”），此段时间共行驶______千米；
(3)汽车在返回时的平均速度是多少？
例11.(2023秋·安徽六安·八年级统考期中）王红根据学习一次函数的经验，对函数y=x−1的图象和性质进行了探究．下面是王红的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=x−1的自变量x的取值范围是 ；
(2)已知：①当x=1时，y=x−1=0；②当x>1时，y=x−1=x−1；③当x<1时，y=x−1= ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
(3)由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮王红确定下表中m、n的值，其中m= ；n= ；
(4)在平面直角坐标系中，作出函数y=x−1的图象，并根据图象直接写出使y≤3的x的取值范围；
(5)根据函数的图象，写出函数y=x−1的一条性质．
知识点训练
1．(2023·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，已知矩形ABCD中，点E是BC的中点，点P从点B出发，沿B→D→A→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，到达点B后停止．图2是点P运动时，△PEC的面积ycm2随运动时间xs变化的关系图像，则图2中a，b的值为（ ）
A．a=3，b=12B．a=4，b=12
C．a=3，b=14D．a=4，b=14
2．(2023秋·安徽·八年级统考期末）如图，等腰Rt△ABC，AC=BC，∠C=90°，点P由点B开始沿BC边匀速运动到点C，再沿CA边匀速运动到点A为止，设运动时间为t，△ABP的面积为S，则S与t的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023秋·安徽六安·八年级统考期中）小红和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小红开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好需用30min，小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数如图所示，有下列四种说法：
①小东离家的路程y与x之间的函数表达式为y=−300x+4000(0≤x≤403)；
②家与图书馆之间的路程为4000m；
③小红步行的速度为100m/min；
④出发后8.5min，两人相遇；
其中正确的有（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③
4．(2023春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动．设点P运动的路程为x，△APD的面积为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图（1），在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图（2）所示，则边BC的长是（ ）
A． 20B． 23C． 24D．6
6．(2023秋·山东济南·八年级济南育英中学校考期末）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离学校10km的文博中心参加学习，图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程（千米）随时间（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲平均速度为15千米/小时；③乙出发6分钟后追上甲；④甲、乙相遇时，乙走了8千米；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．③④D．①②④
7．(2023秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（ ）
①该植物开始的高度为6厘米；
②直线AC的函数表达式为y=15x+6；
③第40天，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为16厘米；
⑤该植物的高度随时间的增加而增高．
A．①②③B．②④C．①②③⑤D．①②③④
8．(2023秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲车与乙车相遇后休息半小时，再按照原速度继续行驶到达B地，乙车从B地出发直接到达A地，两车到达各自的目的地后即停止．甲、乙两车离B地的距离ykm与行驶时间th的关系如图所示.下列说法正确的有（ ）
①乙车的平均速度为80km/h；
②相遇前甲车离B地的距离ykm与行驶时间th的函数关系式为y=−120t+300；
③两车出发1.5小时后相遇；
④甲车到达B地时，乙车距离A地60km．
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①③
9．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）周日，小明从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，小明立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的1.5倍，在整个过程中，小明离家的距离sm与他所用的时间tmin之间的关系如图所示，则小明在图书馆查阅资料的时间为______ min．
10．(2023秋·河南郑州·八年级校考期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离ykm与它们的行驶时间xh之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a=340；④慢车先到达目的地．
其中正确的是______．
11．(2023秋·河南郑州·九年级郑州中学校考期末）问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y=6x−3的图象是怎样的呢？
【探索】
(1)该函数的自变量的取值范围为______；
(2)描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值；
②描点：根据表中各组对应值x,y，在平面直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】
观察你所画的图象，解答下列问题：
(3)若点Aa,c，Bb,c为该函数图象上不同的两点，则a+b=______；
(4)直接写出当6x−3≥−2时，x的取值范围为______．
12．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与A地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题：
(1)两人谁先到达B地？________．（填“甲”或“乙”）
(2)甲到达B地用了________小时．
(3)两人在出发多少小时后相遇？
13．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
14．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）请根据函数相关知识，对函数y=2x−3−1的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
(1)表格中：m=______，n=______．
(2)在直角坐标系中画出该函数图象．
(3)观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是______；
②观察函数y=2x−3−1的图象，写出该图象的一条性质；
③进一步探究函数图象发现：
函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程2x−3−1=0有______个解．
信件质量xy
020406080邮资y/元
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
用电量x（千瓦时）
1
2
3
4
…
应交电费y（元）
0.55
1.1
1.65
2.2
…
温度/℃
-20
-10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
用水量(立方米)
收费(元)
不超过10立方米
每立方米2.5元
超过10立方米
超过的部分每立方米3.5元
x
…
−2
m
1
2
4
…
y
…
3
1
0
1
n
…
x
…
−7
−6
−5
−4
−2
−1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
32
2
3
6
−6
−3
−2
−3
−6
6
3
2
32
…
x
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
5
m
1
−1
1
3
n
7
…
专题1.1实数及其运算知识点演练
考点1：平面直角坐标系中点的坐标特征
例1．（1）（2023春·广东江门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P3,−3位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
分析：根据象限内点的符号特征进行判断即可．
【详解】解：P3,−3，符号特征为：+,−，
∴P3,−3在第四象限；
故选D．
【点睛】本题考查象限内点的符号特征，熟练掌握各象限内点的符号特征，是解题的关键．
（2）（2023秋·江苏淮安·八年级校考期中）若点Pm+2,−4在第三象限内，则m的取值范围是______．
答案：m<−2
分析：根据平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标小于0，列不等式并求解即可得．
【详解】解：点Pm+2,−4在第三象限内
∴m+2<0
解得：m<−2
故答案为：m<−2
【点睛】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式的应用；熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标特点是解题关键．
例2．(2023秋·浙江金华·八年级校联考期中）已知P(3，m+8)和Q(2m+5，3m+1)，且PQ∥x轴．
(1)求m的值；
(2)求PQ的长．
答案：(1)m=3.5；
(2)PQ=9．
分析：（1）根据平行x轴可知P、Q两点的纵坐标相等，得出方程m+8=3m+1，求出方程的解即可；
（2）求出P、Q的坐标，根据两点之间距离公式求出即可．
【详解】（1）解：∵P(3，m+8)和Q(2m+5，3m+1)且PQ∥x轴，
∴m+8=3m+1，
解得：m=3.5；
（2）解：∵P(3，m+8)和Q(2m+5，3m+1)且m=3.5，
∴P(3，11.5)和Q(12，11.5)，
∴PQ=12−3=9．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质的应用，能根据题意得出关于m的方程和能利用公式进行计算是解此题的关键．
例3．(2023秋·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，有点P2a−4，a+6．
(1)当a=1时，求点P到x轴的距离；
(2)若点P的横坐标比纵坐标少5，求点P的坐标；
(3)点Q的坐标为−7,5，直线PQ∥y轴，求点P的坐标．
答案：(1)7
(2)6,11
(3)−7,4.5
分析：（1）根据a=1得点P的坐标为−2,7，即可得到点P到x轴的距离；
（2）列得2a−4+5=a+6，求出a即可；
（3）根据直线PQ∥y轴，得到2a−4=−7，求出a即可．
【详解】（1）解：当a=1时，点P的坐标为−2,7，
∴点P到x轴的距离为7；
（2）2a−4+5=a+6，
解得a=5，
∴点P的坐标为6,11；
（3）∵直线PQ∥y轴，
∴2a−4=−7，
解得a=−1.5，
∴点P的坐标为−7,4.5．
【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的点的坐标特点，解一元一次方程，正确理解坐标与图形的关系是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点M3,2与点Na,b在同一条平行于 x 轴的直线上，且 N 到 y 轴的距离等于 4，则点 N 的坐标是（ ）
A．4,2或−4,2B．4,−2或−1,−2C．4,−2或−4,−2D．4,−2或−5,−2
答案：A
分析：根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可．
【详解】解：∵点M3,2与点Na,b在同一条平行于x轴的直线上，
∴b=2，
∵N到y轴的距离等于4，
∴a=±4，
∴点N的坐标为4,2或−4,2．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
2．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，点a2+1,−2022所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
分析：根据点的横纵坐标的正负判断即可．
【详解】解：∵a2+1>0，−2022<0，
∴点a2+1,−2022所在象限是第二象限，
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题关键是熟记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+；第二象限−,+；第三象限−,−；第四象限+,−．
3．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第一象限内，则点M的坐标为（ ）
A．2,3B．. −2,3C．−3,2D．3,2
答案：A
分析：根据到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴距离为横坐标的绝对值，结合点在第一象限求解即可．
【详解】点M在第一象限内，
所以点M的横坐标、纵坐标均大于0，
到x轴的距离为3，所以点M的纵坐标为3，
到y轴距离为2，所以点M的横坐标为2，
∴M2,3
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标与距离；解题关键是理解点的坐标的意义.
4．(2023秋·宁夏中卫·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点A在第四象限，则点A的坐标可能是 （ ）
A．2,3B．−2,3C．3,−2D．0,−2
答案：C
分析：根据第四象限的坐标符号特征为+,−解答即可．
【详解】解：∵点A在第四象限，
∴点A的坐标可能是3,−2，
故选：C．
【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−．
5．（2023春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ=4，则点Q的坐标是（ ）．
A．6,−3或−2,−3B．6,−3C．−1,−2D．−1,−2或7,−2
答案：A
分析：根据第四象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．然后根据PQ平行于x轴且PQ=4，得到点Q的坐标．
【详解】点P到x轴的距离是3，则点P的纵坐标为±3，
点P到y轴的距离是2，则点P的横坐标为±2，
由于点P在第四象限，故P坐标为2,−3，
∵PQ平行于x轴且PQ=4，
∴点Q的坐标是6,−3或−2,−3．
故选：A．
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+；第二象限−,+；第三象限−,−；第四象限+,−．
6．（2023秋·广西梧州·八年级统考期末）点M（x，y）在第三象限且x=3，y=2，则点M的坐标为（ ）
A．﹣3，2B．3，−2C．3，2D．−3，−2
答案：D
分析：根据在第三象限，点的坐标的特点即可求解．
【详解】∵M（x，y）在第三象限且x＝3，y＝2，
∴x=−3，y=−2，
∴点M的坐标是−3，−2．
故选：D．
【点睛】本题考查在象限中点的坐标的特点，解题的关键是掌握各象限的符号特点．
7．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即0,0→0,1→1,1→1,0→⋯］，且每秒跳动一个单位，那么第2022秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A．1,45B．2,45C．1,44D．2,44
答案：D
分析：由题目中所给的跳蚤运动的特点找出规律，即可解答．
【详解】解：由图可得，0,1表示1=12秒后跳蚤所在位置；
0,2表示8=2+12−1秒后跳蚤所在位置；
0,3表示9=32秒后跳蚤所在位置；
0,4表示24=4+12−1秒后跳蚤所在位置；
…
∴0,44表示44+12−1=2024秒后跳蚤所在位置，
则2,44表示第2022秒后跳蚤所在位置．
故选：D．
【点睛】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
8．(2023秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2 ，按A→B→C→D→A→…排列，则第2022个点所在的坐标是（ ）
A．1，1B．−1，1C．−1，−2D．1，−2
答案：B
分析：根据每四个点为一周期循环，由2022÷4=505…2 知第2022个点所在的坐标与第2个点所在的坐标相同，据此可得．
【详解】解：由题意知每四个点为一周期循环，
∵2022÷4=505…2，
∴第2022个点所在的坐标与第2个点所在的坐标相同，即第2022个点所在的坐标是−1，1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据题意得出每四个点为一周期循环．
9．（2023秋·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为0,4，点C的坐标为4,3，点D在第二象限，且△ABD≌△ABC，则点D的坐标是______．
答案：−4,3
分析：根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵点D在第二象限，△ABD≌△ABC，
∴ △ABC和△ADC关于y轴对称，
∴点D的坐标是−4,3，
故答案为：−4,3．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，根据题意画出图形是解答此题的关键．
10．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）点P2a−1,a+2在坐标轴上，则点P的坐标为______．
答案：−5,0或0,52
分析：分点P在x轴和y轴上两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：当点P在x轴上时：a+2=0，解得：a=−2，
∴2a−1=2×−2−1=−5，
∴P−5,0；
当点P在y轴上时：2a−1=0，解得：a=12，
∴a+2=12+2=52，
∴P0,52；
综上：点P的坐标为：−5,0或0,52；
故答案为：−5,0或0,52．
【点睛】本题考查坐标轴上点的特征．熟练掌握坐标轴上的点的横坐标或纵坐标为0，是解题的关键．
11．(2023秋·河南郑州·八年级校考期中）已知平面直角坐标系中一点P3,2m+1，PB平行于x轴，且Bx,−3，PB=4，则m=________，x=___________．
答案： −2 −1或7
分析：根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，求出m的值，再利用PB=4求出x的值即可．
【详解】解：∵PB平行于x轴，P3,2m+1，Bx,−3，
∴2m+1=−3，
∴m=−2；
又∵PB=4，
∴x−3=4，
∴x=−1或x=7；
故答案为：−2，−1或7．
【点睛】本题考查平面直角坐标系下点的规律探究．熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，是解题的关键．
12．（2023秋·河南许昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A1，2,B5，5,C3，2，存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标________．
答案：（5，−1）或（−1，−1）或（−1，5）
分析：先画出点B关于直线AC的对称点E1，然后画出点B、点E1关于AC的垂直平分线的对称点E2、E3，从而得到满足条件的E点坐标．
【详解】解：如图，E点坐标为（5，−1）或（−1，−1）或（−1，5）．
故答案为：（5，−1）或（−1，−1）或（−1，5）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了坐标与图形性质．
13．(2023秋·云南曲靖·九年级校联考期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点记为A2022的坐标为____．
答案：3033,0
分析：根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为6，依据2022=4×505+2即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵A−1,2，
∴观察图形可知，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，A45,2，
∵长方形的周长为：2×1+2=6，
∴每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6，纵坐标保持不变，
∵2022=4×505+2，即经过了505次完整的循环后再向前翻滚2次，是A2A3的对应点，
∴经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为6×505+3,0，即3033,0，
故答案为：3033,0．
【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键．
14．(2023秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A32,0，B0,2，则点B2022的坐标为_______．
答案：6066,2
分析：首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2022的坐标．
【详解】∵点A32,0，B0,2，
∴AO=32，BO=2，
∴AB=AO2+BO2=52，
∴AO+AB1+B1C2=32+52+2=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，点B2的纵坐标为：2
∴B4的横坐标为：2×6=12，点B4的纵坐标为：2
∴点B2022的横坐标为：1011×6=6066．
∴点B2022的纵坐标为：2．
故点B2022的坐标为6066,2．
故答案为：6066,2．
【点睛】本题考查点的坐标规律变换，解题关键是通过图形旋转，找到所有B点之间的关系．
15．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中：
(1)已知点P2a−6,a+4在y轴上，求点P的坐标；
(2)已知两点A−3,m−1，Bn+1,4，若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
答案：(1)点P的坐标为0,7
(2)m=5，n>−1
分析：（1）根据点在y轴上，其横坐标为零，列式计算即可．
（2）根据平行x轴的点的纵坐标相同，第一象限内坐标都是正数，列式计算即可．
【详解】（1）根据题意知，2a−6=0，
解得：a=3，
∴点P的坐标为0,7 ．
（2）∵AB∥x轴，
∴m−1=4，
解得m=5，
∵点B在第一象限，
∴n+1>0，
解得n>−1．
【点睛】本题考查了y轴上点的坐标特点，平行x轴的点的特征，第一象限内点的坐标特点，熟练掌握坐标的特点是解题的关键．
16．(2023秋·广西崇左·八年级统考期中）已知点A4，0、B1，2、C−1，0、D1，−1在同一坐标系中描出A、B、C、D各点，并求出四边形ABCD的面积．
答案：图见解析，7.5
分析：设BD与AC相交于点E，根据已知可得AC=5，BE=2，DE=1，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：描点如图所示：
设BD与AC相交于点E，
∵点A4，0、B1，2、C−1，0、D1，−1，
∴BD⊥AC，AC=4−(−1)=5，BE=2，DE=1，
∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积，
∴四边形ABCD的面积=12AC⋅BE+12AC⋅DE
=12×5×2+12×5×1
=7.5，
∴四边形ABCD的面积为7.5．
【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．(2023秋·辽宁大连·八年级大连市第三十七中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−4,1)，C(−1,2)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．（保留作图痕迹）
答案：(1)见解析
(2)(1,2)
(3)见解析
分析：（1）作出点A、B、C三个顶点的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点C关于y轴的对称点C'的坐标即可；
（3）连接AC'，与y轴的交点即为所求作的点P．
【详解】（1）解：如图，作出点A、B、C三个顶点的对称点A1、B1、C1，顺次连接，则△A1B1C1即为所求；
（2）解：点C关于y轴的对称点C'的坐标为(1,2)；
故答案为：(1,2)；
（3）解：连接AC'交y轴于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，解题的关键是作出三角形三个顶点对应点A1、B1、C1．
18．(2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）如图，弹性小球从点P(0,1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(2,0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，….，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2022的坐标为______．
答案：(0,1)
分析：按照反弹规律依次画图即可．
【详解】如图：

根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3(0,3)，再反射到P4(2,4)，再反射到P5(4,3)，再反射到P点(0,1)之后，再循环反射，每6次一循环，2022÷6=337，即点P2022的坐标是(0,1)．
故答案为：(0,1)．
【点睛】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律．
考点2：坐标的简单应用
例4. （1）(2023秋·八年级单元测试）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：
甲∶从学校向北直走500米，再向东直走100米可到新华书店．
乙：从学校向西直走300米，再向南直走200米可到市政府．
丙：市政府在火车站西方200米处．
根据三人的描述，若从新华书店出发，则下列走法中，终点是火车站的是（ ）
A．向南直走700米，再向西直走200米B．向南直走700米，再向西直走600米
C．向南直走300米，再向西直走200米D．向南直走300米，再向西直走600米
答案：A
分析：以学校为坐标原点画出直角坐标系，1个单位长表示100米，描出新华书店、市政府、火车站的位置，然后根据新华书店和火车站的坐标进行判断．
【详解】解：如图，以学校为坐标原点画出直角坐标系，1个单位长表示100米，
A．从新华书店出发，向南直走700米，再向西直走200米可到火车站，符合题意；
B，C，D的走法不能到达火车站．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应，记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
（2）(2023秋·福建三明·八年级统考期中）如图是在4×4的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用0,4和2,4表示眼晴，那么嘴的位置可以表示为（ ）
A．1,1B．−1,1C．2,1D．1,2
答案：D
分析：根据左右眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系：
可知嘴的位置对应的点的坐标为1,2．
故选D．
【点睛】本题考查用坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
例5.(2023秋·陕西咸阳·八年级统考期中）为了更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A，B的位置分别表示为A(2,1)，B(5,5)；
(2)在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置的坐标为________；
②标出古树D(3,3)，E(4,−1)，F(−1,−2)的位置．
答案：(1)详见解析
(2)①(−2,2)；②详见解析
分析：（1）根据A(2,1)，B(5,5)建立坐标系即可；
（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；
②直接根据点的坐标描出各点．
【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如图；
（2）解：①(−2,2)；
②古树D，E，F的位置如图．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键．
知识点训练
1．(2023秋·广西崇左·八年级统考期中）如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点2,−1，“相”位于点4,−1上，则“炮”位于点（ ）上．
A．0,2B．0,3C．−1,3 D．−1,2
答案：D
分析：直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：∵“帅”位于点2,−1，“相”位于点4,−1上，
∴建立如图所示的平面直角坐标系：
则“炮”位于点−1,2上．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
2．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）在平面内，下列数据不能确定一个物体位置的是（ ）
A．北偏西40°B．3楼5号
C．解放路30号D．东经30°，北纬120°
答案：A
分析：根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、北偏西40°，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意；
B、3楼5号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
C、解放路30号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
D、东经30°，北纬120°，物体的位置明确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
3．(2023秋·浙江·八年级专题练习）如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为2,90°，用方位角和距离可描述为：在点O正北方向，距离O点2个单位长度．下面是嘉嘉和琪琪用两种方式表示目标B，则判断正确的是（ ）
嘉嘉：目标B的位置为3,210°；
淇淇：目标B在点O的南偏西30°方向，距离O点3个单位长度．
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确
C．两人均正确D．两人均不正确
答案：D
分析：根据题意可得目标B的位置为4,210°或目标B在点O的南偏西60°方向，距离O点4个单位长度，即可求解．
【详解】解：由题意得，目标B的位置为4,210°或目标B在点O的南偏西60°方向，距离O点4个单位长度；
故选：D．
【点睛】本题考查坐标确定位置，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．(2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述港口B相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东40°，35海里）D．（北偏东50°，35海里）
答案：C
分析：以点B为中心点，来描述点A的方向及距离即可．
【详解】解：由题意知货船A相对港口B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
5．(2023秋·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考期末）“十里绿荫岸，千亩桂圆林”，有关部门对张坝桂圆林古树实行分级保护和标准认定，百年以上古树均有窝位图，经纬坐标等详细信息．如图是其中的三棵古树A，B，C的平面分布图．如果A的位置用坐标表示为(1,0)，C的位置用坐标表示为(2,−1)，则B的位置用坐标表示为（ ）
A．(0,−1)B．(−2,0)C．(−1,−1)D．(−1,2)
答案：C
分析：根据A，C两点的坐标判断平面直角坐标系的原点，由此即可求解．
【详解】解：由A(1,0)，C(2,−1)判断坐标原点，如图所示，
∴B(−1,−1)，
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标表示地理位置，掌握由已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点是解题的关键．
6．(2023秋·山西运城·八年级统考期中）河东池盐业博物馆位于运城市盐湖区盐池的北岸，当地人习惯称之为“池神庙”．它也是我国惟一保存良好的盐神庙．站在池神庙高处俯瞰，“千古中条一池雪”的诗景美不胜收．如图是河东池盐业博物馆的平面图，已知池神庙的位置是0,0，老火车遗址的位置是−6,2，则盐湖生态公园的位置是（ ）
A．2,4B．−2,4C．2,−4D．−2,−4
答案：D
分析：由平面直角坐标系的特征，即可得到盐湖生态公园的坐标．
【详解】解：∵池神庙的位置是0,0，老火车遗址的位置是−6,2，
∴盐湖生态公园的位置是−2,−4；
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，坐标与图形，解题的关键是正确的得到点的坐标．
7．(2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）一个四边形的形状和尺寸如图所示．若按下列选项建立平面直角坐标系，则其中点C的坐标为2.5，1.5的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：根据题意建立正确的坐标系即可得到答案．
【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，
则其中点C的坐标为2.5，1.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键．
8．(2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的___方向的___m处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）
答案： 南偏西60° 500
【详解】∵小刚在小明的北偏东60°方向的500m处
∴小明在小刚的南偏西60°方向的500m处．
故答案为：南偏西60°，500．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟记方向角的定义是解本题的关键．
9．(2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，A，B两点的坐标分别为−3，2，3，2，请在图中建立平面直角坐标系，并标出C的坐标．
答案：见解析
分析：根据题意，以线段AB的垂直平分线为y轴，以距离直线AB个单位，且位于直线AB的下方的直线为x轴建立平面直角坐标系，即可求解．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为−3，2，3，2，
∴A，B两点关于y对称，且两点位于x轴的上方两个单位处，
∴以线段AB的垂直平分线为y轴，以距离直线AB有2个单位，且位于直线AB的下方的直线为x轴建立平面直角坐标系，
根据网格图以及坐标系标出C点坐标，如图所示：
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，准确建立平面直角坐标系是解题的关键．
10．(2023秋·山东青岛·八年级统考期末）有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点A−2,1，B−3,−4可识别．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C3,2的位置；
(2)标志点A与主要建筑C的图上距离为______．
答案：(1)见解析
(2)26
分析：（1）以点A向右2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后再确定出点C的位置即可；
（2）在平面直角坐标系中运用勾股定理即可求出距离．
【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示，C点的位置如图所示．
（2）由勾股定理可得：AC=3+22+2−12=26，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了坐标确定位置及勾股定理，根据已知点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．
11．(2023秋·八年级单元测试）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置；
(1)请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．
(2)写出体育场、宾馆、超市的坐标．
(3)图书馆的坐标为−4,−3，请在图中标出图书馆的位置．
答案：(1)见解析
(2)体育场的坐标为−4,3、宾馆的坐标为2,2、超市的坐标为2,−3
(3)见解析
分析：（1）按要求建立直角坐标系即可；
（2）结合（1）中的坐标系，直接找到对应坐标即可；
（3）根据坐标直接描点即可．
【详解】（1）如图所示：
坐标系即为所得；
（2）根据上图可得：体育场的坐标为−4,3、宾馆的坐标为2,2、超市的坐标为2,−3；
（3）图书馆的位置如图所示．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，与点的坐标的书写，由于所写点的位置比较多，可以根据象限的顺序依次写出，避免重写或漏写．
考点3：函数定义及应用
例6. （1）(2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）函数y=63−x的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x>3
C．x<3D．x=3
答案：A
分析：根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：3−x≠0，
解得：x≠3．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
（2）(2023秋·广东佛山·八年级校考期中）下列各选项中分别有两个变量x、y，则y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．y=−2x−1
D．在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：
答案：B
分析：根据函数的概念“一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数．”即可求解．
【详解】在函数关系中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．
B选项中，部分x值有两个y值与其对应，所以B选项中的图像y不是x的函数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的定义，熟知定义并正确判断是解题的关键．
（3）(2023秋·八年级课时练习）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数
B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元
D．y不是x的函数
答案：D
分析：结合表格中数据变化规律进而得出y是x的函数且用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元．
【详解】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，正确，不合题意；
B、用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，正确，不合题意；
C、若用电量为8千瓦时，则应交电费0.55×8=4.4元，正确，不合题意；
D、y是x的函数，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了函数的概念以及常量与变量，正确获取信息是解题关键．
例7.(2023秋·安徽合肥·八年级统考期中）已知等腰三角形的周长为32cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围．
答案：(1)y与x的函数关系式为y=32−2x；
(2)自变量x的取值范围为8分析：（1）根据“底边长=周长−2×腰长”即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答．
【详解】（1）解：依题意有：y=32−2x，
故y与x的函数关系式为：y=32−2x；
（2）解：依题意有：x+x>yx+y>x，即2x>32−2x32−2x>0，
解得：8故自变量x的取值范围为8【点睛】本题考查了等腰三角形的周长，三角形的三边关系，难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值范围．
例8.(2023秋·湖北宜昌·八年级统考期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播与空气温度关系一些数据（如表）：
(1)指出在这个过程中自变量和因变量；
(2)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，写出y与x之间的关系式；
(3)当空气温度为15℃时，声音在空气中传播速度是多少m/s？
(4)当声音在空气中传播速度是351m/s，空气温度为多少℃？
答案：(1)自变量是温度，因变量是声速
(2)y=0.6x+330
(3)339
(4)35
分析：（1）根据题意可知自变量是温度，因变量是声速；
（2）根据表中数据，利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案；
（3）当空气温度为15℃时，由（2）中表达式，令x=15，代入求值即可得到答案；
（4）当声音在空气中传播速度是351m/s，由（2）中表达式，令y=351，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：自变量是温度，因变量是声速；
（2）解：根据表中数据，温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴设y=kx+b，
将0，330、10，336代入表达式得：330=b336=10k+b，解得k=0.6b=330，
∴ y与x之间的关系式是y=0.6x+330；
（3）解：由（2）知y与x之间的关系式是y=0.6x+330，
当x=15时，y=0.6×15+330=339（m/s），
答：当空气温度为15℃时，声音在空气中传播速度是339m/s；
（4）解：由（2）知y与x之间的关系式是y=0.6x+330，
当y=351时，0.6x+330=351，解得x=35（℃），
答：当声音在空气中传播速度是351m/s，空气温度为多少℃．
【点睛】本题考查利用一次函数解实际应用题，涉及待定系数法求一次函数表达式、求自变量或函数值等，读懂题意，确定变量之间满足一次函数关系，并利用待定系数法求出函数表达式是解决问题的关键．
例9.(2023秋·上海·八年级校考期中）已知x=2y+2y−1，y=fx．
(1)求y=fx；
(2)求f2的值；
(3)当fx=2时，求x的值．
答案：(1)y=x+2x−2
(2)−22−3
(3)42+6
分析：（1）首先两同时乘以y−1，再把含y的项移到左边，不含y的项移到右边，进行变形即可；
（2）把x=2代入进行计算即可；
（3）fx=2，即x+2x−2=2，求解即可．
【详解】（1）解：x=2y+2y−1
xy−x=2y+2，
xy−2y=x+2，
(x−2)y=x+1．
∴ y=x+2x−2；
（2）解：f(2)=2+22−2，
=(2+2)(2+2)(2−2)(2+2)，
=2+42+4−2，
=−22−3；
（3）解：fx=2，
即x+2x−2=2，
x1−2=−22−2，
x=−22−21−2，
x=42+6.
【点睛】此题主要考查了函数关系式，解题的关键是求出函数解析式，题目比较基础．
知识点训练
1．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据函数的定义逐项进行判定解答即可．
【详解】解：A、每取一个x， y都有唯一的一个值与之对应，所以 y是x的函数，故此选项符合题意；
B、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
C、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
D、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握在一个变化过程中，有两个变量x、y，若x取一个值，y都有唯一的一个值与之对应，则y是x的函数是解题的关键．
2．(2023秋·安徽六安·八年级统考期中）如图，下列各曲线中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.
3．(2023秋·北京海淀·八年级校考期末）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可.
【详解】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意.
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意.
C.对于自变量x的每一个值，因变量y有3个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意.
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键.
4．(2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，y=2x+6表示了自变量x与因变量y的关系，当x每增加1时，y增加（ ）
A．1B．2C．6D．12
答案：B
分析：利用自变量x与因变量y的关系进行计算即可求解．
【详解】解：当自变量x=m时，y=2m+6，
当x=m+1时，y=2m+1+6=2m+6+2，
∴当x每增加1时，y增加2，
故选：B．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是理解常量与变量的意义，设自变量x的值，代入计算因变量y的值，进行比较即可．
5．(2023秋·广东广州·八年级统考期中）下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=x2+2x−3B．y=2x−1C．y=3xD．y=x
答案：D
分析：利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答案．
【详解】解：A、y=x2+2x−3，y是x的函数，故此选项不符合题意；
B、y=2x−1，y是x的函数，故此选项不符合题意；
C、y=3x，y是x的函数，故此选项不符合题意；
D、y=x， y不是x的函数，如当x=1时，y=±1有两个值和他对应，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
6．(2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）小亮用100元钱去买单价是5元的笔记本，则他剩余的钱y（元）与他买这种笔记本的本数x之间的表达式是（ ）
A．y=5xB．y=100−5xC．y=5x−100D．y=5x+100
答案：B
分析：根据题意，结合选项即可得到剩余的钱y（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数表达式．
【详解】解：∵小亮用100元钱去买单价是5元的笔记本，
∴买这种笔记本的本数x花去的钱为：5x，
∴剩余的钱为：100−5x，
∴他剩余的钱y（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系式是：y=100−5x，
故选：B．
【点睛】本题考查求函数关系式，读懂题意，确定函数关系式是解决问题的关键．
7．(2023秋·广东广州·八年级统考期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分別为xcm，ycm，则它们的关系为是（ ）
A．y=50−x0C．y=25−x0答案：C
分析：根据长方形周长公式列出等式变形即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
(x+y)×2=50 ，且x>0 ，y>0
∴y=25−x(0故选C．
【点睛】本题考查求函数解析式及自变量x的取值范围，根据题意列等量关系式及根据实际有意义求取值范围是解题的关键．
8．(2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）
A．y=3x−2B．y=1xC．y=x2+2xD．y=x2+1
答案：C
分析：取x=0判断函数值的情况，即可得到结论．
【详解】解：A．当x=0时，y=3x−2=0−2=−2，故选项不符合题意；
B．当x=0时，y=1x无意义，故选项不符合题意；
C．当x=0时，y=x2+2x=0，故选项符合题意；
D．当x=0时，y=x2+1=1，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键．
9．(2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）已知函数y=x2+1,−3≤x<0−2x+2,x≥0，若y=2，则x的值为（ ）
A．±1或0B．±1C．1或0D．−1或0
答案：D
分析：分两种情况讨论：当−3≤x<0时，当x≥0时，把y=2代入，即可求解．
【详解】解：当−3≤x<0时，x2+1=2，
解得：x=−1或1（舍去）；
当x≥0时，−2x+2=2，
解得：x=0；
所以x的值为−1或0．
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的值，同时考查了计算能力，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．
10．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，则行驶路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系式是______________．
答案：s=60t
分析：根据路程=速度×时间，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，s=60t．
故答案为：s=60t．
【点睛】本题考查了函数关系式的知识，掌握路程=速度×时间是关键．
11．(2023秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）函数y=x−1中，自变量x的取值范围是______．
答案：x≥0
分析：根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．
【详解】解：根据题意，得x≥0．
故答案为：x≥0．
【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）已知 fx=x2−1，那么f−1的值是________．
答案：0
分析：根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】解：当x=−1时，f−1=−12−1=0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
13．(2023秋·上海青浦·八年级校考期中）已知函数fx=xx+1，那么f4=________．
答案：25##0.4
分析：由函数fx=xx+1，代入x=4，求解即可．
【详解】解：∵函数fx=xx+1，
∴f4=44+1=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了函数值的求法和算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．(2023秋·山东济南·八年级统考期中）某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y(元)，用水量为x(立方米)．
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，y= ________________；
②每月用水量超过10立方米时，y= ________________；
(2)若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元?
(3)若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米?
答案：(1)①2.5x；②3.5x−10
(2)15
(3)12
分析：（1）①根据收费用量区间与收费标准列出两种收费解析式，当0≤x≤10时，用收费标准×使用水量；②当x>10时，基础收费+超出部分费用；
（2）先确定用量范围，再求代数式值即可；
（3）先根据费用确定解析式，列方程求解即可．
【详解】（1）①当0≤x≤10时，y=2.5x；
故答案为：2.5x；
②当x>10时，y=2.5×10+3.5x−10=3.5x−10；
故答案为：3.5x−10
（2）解：∵6<10，
∴当x=6时，y=2.5×6=15（元)，
答：应交水费15元；
（3）解：∵32>2.5×10，
∴当y=32时，3.5x−10=32，
解得：x=12，
答：该户居民用水12立方米．
【点睛】本题考查列函数解析式——收水费问题，掌握收费区间与标准，代数式的值，列解方程是解题关键．
15．(2023秋·山东济宁·九年级校考期末）已知一个长方体的体积是100cm3，它底面的两条边长分别是ycm和10cm，高是xcm．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(2)当x=2时，求y的值．
答案：(1)y=10xx>0；
(2)y=5．
分析：（1）根据长方体体积公式即可得到答案；
（2）把x=2代入即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：y×10⋅x=100，
∴y=10xx>0；
（2）解：把x=2代入得：y=102=5．
【点睛】本题考查列函数关系式及求函数值，解题的关键是掌握长方体体积公式．
16．(2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，有长为30m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为20m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)要围成面积为48m2的花圃，AB的长是多少米？
答案：(1)S=−3x2+30x103≤x<10
(2)8
分析：（1）设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2，则BC的长为30−3x米，然后根据长方形的面积公式，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2，则BC的长为30−3xm，
∴S=30−3xx=−3x2+30x，
∵x>00<30−3x≤20，
∴103≤x<10．
∴S与x的函数关系式为S=−3x2+30x103≤x<10．
（2）解：根据题意得：48=−3x2+30x，
即x2−10x+16=0，
解得：x1=2,x2=8．
∵103≤x<10，
∴x=8．
答：要围成面积48m2的花圃，AB的长是8米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列函数关系式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．(2023秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）一个三角形的两条直角边长的差为8cm，若三角形的较长直角边长为xcm，面积为ycm2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x=10时，求y的值．
答案：(1)y=12xx−8
(2)10
分析：（1）根据直角三角形的面积等于直角边的乘积的一半列式求解即可；
（2）把x=10值代入（1）所得的代数式计算即可．
【详解】（1）解：由三角形的较长直角边长为xcm，则较短直角边为x−8cm
所以y=12xx−8．
（2）解：当x=10时，y=12×10×10−8=10 cm2．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式、代数式求值等知识点，解答的关键是根据题意列出函数关系式．
18．(2023秋·辽宁大连·九年级统考期中）某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出170−5x件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
答案：(1)y=−5x2+250x−2720
(2)20元
分析：（1）根据：每件盈利乘以销售件数等于总盈利额；其中每件盈利等于每件售价减去每件进价，建立等量关系；
（2）由每天销售该商品要获得280元的利润，结合（1）列方程即可解出答案；
【详解】（1）解：根据题意得：
y=x−16170−5x
=−5x2+250x−2720；
即y与x的函数关系式为y=−5x2+250x−2720；
（2）解：根据题意得：−5x2+250x−2720=280，
整理得：x2−50x+600=0，
解得：x1=20,x2=30，
∵要求所有商家商品的利润率不得超过40%，
∴x≤16×1+40%=22.4，
∴x=20，
答：每件商品的售价应定为20元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和列函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
考点4：函数图象分析与应用
例10.(2023秋·安徽·八年级统考期末）某段时间内，汽车离开甲地到达乙地，并返回甲地，折线ABCDE描述了汽车的行驶过程中汽车离甲地的路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)甲地与乙地之间的路程是______千米，汽车在行驶途中停留了______小时；
(2)汽车在行驶过程中，哪段时间行驶速度最慢：______（填“AB段”“CD段”或“DE段”），此段时间共行驶______千米；
(3)汽车在返回时的平均速度是多少？
答案：(1)120，0.5
(2)CD段，40
(3)汽车在返回时的平均速度是80km/h
分析：（1）根据函数图象所给的信息进行求解即可；
（2）分别求出三段的速度即可得到答案；
（3）根据（2）所求的DE段的速度即可得到答案．
【详解】（1）解：由函数图象可知，甲地与乙地之间的路程是120千米，汽车在行驶途中停留了2−1.5=0.5小时，
故答案为：120，0.5；
（2）解：AB段的速度为80÷1.5=1603km/h，CD段的速度为120−803−2=40km/h，DE段的速度为1204.5−3=80km/h，
∴CD段行驶速度最最慢，此段时间共行驶120−80=40千米，
故答案为：CD段，40；
（3）解：由（2）可知汽车在返回时的平均速度是80km/h，
答：汽车在返回时的平均速度是80km/h．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．
例11.(2023秋·安徽六安·八年级统考期中）王红根据学习一次函数的经验，对函数y=x−1的图象和性质进行了探究．下面是王红的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=x−1的自变量x的取值范围是 ；
(2)已知：①当x=1时，y=x−1=0；②当x>1时，y=x−1=x−1；③当x<1时，y=x−1= ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
(3)由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮王红确定下表中m、n的值，其中m= ；n= ；
(4)在平面直角坐标系中，作出函数y=x−1的图象，并根据图象直接写出使y≤3的x的取值范围；
(5)根据函数的图象，写出函数y=x−1的一条性质．
答案：(1)全体实数；
(2)1−x；
(3)0；3；
(4)图象见解析；−2≤x≤4；
(5)函数关于直线x=1对称（答案不唯一）．
分析：（1）函数y=x−1的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）把x<1代入y=x−1，根据绝对值的意义计算，即可得到答案；
（3）将y=1，x=4分别代入求值，即可确定表中m、n的值；
（4）根据（3）中的表格描点连线得到函数图象，观察图象即可得到相应取值范围；
（5）根据函数的图象，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为全体实数．
故答案为：全体实数；
（2）解：当x<1时，y=x−1=1−x，
故答案为：1−x；
（3）解：当y=1时，x=0或x=2（舍），即m=0；
当x=4时，y=4−1=3，即n=3
故答案为：0；3；
（4）解：根据（3）中的表格描点连线，函数图象如图所示；
观察函数图象可知，y≤3时，x的取值范围为−2≤x≤4，
（5）解：由函数图象可知，函数关于直线x=1对称（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题关键.．
知识点训练
1．(2023·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，已知矩形ABCD中，点E是BC的中点，点P从点B出发，沿B→D→A→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，到达点B后停止．图2是点P运动时，△PEC的面积ycm2随运动时间xs变化的关系图像，则图2中a，b的值为（ ）
A．a=3，b=12B．a=4，b=12
C．a=3，b=14D．a=4，b=14
答案：A
分析：根据面积的分段函数图像，结合速度，求出线段BD、AD的长度，从而求出AB,根据三角形面积公式代入求值即可．
【详解】解：结合点P的运动，根据图2可知，BD=5，AD=9−5=4，
∴BC=AD=4，
∵点E是BC的中点，
∴EC=2，
在矩形ABCD中，∠A=90°，
由勾股定理可知，AB=3，
∴CD=AB=3；
∴b=9+3=12；
当点P运动到点D时，y=12⋅EC⋅CD=12×2×3=3．
即a=3．
故选：A．
【点睛】本题结合动点问题考查了三角形面积、勾股定理以及分段函数；根据分段函数、动点问题求出线段长度是解题的关键．
2．(2023秋·安徽·八年级统考期末）如图，等腰Rt△ABC，AC=BC，∠C=90°，点P由点B开始沿BC边匀速运动到点C，再沿CA边匀速运动到点A为止，设运动时间为t，△ABP的面积为S，则S与t的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：分别求出点P在BC上和点P在AC上的关系式即可得到答案．
【详解】解：假设点P在BC上的运动速度为1，在AC上的运动速度也为1，AC=BC=a，
当点P在BC上的运动时，BP=t，则S△ABP=12BP⋅AC=12at；
当点P在AC上的运动时，AP=a+a−t−a=3a−t，则S△ABP=12AP⋅BC=32a2−12at，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确求出点P在BC上和点P在AC上的关系式是解题的关键．
3．(2023秋·安徽六安·八年级统考期中）小红和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小红开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好需用30min，小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数如图所示，有下列四种说法：
①小东离家的路程y与x之间的函数表达式为y=−300x+4000(0≤x≤403)；
②家与图书馆之间的路程为4000m；
③小红步行的速度为100m/min；
④出发后8.5min，两人相遇；
其中正确的有（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③
答案：D
分析：结合函数图像，根据路程等于速度乘以时间计算即可．
【详解】解：∵小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，
∴小东离家的路程y与x之间的函数表达式为y=−300x+4000(0≤x≤403)，故①正确；
由图像可知，家与图书馆之间的路程为4000m，故②正确；
小红步行30−10=20(min)，所走路程为4000−2000=2000(m)，
∴小红步行的速度为2000÷20=100(m/min)，故③正确；
小红跑步速度为2000÷10=200(m/min)，
∴两人相遇所需时间为4000÷(300+200)=8(min)，故④错误；
∴正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】此题考查了函数图像，解题的关键是读懂函数图像信息．
4．(2023春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动．设点P运动的路程为x，△APD的面积为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：分点P在边AB、BC、CD上三种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出y与x的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：①点P在边AB上时，点P到AD的距离为x，
y=12×4x=2x0≤x≤4，
②点P在边BC上时，点P到AD的距离不变为4，
y=12×4×4=84③点P在边CD上时，点P到AD的距离为4×3−x=12−x，
y=12×4×12−x=24−2x8纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积y与x的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
5．(2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图（1），在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图（2）所示，则边BC的长是（ ）
A． 20B． 23C． 24D．6
答案：C
分析：由图象可知，AB=3，AC=5，当BP⊥AC时，AP=1，从而可得到PC、BP的长度，再根据勾股定理计算出BC的长即可．
【详解】解：由图象可知：AB=3，AC=5，
如图：
当x=1时，BP⊥AC，此时AP=1，
在Rt△ABP中，BP=AB2−AP2=32−1=8，
∵ PC=AC−AP=5−1=4，
∴在Rt △BPC中，BC=BP2+PC2=82+42=24，
故选：C．
【点睛】本题以动点的函数图象为背景，考查了数形结合思想，解答时，注意利用勾股定理计算相关数据．
6．(2023秋·山东济南·八年级济南育英中学校考期末）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离学校10km的文博中心参加学习，图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程（千米）随时间（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲平均速度为15千米/小时；③乙出发6分钟后追上甲；④甲、乙相遇时，乙走了8千米；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．③④D．①②④
答案：A
分析：先根据甲乙到达终点的时间判断①；再根据总路程÷甲所需时间计算判断②；然后求出乙的速度，再设相遇的时间是x分钟，根据路程相等列出方程，求出解即可判断③；结合③，根据速度×时间求出路程即可判断④．
【详解】解：由图可得，乙比甲提前：40−28=12（分钟）到达，故①正确；
甲的平均速度为：10÷4060=15（千米/小时），故②正确；
乙的速度为：10÷28-1860=60（米/小时）
设甲、乙相遇时，甲走了x分钟，
15×x60=60×x−1860，
解得，x=24，
乙出发24−18=6（分钟）追上甲，故③正确；
则甲、乙相遇时，乙走了60×24-1860=6（千米），故④不正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，一元一次方程的应用，从图像中获取信息是解题的关键．
7．(2023秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（ ）
①该植物开始的高度为6厘米；
②直线AC的函数表达式为y=15x+6；
③第40天，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为16厘米；
⑤该植物的高度随时间的增加而增高．
A．①②③B．②④C．①②③⑤D．①②③④
答案：D
分析：①观察图象即可得到答案；
②设直线AC的解析式为y=kx+bk≠0，然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式，
③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；
④把x=50代入②的结论进行计算即可得解；
⑤根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
【详解】解：观察图象得到：植物开始的高度为6厘米，
故①符合题意；
设直线AC的解析式为y=kx+bk≠0，
∵经过点A0,6，B30,12，
∴30k+b=12b=6，解：k=15b=6，
∴线段AC的函数表达式为y=15x+60≤x≤50，
故②的结论符合题意；
当x=40时，y=15×40+6=14，
即第40天，该植物的高度为14厘米；
故③的说法符合题意；
当x=50时，y=15×50+6=16，
即第50天，该植物的高度为16厘米；
故④的说法符合题意；
∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
故⑤的说法不符合题意；
综上所述，正确的是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
8．(2023秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲车与乙车相遇后休息半小时，再按照原速度继续行驶到达B地，乙车从B地出发直接到达A地，两车到达各自的目的地后即停止．甲、乙两车离B地的距离ykm与行驶时间th的关系如图所示.下列说法正确的有（ ）
①乙车的平均速度为80km/h；
②相遇前甲车离B地的距离ykm与行驶时间th的函数关系式为y=−120t+300；
③两车出发1.5小时后相遇；
④甲车到达B地时，乙车距离A地60km．
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①③
答案：A
分析：根据函数图像可计算①的说法，设相遇前甲车离B地的距离ykm与行驶时间th的函数关系式为y=kt+b，先求出相遇时间，再结合图像求解即可求得函数解析式即可判断②③的说法，根据函数图象和函数解析式即可判断④的说法．
【详解】解：根据题意可得，乙车的速度为300÷3.75=80km/h，故①正确；
设相遇前甲车离B地的距离ykm与行驶时间th的函数关系式为y=kt+b，
∵乙车的平均速度为80km/h，
∴两车相遇时的时间为：120÷80=1.5h，
则可得b=3001.5k+b=120，
解得b=300k=−120，
∴相遇前甲车离B地的距离ykm与行驶时间th的函数关系式为y=−120t+300，
故②③正确；
令y=0得，−120t+300=0，
解得t=2.5，
∵甲车休息了半小时，
∴甲车到达B地时，经过的时间为：2.5+0.5=3h，
∴乙车行驶了3×80=240km，
∴乙车距离A地为300−240=60km，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
9．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）周日，小明从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，小明立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的1.5倍，在整个过程中，小明离家的距离sm与他所用的时间tmin之间的关系如图所示，则小明在图书馆查阅资料的时间为______ min．
答案：35
分析：根据题意和函数图象可得，东东从家步行到图书馆的速度为120015=80mmin，则回家时的速度为1.5×80=120m/min，以此可求出回家所用的时间，再用总的时间减去去图书馆和回家的时间即可选择．
【详解】解：根据图象可知，
东东从家步行到图书馆的速度为：120015=80mmin，
∵回家时的速度是去时速度的1.5倍，
∴回家时的速度为：1.5×80=120m/min，
则回家所用的时间为：1200120=10min，
∴东东在图书馆查阅资料的时间为：60−15+10=35min，
故答案为：35．
【点睛】本题考查函数图象，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．(2023秋·河南郑州·八年级校考期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离ykm与它们的行驶时间xh之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a=340；④慢车先到达目的地．
其中正确的是______．
答案：②③④
分析：根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为180km/h，相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，据此可得慢车的速度为80km/h，进而得出快车的速度为100km/h，根据“路程和=速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．
【详解】解：由函数图象的倾斜程度可得：
相遇后慢车停留了2.5−2=0.5h，快车停留了3.6−2=1.6h，
故①不符合题意；
根据题意可知，两车的速度和为：360÷2=180kmℎ，
慢车的速度为：88÷3.6−2.5=80kmℎ，
则快车的速度为100km/ℎ， 所以快车速度比慢车速度多20km/ℎ；故②符合题意；
∵88+5−3.6×180=340km，
所以图中a=340，故③结论符合题意；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6=5.2（小时），
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5=5（小时）， 因为5.2>5，
所以慢车先到达目的地，故④结论符合题意．
所以正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．
11．(2023秋·河南郑州·九年级郑州中学校考期末）问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y=6x−3的图象是怎样的呢？
【探索】
(1)该函数的自变量的取值范围为______；
(2)描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值；
②描点：根据表中各组对应值x,y，在平面直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】
观察你所画的图象，解答下列问题：
(3)若点Aa,c，Bb,c为该函数图象上不同的两点，则a+b=______；
(4)直接写出当6x−3≥−2时，x的取值范围为______．
答案：(1)x≠±3
(2)见解析
(3)0
(4)x<−3或x=0或x>3
分析：（1）由分母不为0可求得自变量的取值范围；
（2）根据图中描出的点，用平滑的曲线顺次连接即可；
（3）由图可得，函数y=6x−3的图象关于y轴对称，再由A、B点的纵坐标可得A、B两点关于y轴对称，即可求得结果；
（4）观察图象，找到函数图象在直线y=−2上方时，x的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵ x−3≠0，
∴ x≠±3，
故答案为：x≠±3；
（2）解：作图如图所示；
（3）解：由图可得，函数y=6x−3的图象关于y轴对称，
∵点Aa,c，Bb,c ，
∴A、B两点关于y轴对称，
∴ a+b=0，
故答案为：0；
（4）解：由图可得，x的取值范围为：x<−3或x=0或x>3，
故答案为：x<−3或x=0或x>3．
【点睛】本题考查了新函数的图象和性质的研究，属于创新探究题型，正确作出图象，会观察图象的特征是解决本题的关键．
12．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与A地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题：
(1)两人谁先到达B地？________．（填“甲”或“乙”）
(2)甲到达B地用了________小时．
(3)两人在出发多少小时后相遇？
答案：(1)甲
(2)95
(3)43
分析：（1）直接观察图象，即可求解；
（2）求出甲的速度，即可求解；
（3）设两人在出发t小时后相遇，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：观察图象得：甲先到达B地；
故答案为：甲
（2）解：根据题意得：甲的速度为251=25千米/小时，
∴甲到达B地用了4525=95小时；
故答案为：95
（3）解：设两人在出发t小时后相遇，根据题意得：
25t=20+30−201t，
解得：t=43，
即两人在出发43小时后相遇．
【点睛】本题主要考查了函数图象，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
13．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
答案：(1)乙
(2)甲的表达式为：y=250x
(3)甲乙在12分钟时相遇
(4)5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米
分析：（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点；
（2）甲的函数图象是正比例函数，直线经过点20,5000，可求出解析式；
（3）当10（4）根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：由函数图象可以：甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点，
故答案为：乙；
（2）解：设甲跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为：y=kx，经过点20,5000，
∴5000=20k，解得：k=250，
∴甲的函数解析式为：y=250x；
（3）解：设甲乙相遇后（即1010k+b=200016k+b=5000，解得k=500b=−3000，
∴乙的函数解析式为：y=500x−3000，
再联立方程：y=500x−3000y=250x，解得x=12y=3000，
∴甲乙在12分钟时相遇；
（4）解：设此时起跑了x分钟，
根据题意得，250x−200010x=250或250x=3000−250或5000−250x=250或500x−3000−250x=250，
解得：x=5或x=11或x=19或x=13，
∴5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求得甲乙两人的路程与时间的函数关系式是解题的关键．
14．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）请根据函数相关知识，对函数y=2x−3−1的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
(1)表格中：m=______，n=______．
(2)在直角坐标系中画出该函数图象．
(3)观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是______；
②观察函数y=2x−3−1的图象，写出该图象的一条性质；
③进一步探究函数图象发现：
函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程2x−3−1=0有______个解．
答案：(1)3，5
(2)见解析
(3)①−1；②当x≥3时，y随x的增大而增大，当x≤3时，y随x的增大而减小；③2，2
分析：（1）分别将x=1，x=6代入解析式，即可求得m、n的值；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）①通过观察函数图象直接可求解；②通过观察函数的图象写出符合函数图像的性质即可；③通过观察函数图象直接求解即可．
【详解】（1）解：当x=1时，y=2×1−3−1=3，
当x=6时，y=2×6−3−1=5，
∴m=3，n=5，
故答案为：3，5；
（2）解：画出图如图所示：
（3）解：①当x=3时，y有最小值为：−1，
故答案为：−1；
②当x≥3时，y随x的增大而增大，当x≤3时，y随x的增大而减小；
③函数图象与x轴有2个交点，方程2x−3−1=0有两个解，分别是x=72或x=52，
故答案为：2，2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，会用描点法画出函数图象，数形结合是解题的关键．
信件质量xy
020406080邮资y/元
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
用电量x（千瓦时）
1
2
3
4
…
应交电费y（元）
0.55
1.1
1.65
2.2
…
温度/℃
-20
-10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
用水量(立方米)
收费(元)
不超过10立方米
每立方米2.5元
超过10立方米
超过的部分每立方米3.5元
x
…
−2
m
1
2
4
…
y
…
3
1
0
1
n
…
x
…
−7
−6
−5
−4
−2
−1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
32
2
3
6
−6
−3
−2
−3
−6
6
3
2
32
…
x
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
5
m
1
−1
1
3
n
7
…