北京市延庆区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

这是一份北京市延庆区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了07，若，，则，在中，若，，，则，已知等内容，欢迎下载使用。

2024.07
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.（ ）
A.B.C.D.1
2.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ）
A.B.C.D.
3.若，，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（ ）
A.4B.C.D.3
5.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知，是两条不重合直线，，，是不重合平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
7.在中，若，，，则（ ）
A.3B.C.4D.5
8.已知（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.B.C.D.
9.在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（ ）
A.B.C.D.
10.设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数是函数
B.函数是函数
C.若函数是函数，则
D.若函数是函数，则
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在中，，，，则边__________.
12.已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为__________.
13.在中，，，请从①，②，③中选择一个，使存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号___________.
14.已知长方形中，，点为上的动点，则__________；的取值范围是___________.
15.如图：在正方体中，棱长为1，为中点，与平面交于点，点是棱上一点，在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是________.
①为的中点；
②点可以是的中点；
③当是的中点时，点面；
④线段的最大值为.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若，求函数的最大值和最小值及相应的值.
17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求证：平面平面.
18.（本小题13分）已知中，，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）求的面积.
19.（本小题15分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个，使得面，并证明.
条件①：；
条件②：；
条件③：三棱锥的体积为.
注：如果选择条件不能使面.（Ⅲ）得零分.
20.（本小题15分）在中，，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件使不存在，第（Ⅱ）问得0分.
（Ⅲ）若，求周长的取值范围.
21.（本小题15分）设正整数，集合，对应集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
（Ⅰ）当时，已知集合，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
（Ⅱ）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
（Ⅲ）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
延庆区2023-2024学年第二学期期末考试
高一数学参考答案及评分标准2024.7
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.212.13.②或③14.4，15.①③
三、解答题（共6小题，共85分）
16.解：（Ⅰ）
由
所以函数的单调递减区间是，.
（Ⅱ）因为，，
所以当，即时，函数函数的最大值为2；
所以当，即时，函数的最小值为.
17.（共14分）证明：（Ⅰ）如图，连结，交于点，连结.
因为底面为正方形，所以是中点，为线段上的中点
所以是的中位线
所以，
平面，平面，
因为直线平面.
（Ⅱ）因为底面为正方形，所以
平面，平面，所以
，，平面
所以平面.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面，
因为为线段上的中点，，所以
所以，，平面
所以平面，平面
所以平面平面
18.（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，
可得，
因为，所以；
（Ⅱ）在中，由正弦定理，
可得，解得；
（Ⅲ）由的面积，可得.
（19）（共15分）（Ⅰ）取的中点为，连接，，
为的中点，所以，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
为的中点，所以，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
故平面.
（Ⅱ）因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为平面，所以
（Ⅲ）选②，四边形是平行四边形，且，
因为，所以
在三棱柱中，侧面为正方形，，的中点为，
为的中点，所以，则，
所以，故，所以
因为平面，
因为，，面，故面
选③，因为平面，
所以三棱锥的体积
，
因为，所以，
平面，
因为，，面，故
20.（共15分）解：（Ⅰ）由，得.
在中，由正弦定理得.
因为，，所以.
又，所以.
（Ⅱ）选条件①：，所以
由可得.
由，可得或，
由正弦定理解得或.
当时，的面积为.
当时，的面积为.
选条件③：.
在中，由余弦定理得，即.
整理得.解得或.
当时，的面积为.
当时，的面积为.
（Ⅲ）由正弦定理，可得，
所以周长为
因为，所以，，
所以周长取值范围为.
21.（共15分）解（Ⅰ）设，即，所以是完美子集.
设，可得，
解得：，，（）所以不是完美子集；
（Ⅱ）因为集合不是的完美子集，
所以存在，使得，
即，
由集合的互异性可得：且且，所以且，
所以，可得，，
所以，即，
所以，所以或，
当时，，解得，（）
当时，因为，所以，，不符合题意，所以；
（Ⅲ）一定是的完美子集，
假设存在不全为0的实数、、满足，
不妨设，则，否则与假设矛盾，
由，可得，
所以与
即矛盾，所以假设不成立，
所以，所以，
所以一定是的完美子集.