2023-2024学年北京市十一学校八年级下学期期末数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市十一学校八年级下学期期末数学试题（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果一个正多边形的每一个内角是150∘，那么这个正多边形的边数为( )
A. 16B. 12C. 8D. 6
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=−ax2−c的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.抛物线y=x2−4x+1的顶点坐标是( )
A. 2,3B. −2,3C. −2,−3D. 2,−3
5.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将▵ADE绕点A顺时针旋转90∘到▵ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=6，CG=4，则CE的长为( )
A. 52B. 152C. 8D. 9
6.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=25∘，则∠AOD等于( )
A. 150°B. 140°C. 130°D. 120°
7.如表记录了二次函数y=ax2+bx+2a≠0中两个变量x与y的5组对应值，其中x1根据表中信息，当−52A. 76≤k<2B. 768.如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为 2.将▵ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：

①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为45°；
②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°．
则结论正确的是( )
A. ②B. 均不正确C. ①②D. ①
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若关于x的一元二次方程x2−4x+m−4=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
10.如图，一次函数y=kx+bk≠0与二次函数y=ax2a≠0的图象分别交于点A−2,2，B4,8.则关于x的方程ax2=kx+b的解为 ．
11.若点A0,y1，B12,y2，C3,y3在抛物线y=x−12+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 (用“>”连接)．
12.已知点Pa−2b,−2与点Q−6,2a+b关于原点对称，则3a−b= ．
13.如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧AB上一点，若∠ACB=50∘，则∠P= °.
14.一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为52cm，那么这个圆锥的侧面积为 cm2．
15.我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB=2，AD=1，中心为O，在矩形外有一点P，OP=32，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A 2,0为圆心，1为半径画圆，将⊙A绕点O逆时针旋转α0∘<α<180∘得到⊙A′，使得⊙A′与y轴相切，则α的度数是 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−2x−4=0
(2)3xx−4=5x−4
18.(本小题8分)
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
(1)求m的值和这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象(无需再单独列表)；
(3)当119.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF=DE，连接FE．
(1)求证：▵AEF是等腰直角三角形；
(2)若四边形AECF的面积为36，DE=2，直接写出AE的长．
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C.连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．

(1)求证：OE=12AC；
(2)若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，直接写出PB的长．
21.(本小题8分)
已知▵ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为旋转中心，将线段PC逆时针旋转n∘0
(1)如图1，若PC=AC，画出n=60时的图形，直接写出BQ和AP的数量及位置关系；
(2)当n=120时，若点M为线段BQ的中点，连接PM.直接写出MP和AP的数量关系．
22.(本小题8分)
如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，将▵ABC绕着点B逆时针旋转得到▵FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
(1)若∠BAC=36∘.则∠BAF的度数为 ；
(2)若AC=8,BC=6，求AF的长．
23.(本小题8分)
已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为Px．
我们规定：Px的导出多项式为2ax+b，记为Qx．
例如：若Px=3x2−2x+1，则Px的导出多项式Qx=2⋅3x−2=6x−2．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)若Px=x2−4x，则Qx=______．
(2)若Px=2x2+42x−1，求关于x的方程Qx=3x的解；
(3)已知Px=ax2−3x+2是关于x的二次多项式，Qx为Px的导出多项式，若关于x的方程Qx=−x的解为正整数，求整数a的值．
24.(本小题8分)
已知：如图，AB是圆O的直径，BD⌢=CD⌢，过点A作圆O的切线交DO的延长线于E．
(1)求证：AC/​/ED；
(2)若AC=4，∠E=30∘，直接写出AE的长度．
25.(本小题8分)
小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．

通过测量得到球距离台面高度y(单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x(单位：dm)的相关数据，如下表所示：
表1直发式
表2间发式
根据以上信息，回答问题：
(1)表格中m=______，n=______；
(2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1______d2(填“>”“=”或“<”)．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点4,2在抛物线y=ax2+bx+2a<0上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点Px1,y1，Qx2,y2，且t≤x1①当t=1时，直接写出y1，y2的大小关系；
②若对于x1,x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
27.(本小题8分)
如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
(1)计算∠AEF的度数；
(2)如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG.用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的⊙O，点P，点Q，给出如下定义：线段PA为⊙O的弦，点Q是弦PA上任意一点．若PA=nPQ，则称点Q是点P关于⊙O的n倍关联点．已知，⊙O的半径为2，点P的坐标为2,0．
(1)在点B0,1，C1,1，D12, 32中，是点P关于⊙O的2倍关联点的是______；
(2)E在直线y=− 33x+b上，若E是点P关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围；
(3)⊙O与y轴正半轴交于点F，对于线段PF上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的n倍关联点，直接写出n的最大值和最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.A
9.8
10.x1=−2,x2=4
11.y3>y1>y2
12.8
13.80
14.252π
15.32− 52≤d≤1
16.45∘或135∘
17.(1)解：x2−2x−4=0
方程两边同时加上5，即x2−2x+1=5
即x−12=5，
∴x−1=± 5，
解得：x1=1+ 5，x2=1− 5
(2)解：3xx−4=5x−4
∴x−43x−5=0，
∴x−4=0,3x−5=0，
解得：x1=4，x2=53．

18.(1)解：∵当x=0和x=4时，y=3；
∴抛物线的顶点为2,−1，当x=1和x=3时，函数值都是0，即m=0，
设这个二次函数的表达式为：y=ax−22−1a≠0，
将0,3代入得4a−1=3，
解得a=1，
∴这个二次函数的表达式为y=x−22−1；
(2)解：如图：
(3)解：由函数图象得：当1
19.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90∘，
∴∠ABF=180∘−∠ABC=90∘，
∴∠ABF=∠D，
∵BF=DE，
在▵ABF和▵ADE中，
AB=AD∠ADE=∠ABFDE=BF
∴△ABF≌△ADE(SAS)，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD．
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=90∘，
∴▵AEF是等腰直线三角形；
(2)解：由(1)得△ABF≌△ADE，
∵四边形AECF的面积为36，
∴正方形ABCD的面积为36，
∴ AD=6，
在Rt▵ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴ AE= 62+22=2 10．

20.(1)证明：∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，
∴PB=PC，∠BPO=∠CPO，
∴PO⊥BC，BE=CE，
∵OB=OA，
∴OE是▵ABC的中位线，
∴OE=12AC；
(2)∵OE=12AC，点E是OD的中点，
∴AC=OD=OC=OA，
∴▵AOC为等边三角形，
∴∠OAC=∠BOP=60∘，
∴∠BPO=30∘，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=90∘，
∵⊙O的半径为6，
∴OB=6，
∴OP=2OB=12，
∴PB= 122−62=6 3．

21.(1)解：画图如下：
BQ和AP的数量及位置关系为BQ=AP，BQ//AP，理由如下：
∵▵ABC是等边三角形，
∴AC=BC,∠ACB=60∘，
∴∠ACP=120∘，
由旋转的性质可知，PQ=PC,∠CPQ=60∘，
∴▵CPQ是等边三角形，
∴PC=PQ=CQ，∠PCQ=60∘，
∴∠ACP+∠PCQ=180∘，
∴点A,C,Q在同一条直线上，
又∵AC=PC，
∴BC=AC=PC=CQ，
∴AQ=BP，
∴四边形ABQP是矩形(对角线互相平分且相等的四边形是矩形)，
∴BQ=AP，BQ//AP．
(2)解：如图，取PC的中点D，连接CM，DM，
AP=2MP，理由如下：
∵▵ABC是等边三角形，
∴AC=BC,∠ACB=60∘，
∴∠ACP=120∘，
∵AC=PC，
∴∠CAP=∠APC=30∘，
由旋转的性质可知，PQ=PC,∠CPQ=120∘，
∴AC=PQ=PC=BC，∠ACP=∠CPQ，
∴AC//PQ，
∵点M是BQ的中点，
∴CM//PQ,CM=12PQ，
∴点A,C,M共线，CM=12PC，
∴∠PCM=60∘，
∵点D是PC的中点，
∴CD=PD=12PC，
∴CM=CD，
∴▵CDM是等边三角形，
∴CD=DM,∠CMD=∠CDM=60∘，
∴DM=PD，
∴∠CPM=∠PMD=30∘，
∴∠AMP=90∘，
又∵∠CAP=30∘，
∴在Rt△APM中，AP=2MP．

22.(1)解：∵∠C=90∘，∠BAC=36∘，
∴∠ABC=90∘−36∘=54∘，
∵旋转，
∴AB=BF,∠ABC=∠FBE=54∘，
∴∠BAF=12180∘−∠FBE=63∘；
故答案为：63∘；
(2)∵∠C=90∘，AC=8,BC=6，
∴AB= 82+62=10，
∵旋转，
∴BE=BC=6,EF=AC=8,∠FEB=∠C=90∘，
∴AE=AB−BE=4,∠AEF=90∘，
∴AF= AE2+FE2=4 5．

23.(1)解：由导出多项式的意义得：Qx=2x−4；
故答案为：2x−4；
(2)解：∵Px=2x2+42x−1=2x2+8x−4，
∴Q(x)=2⋅2x+8=4x+8，
∵Qx=3x，
∴4x+8=3x，
解得：x=−8；
(3)解：Px=ax2−3x+2的导出多项式为：Q(x)=2ax−3，
∵Qx=−x，
∴2ax−3=−x，
即(2a+1)x=3，
∴x=32a+1；
由于a是不为零的整数，且x为正整数，
∴2a+1=1或2a+1=3，
即a=0(舍去)或a=1，
故a=1．

24.(1)证明：如图，连接AD；
∵BD⌢=CD⌢，
∴∠BAD=∠CAD；
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC//ED；
(2)解：如图，连接OC，
∵AE为圆的切线，∠E=30∘，
∴∠EAO=90∘,∠EOA=90∘−30∘=60∘；
由(1)知，AC/​/ED，
∴∠CAO=∠EOA=60∘；
∵OA=OC，
∴▵OAC是等边三角形，
∴OA=AC=4，
∴OE=2OA=8，
由勾股定理得AE= OE2−OA2=4 3．

25.(1)解：由表1知，当自变量为0与8时，函数值相等，
而0+82=4，根据抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x=4，
当自变量取2与6时函数值相等，故m=3.96；
由表2知，自变量由0到8时图象是直线，且自变量每增加2个单位长度，函数值减小0.84，则n=0+0.84=0.84；
故答案为：3.96；0.84；
(2)解：由表1及(1)知抛物线的顶点坐标为(4,4)，
设抛物线的解析式为y=a1(x−4)2+4，
由表1知，当x=0时，y=3.84，代入上述解析式得：16a1+4=3.84，
解得：a1=−0.01，
即“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=−0.01(x−4)2+4；
(3)解：令y=−0.01(x−4)2+4=0，解得：x1=24,x2=−16(舍去)
即d1=24；
由表2知，当自变量为12与16时，抛物线的函数值相等，
则抛物线对称轴为直线x=12+162=14，
由表2知，当x=8时，函数值为0，
由抛物线的对称性，当x=2×14−8=20时，函数值为0，
∴d2=20，
则d1>d2，
故答案为：>．

26.(1)解：在抛物线y=ax2+bx+2a<0中，令x=0，则y=2，
即抛物线与y轴的交点(0,2)，
故点(0,2)与点4,2关于抛物线对称轴对称，
而0+42=2，则抛物线对称轴为直线x=2；
(2)解：①当t=1时，1≤x1<3，3∴x1∴x1−2≤1,1即x1−2∵a<0，
∴y1>y2；
②设点P关于直线x=2的对称点为M(x0,y0)，
则x1+x0=4，即x0=4−x1；
∵t≤x1∴2−t而4−t则x0≠x2．
∵y1≠y2，
∴x0≠x2,x1≠x2，
故当t+2<4−t或6−t≤t时，x1≠x2，
解得：t<1或t≥3．

27.(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠DAB=90∘，
∴∠D=∠ABF=90∘，∠DAE+∠BAE=90∘，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90∘，
∴∠BAE+∠BAF=90∘，
∴∠DAE=∠BAF，
∴▵ADE≌▵ABFASA，
∴AF=AE，
∴▵AEF是等腰直角三角形
∴∠AEF=45∘；
(2)CF= 2DG．
理由：如图2，取CE的中点M，连接GM，GC，
∵▵AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，
∴G是EF的中点，
∴AG=12EF，
同理，在Rt▵EFC中，CG=GE=GF=12EF，
∴AG=CG，
∵AD=CD，DG=DG，
∴▵ADG≌▵CDGSSS，
∴∠ADG=∠CDG，
∵∠ADG+∠CDG=90∘，
∴∠ADG=∠ADC=45∘；
∵GE=GF,EM=CM，
∴GM为▵FEC的中位线，
∴GM//CF，GM=12CF，
∴∠DMG=∠DCB=90∘，
在Rt▵DGM中，∠GDM=∠DGM=45∘，
∴▵DMG为等腰三角形，
∴DM=GM，
∴DM2+GM2=DG2=2GM2，
∴DG= 2GM，
∵GM=12CF，
∴DG= 22CF，
∴CF= 2DG．

28.(1)解：设点Q是点P关于⊙O的2倍关联点，
∴PA=2PQ，
如图，连接OA，OQ，
∵PA=2PQ，
∴AQ=PQ，
又∵OA=OP，
∴OQ⊥PQ，
则点Q在以OP为直径的圆上，则圆心为O′1,0，
即：点P关于⊙O的2倍关联点，在以O′1,0为圆心，1为半径的圆上，
∵B0,1，C1,1，D12, 32，
∴BO′= 12+12= 2>1，CO′=1，DO′= 1−122+0− 322=1，
∴C1,1，D12, 32在⊙O′上，
∴C1,1，D12, 32是点P关于⊙O的2倍关联点，
故答案为：C1,1，D12, 32；
(2)当b>0时，设y=− 33x+b与x轴，y轴分别交于点G，H，
令y=0，则x= 3b，即：G 3b,0令x=0，则y=b，即：H0,b，
∴OH=b，OG= 3b，则HG= OH2+OG2=2b，
取HG中点N，则HN=ON=12HG=b=OH，
∴▵OHN为等边三角形，
∴∠OHG=60∘，则∠OGH=30∘，
过点O′作O′M⊥HG，则O′M=12O′G=12 3b−1，
即：点O′到直线y=− 33x+b的距离为12 3b−1，
∵由(1)可知，点P关于⊙O的2倍关联点E，在以O′1,0为圆心，1为半径的圆上，
又∵E在直线y=− 33x+b上，
∴12 3b−1≤1，解得：0当b≤0时，同理可得：点O′到直线y=− 33x+b的距离为12− 3b+1，
∴12− 3b+1≤1，解得：− 33≤b≤0，
综上，点E是点P关于⊙O的2倍关联点时，− 33≤b≤ 3；
(3)解：由定义可得，点M是点N关于⊙O的n倍关联点，
设NG是⊙O弦，
∴NG=nMN
∴n=NGMN
如图所示，NG为直径且垂直于PF，NK为非直径的弦，
过点K作KL⊥NG于点L，
∴NKNJ=NLMN≤NGMN
∴NGMN最大，即n最大，
∵OP=OF=2，ON⊥FP
∴FP= 2OP=2 2，则OM= 2
∴MN=ON−OM=2− 2
∴n的最大值为42− 2=2 2+4
如图所示，N在优弧FNP⌢上时，
∴NGMN≥NPNP=1
∴n的最小值为1．
x
…
−5
x1
x2
1
3
…
y
…
m
0
2
0
m
…
x
……
−1
0
1
2
3
4
……
y
……
8
3
m
−1
0
3
……
x(dm)
0
2
4
6
8
10
16
20
…
y(dm)
3.84
3.96
4
m
3.84
3.64
2.56
1.44
…
x(dm)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
…
y(dm)
3.36
2.52
1.68
n
0
2.00
3.20
3.60
3.20
…