2023-2024学年江苏省常州市教育学会高二下学期6月学业水平监测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市教育学会高二下学期6月学业水平监测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M=xx2−2x−3<0，N=x−2≤x≤ln5，则M∩N=( )
A. ln5,3B. −1,ln5C. −2,1D. −2,3
2.已知曲线y=x2−axa∈R在x=2处的切线斜率为2，则a=( )
A. −18B. 18C. −8D. 8
3.对于实数a,b,c，“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是( )
A. 310B. 25C. 35D. 23
5.某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X近似服从正态分布N165,σ2，且PX≥180=0.1，则在10000位高一新生中身高在区间150,180内的人数约为( )
A. 2000B. 4000C. 6000D. 8000
6.已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x2+2yxy的最小值为( )
A. 172B. 2 2+1C. 4D. 2 2+4
7.已知函数fx=tanωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图，则f5π18=( )
A. − 33B. − 3C. 3D. 2+ 3
8.已知函数fx及其导数f′x的定义域均为R，对任意实数x，fx=f−x−2x，且当x≥0时，f′x+x+1>0.不等式f2x−2−fx<−3x22+3x的解集为( )
A. −∞,2B. 23,2
C. 23,+∞D. −∞,23∪2,+∞
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，则( )
A. sgnx是周期函数
B. 对任意的x∈R，x=−xsgn−x
C. 函数y=2xsgnx的值域为−1,0∪1,+∞
D. 函数y=x2sgn−lnx的值域为yy<−1或0≤y<1
10.现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件Ai：该球出自编号为ii=1,2,3的袋子，则( )
A. PMA1=310B. PM=1920C. PA2M=23D. PMA3=18
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1B1的中点，点Q在正方形CC1D1D内部及其边界上运动，则下列说法正确的有( )
A. 当PQ= 5时，点Q的轨迹长度为π
B. 若PQ//平面A1BD，则PQ长度的最小值为2
C. 当PQ= 5时，二面角Q−AB−P的余弦值的最小值是2 55
D. 记直线PQ与平面AA1B1B所成角为θ，则sinθ的取值范围是23,1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=ex+1，gx=x3，若存在实数a，b，使得fa=gb，请写出b−a的一个可能值： ．
13.如图，在半径为8的半圆形纸片中，O为圆心，AB为直径，C是弧AB的中点，D是弧AC的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA与CD所成角的余弦值是 ．
14.定义mina,b,c表示a,b,c中最小的 数，已知实数a,b,c满足a+b+ c=0，ab c=−2，则mina,b,c的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a∈R，命题p：∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题.实数a的取值集合记为A．
(1)求集合A；
(2)设fx=lnx−m−1m−1−x的定义域为集合B，若B⊆A，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，直线PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB//CD，CD⊥PA，F为线段PA上异于端点的一点，PD=AB=AD=12CD=1，四边形PDCE是平行四边形．
(1)若F是PA的中点，求证：AC//平面DEF；
(2)求二面角F−PB−C的大小．
17.(本小题12分)
在①fx在区间2π3,7π6上单调递增，②f−π12=0，③f0=fπ3这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数fx=sin2x+φφ<π2，___________．
(1)当x∈π4,π2时，不等式fx−m≤1恒成立，求实数m的取值范围；
(2)将函数fx的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍(纵坐标不变)，得到函数gx的图象，求gx的单调增区间．
18.(本小题12分)
某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题．
(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；
(2)求聊天机器人答对题数X的数学期望；
(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ex+lnx+1−ax，a∈R．
(1)若fx在区间−1,+∞上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当a=3时，判断关于x的方程fx=1实数根的个数，并证明．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.D
6.D
7.B
8.B
9.BD
10.ACD
11.AD
12.2(答案不唯一)
13. 24
14.−2
15.解：(1)
因为命题p：∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题，
所以Δ=22−4a<0，解得a>1，所以A=a|a>1；
(2)
对于函数fx=lnx−m−1m−1−x，则x−m−1m−1−x>0，
即x−m+1x−m−1<0，因为m+1>m−1，
解得m−1所以B=x|m−1所以m−1≥1，解得m≥2，即实数m的取值范围为2,+∞．

16.解：(1)
连接PC，设其与DE交于M，由四边形PDCE是平行四边形，则M为PC中点，
连接FM，又F是PA的中点，则FM//AC，
由AC⊄平面DEF，FM⊂平面DEF，故AC//平面DEF；
(2)
由PD⊥平面ABCD，AD,CD⊂平面ABCD，则PD⊥CD，PD⊥AD，
有CD⊥PA，PA∩PD=P，PA,PD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD，
又AD⊂平面PAD，故CD⊥AD，故PD、DA、DC两两垂直，
故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有D0,0,0、P0,0,1、A1,0,0、B1,1,0、C0,2,0，
则PA=1,0,−1、PB=1,1,−1、PC=0,2,−1，
令平面FPB与平面PBC的法向量分别为m=(x1,y1,z1)、n=(x2,y2,z2)，
则有m⋅PA=x1−z1=0m⋅PB=x1+y1−z1=0,m⋅PB=x2+y2−z2=0m⋅PC=2y2−z2=0,
令x1=x2=1，则有y1=0，z1=1，y2=1，z1=2，
即m=1,0,1，n=(1,1,2)，
则cs m,n=m⋅n|m|⋅|n|=1+2 1+1⋅ 1+1+4= 32，
由图可知，二面角F−PB−C为钝角，故二面角F−PB−C的余弦值为− 32，
则二面角F−PB−C的大小为5π6．

17.解：(1)
选条件①fx在区间2π3,7π6上单调递增，
又fx=sin2x+φφ<π2，得−π2<φ<π2⇒2x+φ∈4π3+φ,7π3+φ，
所以满足条件2kπ−π2≤4π3+φ7π3+φ≤2kπ+π2,k∈Z，得2kπ−11π6≤φ≤2kπ−11π6,k∈Z，
又−π2<φ<π2，所以取k=1，所以φ=π6；
选条件②f−π12=0，得f−π12=sin−π6+φ=0，
又−π2<φ<π2，所以−2π3<φ−π6<π3，得φ−π6=0，所以φ=π6
选条件③f0=fπ3，知x=π6是fx=sin2x+φφ<π2的一条对称轴，
所以π3+φ=π2+kπ,k∈Z，则φ=π6+kπ,k∈Z
又−π2<φ<π2，所以φ=π6，
所以fx=sin2x+π6，
当x∈π4,π2时，2x+π6∈2π3,7π6，所以−12≤fx≤ 32，
由fx−m≤1恒成立，得fx−1≤m≤fx+1，
当x∈π4,π2时，fx−1的最大值为 32−1，fx+1的最小值为12，
则 32−1≤m≤12
所以实数m的取值范围 32−1,12
(2)
由(1)知fx=sin2x+π6，
将函数fx的图象向右平移π6个单位后，得y=sin2x−π6，
再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得y=sin4x−π6，
由2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ2−π12≤x≤kπ2+π6,k∈Z，
gx的单调增区间是kπ2−π12,kπ2+π6,k∈Z

18.解：(1)
小王能全部答对的概率为C95C105=12；
(2)
设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则PA=0.1，
聊天机器人作答正确为事件C，
则PC=PAC+PAC=PA⋅PCA+PA⋅PCA
=0.1×0.3+0.9×0.8=0.75，
故聊天机器人答对题数X∼B5,0.75，
数学期望EX=5×0.75=3.75；
(3)
由题意可得小王最少答对4道题，
小王能答对5道题的概率为C95C105=12，答对4道题的概率为C94C11C105=12，
由(2)知，聊天机器人答对题数X∼B5,0.75，
故机器人能答对5道题的概率为C55345=2431024，
机器人能答对4道题的概率为C54344×14=4051024，
故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，
故机器人获胜的概率为12×2431024=2432048，
小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，
其中都答对5道题的概率为12×2431024=2432048，
都答对4道题的概率为12×4051024=4052048，
所以小王获胜的概率为1−2432048−2432048−4052048=11572048．

19.解：(1)
f′x=ex+1x+1−a，则有f′x=ex+1x+1−a≥0在−1,+∞上恒成立，
即a≤ex+1x+1在−1,+∞上恒成立，
令gx=ex+1x+1，则g′x=ex−1x+12，
令ℎx=g′x=ex−1x+12，则ℎ′x=ex+2x+13，
则当x∈−1,+∞时，ℎ′x=ex+2x+13>0恒成立，
故g′x在−1,+∞上单调递增，
又g′0=e0−10+12=0，
故当x∈−1,0时，g′0<0，当x∈0,+∞时，g′0>0，
故gx在−1,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
即有gx≥g0=e0+10+1=2，故a≤2；
(2)
当a=3时，关于x的方程fx=1有三个不同的实数根，证明如下：
当a=3时，令fx=1，即ex+lnx+1−3x=1，
令μx=ex+lnx+1−3x−1，则μ′x=ex+1x+1−3，
由(1)知gx=ex+1x+1在−1,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
故μ′x=ex+1x+1−3在−1,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
又μ′0=e0+10+1−3=−1<0，μ′1=e1+11+1−3=e−52>0，
μ′−23=e−23+1−23+1−3=e−23>0，
故存在x1∈−23,0，x2∈0,1，使μ′x1=μ′x2=0，
由μ0=e0+ln0+1−3×0−1=0，故x=0是方程fx=1的一个根，
则μx1>0，μx2<0，又x→−1时，μx→−∞，
μ3=e3+ln3+1−3×3−1=e3+ln4−10>e3−9>0
故存在m∈−1,x1，使μm=0，即x=m是方程fx=1的一个根，
存在n∈x2,3，使μn=0，即x=n是方程fx=1的一个根，
综上所述，当a=3时，关于x的方程fx=1有三个不同的实数根．