【备战2025年高考】 高中物理一轮复习万有引力与航天专题 第5章 阶段复习(二)　力与曲线运动（教师版+学生版）

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规范训练 (2023·浙江绍兴市一模)过山车这一游乐项目，深受游客喜爱，而如图甲所示的断轨过山车，令大多数游客望而却步。为了探究断轨过山车的工作原理，小明同学设计了如图乙所示的简化装置，该装置由竖直光滑圆弧轨道AB、水平粗糙直轨道BC和半径为R＝2.0 m的竖直断轨光滑圆弧轨道CDEF平滑连接而成，圆弧轨道的圆心为O，断轨处的D点和E点高度相等，OD连线与竖直方向的夹角为θ，质量m＝1.0 kg的滑块从离地一定高度处由静止释放。已知直轨道BC的长度L＝4.0 m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。
(1)若滑块释放的高度h1＝4.0 m，求滑块经过圆弧轨道的C点时对轨道的压力；
(2)若夹角θ1＝37°，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，求滑块释放的高度h2；
(3)若0≤θ<90°，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，请写出滑块由D到E过程中离地面最高点的高度H与夹角θ的函数关系，并讨论H的极值。
解题指导
答案 (1)30 N，方向向下 (2)6.85 m
(3)H＝R＋eq \f(1,2)R(cs θ＋eq \f(1,cs θ)) 4 m
解析 (1)设滑块经过C点的速度为vC，由动能定理可得mgh1－μmgL＝eq \f(1,2)mvC2
设滑块在C点所受的支持力为FN，
由牛顿第二定律得FN－mg＝meq \f(vC2,R)
代入数据得FN＝30 N
由牛顿第三定律可知，滑块经过C点时对轨道压力大小为30 N，方向向下。
(2)滑块从D到E做斜抛运动，设滑块在D点速度为vD，从D至最高点时间为t，
则有水平方向(vDcs θ1)t＝Rsin θ1
竖直方向vDsin θ1＝gt
联立解得vD＝eq \r(\f(gR,cs θ1))＝5.0 m/s
滑块自释放运动到D点的过程中，由动能定理可得mgh2－μmgL－mgR(1＋cs θ1)＝eq \f(1,2)mvD2－0
代入数据得h2＝6.85 m。
(3)设滑块离开D点后上升的最大高度为h′，离地最大高度为H，则h′＝eq \f(vDsin θ2,2g)，
又因为vD＝eq \r(\f(gR,cs θ))，解得h′＝eq \f(Rsin2 θ,2cs θ)
因为H＝R(1＋cs θ)＋h′，则滑块在DE间运动时离地面高度H与夹角θ的函数关系式
H＝R＋eq \f(1,2)R(cs θ＋eq \f(1,cs θ))，
当θ＝0时，H有最小值，即Hmin＝2R＝4 m。
阶段复习练(二)
1．(2023·全国甲卷·14)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
2．甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度大小v1与乒乓球击打乙的球拍的速度大小v2的比值为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
3.(2024·浙江温州市检测)如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动，恰好落回出发点。忽略空气阻力， 则排球( )
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
4．(2024·四川成都市第七中学期中)2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站内，为广大青少年带来了一场别出心裁的太空科普课。已知地球的半径为R，空间站距离地球表面的高度为h，不考虑地球的自转，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．空间站的周期T＝eq \r(\f(4π2R＋h3,gR2))
B．空间站的加速度比同步卫星的加速度小
C．空间站运行的线速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
D．根据题中信息可以求出空间站的质量
5．(多选)(2024·湖南省联考)2023年7月 10 日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18 天文单位(日地距离为1天文单位)，远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。下列说法正确的是( )
A．“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要2.15年
B．“樊锦诗星”在远日点的速度小于地球的公转速度
C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为eq \f(1,4.86)
D．“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为eq \f(1.5,4.86)
6.(2024·辽宁大连市金州高级中学期中)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，小球A、B在空中运动的时间之比为( )
A．2tan2θ∶1 B．tan2θ∶1
C．1∶2tan2θ D．1∶tan2θ
7.(多选)如图，两端开口的圆筒与水平地面成一定角度倾斜放置。OO′是圆筒的中轴线，M、N是筒壁上的两个点，且MN∥OO′。一个可视为质点的小球自M点正上方足够高处自由释放，由M点无碰撞进入圆筒后一直沿筒壁运动，a、b、c是小球运动轨迹依次与MN的交点。小球从M到a用时t1，从a到b用时t2，从b到c用时t3，小球经过a、b、c时对筒壁压力大小分别为Fa、Fb、Fc，lMa、lab、lbc表示M、a、b、c相邻两点间的距离，不计一切摩擦和空气阻力。下列说法正确的是( )
A．t1＝t2＝t3 B．Fa＝Fb＝Fc
C．Fa8．(2024·天津市期中)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．A、B球受到的支持力之比为eq \r(3)∶3
B．A、B球的向心力之比为eq \r(3)∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为1∶2
9.(2024·山西吕梁市一模)如图所示，半径为R，圆心为O1的光滑圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，AB是竖直直径，BC段圆弧所对应的圆心角为θ＝37°。一根长为R，不可伸长的细线一端固定在O2点，另一端悬挂质量为m的小球，O2点与O1点等高。小球在最低点E时给小球一个向左的初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到最高点D时细线被割断，但速度保持不变，小球刚好从C点无碰撞地进入圆弧轨道，不计小球的大小和空气阻力，重力加速度的大小为g，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
(1)小球从C点进入圆弧轨道时的速度大小；
(2)O1、O2两点间的距离；
(3)小球运动到D点细线刚好要割断时，细线的拉力大小。
10.(2024·山东德州市第一中学月考)滑雪运动越来越受到青少年们的青睐，滑雪大跳台场地简化后的滑道示意图如图甲所示，A为最高点，B为起跳点。在某次训练中，运动员从A由静止开始下滑，到达B时速率为20eq \r(3) m/s，并沿与水平面夹角成α＝15°的方向飞出，落在倾角θ＝30°的坡道上的C点，不计一切阻力和摩擦，重力加速度大小取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员由B到C的速度变化量Δv；
(2)运动员离坡面的最大距离；
(3)B、C两点间的距离；
(4)运动员落在C点时的速度方向与斜面间夹角的正切值。
关键表述
关键表述解读
求滑块经过圆弧轨道的C点时对轨道的压力
由FN－mg＝meq \f(vC2,R)知，需要先求出滑块过C点的速度
若夹角θ1＝37°，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道
在D点飞出，在E点切入轨道，从D到E为斜抛运动，利用斜抛规律可求出滑块过D点速度，从而求出滑块释放的高度h2
若0≤θ<90°，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道
θ改变，vD也改变，滑块在D点的速度vD与θ满足一一对应关系
写出滑块由D到E过程中离地面最高点的高度H与夹角θ的函数关系
滑块在D点的速度vD与θ满足一一对应关系，函数关系中仅有变量θ，再利用数学知识求极值