江苏省南京市某校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份江苏省南京市某校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案写在括号中．每小题5分，共8小题，共计40分．）
1．下列说法正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若，则D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，角，，所对的边分别为a，b，c若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，本题共3小题，每小题6分，共18分．）
9．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，，则
10．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，，且与夹角为锐角，则
B．中，若，，且有两解，则的取值范围为
C．若，且，则外接圆半径
D．中，若，则
11．已知正方体的棱长为3，在棱上，，，为的中点，则（ ）
A．当时，到平面的距离为
B．当时，
C．三棱锥的体积不为定值
D．与平面所成角的正弦值的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知，，求的值是______．
13．在平面四边形中，，，，，，以直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的体积为______．
14．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______．
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．（本题小题13分）如图，在正方体中，，分别是，的中点，．
（1）若中点为，求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
16．（本题小题15分）已知向量，．
（1）若，且，求的值；
（2）设函数，若，求的值．
17．（本题小题15分）如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设．
（1）用，表示，；
（2）求的余弦值．
18．（本题小题17分）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值．
19．（本题小题17分）在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
2023-2024学年第二学期高一年级阶段性考试数学试卷
满分150分 考试时间：120分钟
1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】D
6．【答案】A 7．【答案】D
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，
由正弦定理得，即，
所以，
所以，即，
所以或（舍去），
则，
因为三角形为锐角三角形，所以，
又，解得，所以．
因为，
所以的取值范围为．
故答案为：，故选：D．
9．【答案】BD 10．【答案】BCD
11．【答案】ABD
【详解】当时与重合，则为正三棱锥，，
设在平面内的投影为，则为的中心，
则，
所以，即当时，点到平面的距离为，故正确；
当时，由正方体的性质可得，平面，可得，B正确
当运动时，到平面的距离保持不变为3，
又，
所以，
所以三棱锥的体积为定值，故错误；
由可知，三棱锥的体积为定值，设点到平面的距离为，与平面所成角为，所以，
显然当时，的面积最大为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
当时，的面积最小为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
所以与平面所成角正弦值的取值范围是，故正确．故选：ABD．
12【答案】 13．【答案】 14．【答案】
15．【答案】（1）证明见解析
（3）
【详解】（1）∵为的中点，是的中点，∴，
又平面，平面，∴平面，
∵是的中点，为的中点，∴，
∵，，
∵平面，，平面，∴平面，
∵，平面，，∴平面平面
（2）根据题意可得，
∴，
，
设点到面的距离为，
根据等体积法可得，
∴，解得，
∴点到平面的距离为
16．【详解】解（1）由，可得
因为，所以，
所以，所以-6分
（2）
，∴，
所以
17．【详解】（1），，
（2）根据题意，由（1）可得，，
在平行四边形中，，
即为等边三角形，所以，
则，即
则
，
因为
，
，
所以
18．【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面，平面，
得平面，（少一个条件减2分，少2个及以上不得分）
又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，所以平面．
（2）如图，
在正三角形内，过点作，垂足为，∴，
∵，侧面底面，面面，面，
∴底面，底面，则，
过作，垂足为，连接，，
，平面，则平面，而平面，∴，
则即为二面角的平面角，即
∴，
∴
在中，，∴，
由，，得四边形为平行四边形，∴，
由，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为．（不说明所成角的扣1分）
19．【详解】（1）因为，，，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
（2）延长交于，延长交于，
根据题意可得，．
因为，所以，
设，且，
则，，
同理可得，
则
，
因为，所以，
又，
，
所以，
所以的取值范围是．