2023-2024学年初中下学期八年级数学期末模拟卷2-（全解全析）

这是一份2023-2024学年初中下学期八年级数学期末模拟卷2-（全解全析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”如图所示的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解】：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．0.5 B．116C．2a D．a2+2ab+b2
【分析】根据最简二次根式中被开方数不含分母；根据被开方数中不含开得尽方的因数；根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【解】：A、0.5=22被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；
B、116=14被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；
C、2a是最简二次根式，故选项符合题意；
D、a2+2ab+b2=(a+b)2=|a+b|被开方数中含开得尽方的因式，故选项不符合题意；
故选：C．
3．方程 x2﹣2x﹣6＝0 经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7B．（x+2）2＝7C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝6
【分析】将已知方程配方即可得到答案．
【解】：∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴x2﹣2x+1＝7，
∴（x﹣1）2＝7，
故选：A．
4．为庆祝2023年5月30日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如下表：
根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可．
【解】：由表格数据知，甲、丙成绩的平均数大于乙、丁，
所以甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
又甲成绩的方差小于丙，
∴甲成绩好且状态稳定．故选：A．
5．如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解】：由题意得（n﹣2）•180°×12=360°，
解得n＝6．
故选：A．
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，点E、点F分别是OC、AB的中点，连接BE、FE，若∠ABE＝42°，则∠AEF的度数为（ ）
A．42°B．45°C．46°D．48°
【分析】根据平行四边形的性质推出OB＝BC，根据等腰三角形的性质求出BE⊥OC，根据直角三角形的性质求出∠BAE＝48°，AF＝EF，根据等腰三角形的性质即可得解．
【解】：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD=12BD，AD＝BC，
∵BD＝2AD，
∴OB＝BC，
∵点E是OC的中点，
∴BE⊥OC，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∵∠ABE＝42°，
∴∠BAE＝48°，
∵点F是AB的中点，BE⊥OC，
∴AF=12AB，EF=12AB，
∴AF＝EF，
∴∠AEF＝∠BAE＝48°，
故选：D．
7．已知点A（x1，﹣4），B（x2，8），C（x3，5）都在反比例函数y=−a2+1x的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x3＜x2＜x1D．x2＜x3＜x1
【分析】根据反比例函数的性质得出在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限，根据点的坐标得出点A在第四象限，点B和点C在第二象限，再比较大小即可．
【解】：∵反比例函数y=−a2+1x的k＝﹣（a2+1）＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限，
∵点A（x1，﹣4），B（x2，8），C（x3，5）都在反比例函数y=−a2+1x的图象上，
∴点A在第四象限，点B和点C在第二象限，
∴x3＜x2＜x1，
故选：C．
8．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（ ）
A．100寸B．101寸C．102寸D．103寸
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解】：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝10寸，OE=12CD＝1寸，AE＝（r﹣1）寸．
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得2r＝101．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：B．
9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a+c）＝0有两个相等的实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．1可能是方程ax2+bx+c＝0的根B．0一定不是方程ax2+bx+c＝0的根
C．﹣1不可能是方程ax2+bx+c＝0的根D．1和﹣1都是方程ax2+bx+c＝0的根
【分析】化简计算Δ得a+b+c＝0或a﹣b+c＝0，判断出AC都对，即D正确，再由原题判断c可以为0，即可判断B错误．
【解】：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）2＝0，
∴4（a+b+c）（b﹣a﹣c）＝0，
∴a+b+c＝0或a﹣b+c＝0，
当x＝1时，方程ax2+bx+c＝0，代入得，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，方程ax2+bx+c＝0，代入得，a﹣b+c＝0；
∵原题方程为一元二次方程，
∴a+c≠0，满足a≠﹣c，即c可以为0，
当x＝0时，方程ax2+bx+c＝0，代入得，c＝0，
综上，B错误，A正确．故选：A．
10．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（ ）
A．3B．6C．372D．172
【分析】连接CF，交PQ于点K，利用全等三角形的判定与性质，得到PK＝QK，则M，K两点重合，CM＝FM，可得MN为△CAF的中位线；连接AF，延长AD交EF于点H，利用矩形的判定与性质可得四边形CEHD和四边形DHFG为矩形，可求得线段AH，FH，利用勾股定理求得AF，利用三角形的中位线定理即可得出结论．
【解】：连接CF，交PQ于点K，如图，
∵四边形CEFG为矩形，
∴FG∥CE，
∴∠FPQ＝∠CQP，∠PFC＝∠FCQ．
在△PFK和△QCK中，
∠FPQ=∠CQPPF=CQ∠PFC=∠QCF，
∴△PFK≌△QCK（ASA），
∴FK＝CK，PK＝QK，
即点K为PQ的中点，
∵点M为PQ的中点，
∴M，K两点重合．
∴CM＝FM．
连接AF，延长AD交EF于点H，
∵矩形ABCD和矩形CEFG，
∴四边形CEHD和四边形DHFG为矩形，
∴AB＝CD＝HE＝1，DH＝CE＝4，EF＝CE＝2，AD＝BC＝2，
∴AH＝AD+DH＝2+4＝6，FH＝FE﹣HE＝2﹣1＝1，
∴AF=AH2+FH2=62+12=37．
∵CM＝FM，CN＝AN，
∴MN为△CAF的中位线，
∴MN=12AF=372．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使二次根式2x−5有意义，则实数x的取值范围为 x≥52 ．
【分析】根据二次根式a（a≥0），进行计算即可．
【解】：由题意得：
2x﹣5≥0，
∴x≥52．
故答案为：x≥52．
12．小恒同学对6月1日至7日的最高气温进行统计分析制作成统计图（如图所示），则这七天最高气温的众数是 33 ℃，中位数是 27 ℃．
【分析】结合折线统计图，根据中位数、众数的定义判断即可．
【解】：将6月1日至7日的最高气温按从小到大的顺序排列，
可得23℃，25℃，26℃，27℃，30℃，33℃，33℃，
∴中位数为27℃，
在这组数据中，33℃出现的次数最多，
∴众数为33℃，
故答案为：33，27。
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 6 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC＝4，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质求出AC．
【解】：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC＝4，
∵EF＝3DF
∴DE＝4DF，
∴DF=14DE＝1，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝6，
故答案为：6．
14．关于x的方程kx2﹣2k+1x+2＝0有两不等实根，则k的取值范围是 ﹣1≤k＜1且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，k+1≥0，即（﹣2k+1）2﹣4×k×2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解】：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2k+1x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，k+1≥0，即（﹣2k+1）2﹣4×k×2＞0，
解得：﹣1≤k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为：﹣1≤k＜1且k≠0．
故答案为：﹣1≤k＜1且k≠0．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数y=kx(x＞0，k＞0)的图象经过点C，E．若点A（6，0），则k的值是 16 ．
【分析】利用中点坐标公式可得点C的横坐标为2，作CH⊥y轴于H，再利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH＝OA＝6，OB＝CH＝2，从而得出点C的坐标，即可得出答案．
【解】：设C（m，km），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点E为AC的中点，
∴E（m+62，k2m），
∵点E在反比例函数y=kx(x＞0，k＞0)的图象上，
∴k=m+62•k2m，
∴m＝2，
作CH⊥y轴于H，
∴CH＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBA＝∠HCB，
∵∠AOB＝∠BHC，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，OB＝CH＝2，
∴C（2，8），
∴k＝16，
故答案为：16．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=43，AD＝4，取AD的中点E，将线段AE绕点A旋转得到线段AE′，在旋转过程中，当AE′⊥DE′时，BE′＝ 27或219 ．
【分析】由旋转可得AE'=AE=12AD，又∠AE′D＝90°，可得∠DAE′＝60°．分两种情况讨论：①若点E′在矩形ABCD的内部，过点E′作E′F⊥AB于点F，根据矩形的性质可求得∠E′AB＝∠DAB﹣∠DAE′＝30°，从而在Rt△AE′F中，通过解直角三角形得到AF=3，进而得到BF=33，因此根据勾股定理在Rt△BE′F中，即可求解BE′．②若点E′在矩形ABCD的外部，同①即可求解．
【解】：∵点E是AD的中点，
∴AE=12AD=12×4=2，
∴由旋转可得AE′＝AE＝2
∵AE′⊥DE′，
∴∠AE′D＝90°，
∵AE′＝2，AD＝4，
∴cs∠DAE'=AE'AD=24=12，
∴∠DAE′＝60°，
①如图，若点E′在矩形ABCD的内部，
∵在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，
∴∠E′AB＝∠DAB﹣∠DAE′＝90°﹣60°＝30°，
过点E′作E′F⊥AB于点F，
∴∠E′FA＝∠E′FB＝90°，
∴E'F=12AE'=12×2=1，
AF=AE'⋅cs∠E'AF=2⋅cs30°=3，
∵AB=43，
∴BF=AB−AF=43−3=33，
∴在Rt△BE′F中，BE'=BF2+E'F2=(33)2+12=27．
②如图，若点E′在矩形ABCD的外部，
过点E′作E′F⊥AB于点F，
∴∠F＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，
∴∠E′AF＝180°﹣∠DAB﹣∠DAE′＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴E'F=12AE'=12×2=1，
AF=AE'⋅cs∠E'AF=2⋅cs30°=3，
∵AB=43，
∴BF=AB+AF=43+3=53，
∴在Rt△BE′F中，BE'=BF2+E'F2=(53)2+12=219．
综上所述，BE'=27或219．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解方程：（1）6x2+x﹣7＝0；（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解】：（1）6x2+x﹣7＝0，
（6x+7）（x﹣1）＝0，
∴6x+7＝0或x﹣1＝0，
∴x1=−76，x2＝1；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
[（3x﹣4）+（4x﹣3）][（3x﹣4）﹣（4x﹣3）]＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
∴7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣1．
18．图1、图2分别是8×10的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个周长20的菱形ABCD．
（2）在图2中画出有一个锐角为45°，面积为8的平行四边形EFGH．（画出一种即可）
（3）请直接写出图2中平行四边形EFGH较短的一条对角线的长度 22 ．
【分析】（1）构造边长为5的菱形即可；
（2）构造底为4，高为2，有一个角是45°的平行四边形即可；
（3）根据网格利用勾股定理即可求出图2中平行四边形EFGH较短的一条对角线的长度．
【解】：（1）如图1中，菱形ABCD即为所求．
（2）如图2中，平行四边形BCD即为所求．
（3）图2中平行四边形EFGH较短的一条对角线的长度为22．
故答案为：22．
19．自从开展“创建全国文明城区”工作以来，门头沟区便掀起了“门头沟热心人”志愿服务的热潮，区教委也号召各校学生积极参与到志愿服务当中．为了解甲、乙两所学校学生一周志愿服务情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成5组：20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140）：
b．甲校40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组的是：
60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 80 80
c．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 78 ；
（2）根据上面的统计结果，你认为① 甲班 所学校学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由② 甲班所在学校学生的志愿服务时长的中位数、众数比乙班大 ；
（3）甲校要求学生一周志愿服务的时长不少于60分钟，如果甲校共有学生800人，请估计甲校学生中一周志愿服务时长符合要求的有 640 人．
【分析】（1）根据抽查人数，可知从小到大排列后处在第20、21位两个数的平均数为中位数，可求出甲班A、B、C三组的人数为22人，可得到中位数在C组，再根据C组的服务时长，可得到处在第20、21位的两个数分别为76，80，进而求出中位数；
（2）通过比较甲、乙班的中位数、众数得出结论；
（3）样本估计总体，样本中甲班学生一周志愿服务的时长不少于60分钟所占的比例为（1﹣5%﹣15%）＝80%，因此估计总体800人的80%的学生，一周志愿服务的时长符合要求．
【解】：（1）甲班A、B、C三组的人数为40×（5%+15%+35%）＝22（人），
甲班同学一周志愿服务时长从小到大排列后，处在第20、21位两个数的平均数为76+802=78（分），
因此m＝78，故答案为：78；
（2）甲班所在的学校学生志愿服务工作做得好，甲班所在学校学生的志愿服务时长的中位数、众数比乙班大，
故答案为：甲班，甲班所在学校学生的志愿服务时长的中位数、众数比乙班大；
（3）800×（1﹣5%﹣15%）＝640（人），
故答案为：640．
20．年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．
（1）求年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式．
（2）求年糕饺每盒的成本价．
（3）端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？
【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当x＝18时y的值，利用每盒年糕饺的销售利润＝总利润÷日销售量，可求出每盒年糕饺的销售利润，再利用每盒年糕饺的成本＝销售单价﹣成本，即可求出结论；
（3）利用总利润＝每盒的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可得出结论．
【解】：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（15，150），（17，100）代入y＝kx+b得：15k+b=15017k+b=100，解得：k=−25b=525，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣25x+525；
（2）当x＝18时，y＝﹣25×18+525＝75，
∴每盒年糕饺的销售利润为750÷75＝10（元），∴每盒年糕饺的成本为18﹣10＝8（元）．
答：每盒年糕饺的成本为8元；
（3）根据题意得：（x﹣8）（﹣25x+525）＝1000，
整理得：x2﹣29x+208＝0，解得：x1＝13，x2＝16，∵要尽可能让利顾客，
∴x＝13．
答：当销售单价x（元/盒）定为13时，日销售利润为1000元．
21．如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与函数y=nx(n＞0，x＞0)的图象交于点A（4，a）和点B．
（1）求n的值；
（2）若x＞0，根据图象直接写出当−x+5＞nx时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数y=nx的图象于点Q，若△POQ的面积为1，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得n的值；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，然后根据图象求得即可；
（3）设P（x，﹣x+5），则Q（x，4x），得到PQ＝﹣x+5−4x，由△POQ的面积为1即可求得x的值，从而求得点P的坐标．
【解】：（1）∵一次函数y＝﹣x+5的图象与过点A（4，a），
∴a＝﹣4+5＝1，
∴点A（4，1），
∵点A在反比例函数y=nx(n＞0，x＞0)的图象上，
∴n＝4×1＝4；
（2）由y=−x+5y=4x，解得x=1y=4或x=4y=1，
∴B（1，4），
∴若x＞0，当−x+5＞nx时x的取值范围是1＜x＜4；
（3）设P（x，﹣x+5），则Q（x，4x），
∴PQ＝﹣x+5−4x，
∵△POQ的面积为1，
∴12PQ⋅OM=1，即12x⋅(−x+5−4x)=1，
整理得x2﹣5x+6＝0，
解得x＝2或3，
∴P点的坐标为（2，3）或（3，2）．
22．矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出EH＝EG，EH∥GH，进而利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）连结EG，根据菱形的性质解答即可．
【解】证明：（1）在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥GF，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，
∴∠BFG＝∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF与△DEH中，
∠BFG=∠DHE∠GBF=∠EDHEH=FG，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE．
（2）连结EG．在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵E为AD的中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE∥BG且AE＝BG，
∴四边形EFGH中，EG＝FH＝4，
∴AB＝4，
∴菱形周长为16．
23．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：根据题目提供的公式和数据计算即可；
任务2：根据题意写出铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式即可；
任务3：根据铁块的三种放置方法，分别计算受到的压强和桌面承受最大压强104Pa比较说明即可．
【解】：任务1：长方体铁块的体积：50cm×20cm×10cm＝10000cm3＝10000×10﹣6m3＝0.01m3，
长方体铁块的质量：7.8×103kg/m3×0.01m3＝78kg，
∴长方体铁块的重力：78kg×10N/kg＝780N．
任务2：根据题意，铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式为：P=780S．
任务3：桌面的受力面积为：长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．
①50cm×20cm＝1000cm2＝0.1m2，
P=7800.1=7800Pa＜104Pa，桌面可以承受；
②20cm×10cm＝200cm2＝0.02m2，
P=7800.02=3.9×104＞104，桌面不能承受；
③50cm×10cm＝500cm2＝0.05m2，
P=7800.05=1.56×104＞104.桌面不能承受；
综上分析，当受力面积最大时，桌面可以承受780N压力，其他两种放置方法桌面承受不了780N的压力．
24．定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．
（1）下列说法正确的有 ①③ （填序号）．
①正方形一定是双距四边形．
②矩形一定是双距四边形．
③有一个内角为 60° 的菱形是双距四边形．
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝∠DCB＝72°，求证：四边
形ABCD为双距四边形．
（3）如图2，四边形ABCD为双距四边形，AB=AD=6，BC＝DC，AB＜BC，求BC的长．
【分析】（1）由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为 60° 的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；
（2）作DG∥AB交BC于点G，则∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，所以DC＝DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DG，因为AB＝AD，所以AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，而∠ADB＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝36°，因为∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，所以∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，则BC＝BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC＝BC＝BD，则四边形ABCD是双距四边形；
（3）由四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，得AC＝BD＝BC＝DC，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，因为AC垂直平分BD，所以∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE=12BD=12BC＝x，则CE=BC2−BE2=3x，AE＝2x−3x，由勾股定理得x2+（2x−3x）2＝（6）2，求得符合题意的x值为3+32，则BC的长是3+3．
【解】（1）：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，
∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，
∴正方形是双距四边形，
故①正确；
∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，
∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，
∴矩形不一定是双距四边形，
故②错误；
∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，
∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，
∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，
∴有一个内角为 60° 的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，
∴有一个内角为 60° 的菱形是双距四边形，
故③正确，
故答案为：①③．
（2）证明：作DG∥AB交BC于点G，
∵∠ABC＝∠DCB＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，
∴DC＝DG，
∵AD∥BC，DG∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DG，
∴AB＝DC，
∵AB＝AD，
∴AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝36°，
∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，
∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，
∴BC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC＝BD，
∴AC＝BC＝BD，
∴四边形ABCD是双距四边形．
（3）解：∵四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，
∴AC＝BD＝BC＝DC，
如图2，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，
∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE=12BD=12BC＝x，
∴CE=BC2−BE2=(2x)2−x2=3x，
∴AE＝AC﹣CE＝2x−3x，
∵BE2+AE2＝AB2，AB=6，
∴x2+（2x−3x）2＝（6）2，
整理得x2=(3+32)2，
解得x1=3+32，x2=−3+32（不符合题意，舍去），
∴BC＝2×3+32=3+3，∴BC的长是3+3．
甲
乙
丙
丁
平均数
97
95
97
93
方差
0.3
1.2
1.3
0.6
学校
平均数
中位数
众数
甲校
75
m
90
乙校
75
76
85
销售单价x（元/盒）
15
17
日销售量y（盒）
150
100
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1
如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．

素材2
重力＝质量×重力系数；密度=质量体积，压强=压力受力面积．
铁的密度为7.8×103kg/m3，重力系数g≈10N/kg．
素材3
假设桌面所能承受的最大压强为104Pa．
长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．
问题解决
任务1
求铁块的重力为多少N？
任务2
直接写出铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式．
任务3
利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？