重庆市第一中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份重庆市第一中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共32页。试卷主要包含了46，47，48，50，50．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答．
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积等于比例系数，由此逐项判断即可．
解：反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为3，
A．，在反比例函数图象上，符合题意；
B．，不在反比例函数图象上，不合题意；
C．，不在反比例函数图象上，不合题意；
D．，不在反比例函数图象上，不合题意；
故选A．
2. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．
解：A中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3. 如图，该三棱柱的主视图是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键
解：该三棱柱的主视图是一个长方形内部有一条虚线，
故选：A
4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解．
解：，
，
和的相似比为，
和的面积之比为，
故选C．
5. 已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值．
解：根据题意得，
即，
解得．
故选：D．
6. 下列命题中，错误的命题是（）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形；D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断真假命题、平行四边形及特殊平行四边形的判定，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的判定定理逐项判断即可．
解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项命题正确，不合题意；
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故B选项命题错误，符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项命题正确，不合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项命题正确，不合题意；
故选B．
7. 如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得，由此可解．
解：点P是线段的黄金分割点，且，
，即，
，
故选A．
8. 如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪、则该矩形草坪边的长是（）米．
A. 6B. 8C. 10D. 6或10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列出方程成为解题的关键．
设草坪的长为x米，则宽为且可得，再根据面积为120平方米列方程求解即可．
解：设草坪的长为x米，则宽为，
∵，
∴，解得：，
由题意可得：，解得：或6（不合题意舍弃），
∴该矩形草坪边的长是10．
故选C．
9. 如图，的边在x轴上，反比例函数的图象过点B，交于点E，若，的面积为6，则k的值为（）．
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过B作轴，过E作于F，即；由可得,再证可得，设，,则、、，最后根据的面积为6列方程求解即可．
解：如图：过B作轴，过E作于F，即，
∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
设，,则
∴，，
∴,
∵的面积为6，
∴，解得：．
故选D．
10. 已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作：
第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，；
第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，；
依次进行上述操作，下列说法：
①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，；
②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同；
③第2024次操作后得到的代数式串之积为；
其中正确的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可．
解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确；
依次类推，第4次操作后得到新代数式串：x，，，，，，
第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，
第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，
第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，，
……
观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误；
观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1，
第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：，
第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误；
综上可知，正确的个数是1，
故选B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值和零指数幂的运算方法．
解：，
故答案为：3．
12. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________．
【答案】5
【解析】
∵多边形的每个外角都等于72°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷72°=5，
∴这个多边形的边数为5.
故答案为5.
13. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点与点，则时x的取值范围为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、利用函数图像求不等式解集等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
观察图象，当一次函数图象位于反比例函数图象的上方所对应自变量x的取值范围即为所求．
解：∵直线与反比例函数的图象交于点与点，
∴时x的取值范围为或．
故答案为：或．
14. 已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，
∴m-1≠042-4×m-1×2>0，
解得：且，
故答案为：且．
15. 在一个暗箱里放有x个除颜色外其他完全相同的球，这x个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出x大约是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，×100%＝25%，
解得，x＝12个．
估计x大约有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
16. 如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图：过B作交延长线于H，，根据正方形的性质、勾股定理可得，再证明可得，进而得到，再说明是等腰直角三角形，即，然后根据角的和差即可解答．
解：如图：过B作交延长线于H，，
∵正方形中，
∴,,
∴，
∵点E为中点，
∴,
∴
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形成为解题的关键．
17. 若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解关于x的不等式组，根据该不等式组的解的情况得到关于a的不等式组，求出解集，再根据关于y的分式方程的解为整数，得出为偶数且，由此列出所有满足条件的整数a，再求和即可．
解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组有解且最多有3个奇数解，
3个奇数解为，
，
解得；
解分式方程，得，
该分式方程的解为整数，
偶数，
为偶数，
，
，
，
满足条件的整数a为：2或4，
所有满足条件的整数a的和为：，
故答案为：6．
18. 一个四位数若满足各个数位的数字均不为零，千位数字不等于十位数字，且千位数字与百位数字的和等干十位数字与个位数字的和，则称其为“有序等和数”．最小的“有序等和数”为______；已知、（，，，为整数，，，，，）为“有序等和数”，将的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字得到的两位数记为，将的百位数字作为十位数字，的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，记，，若被整除余，且为整数，求所有满足条件的的和为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，二元一次方程的应用，根据新定义即可得出最小“有序等和数”；根据为“有序等和数”，得出，进而求得，，根据被整除余，得出能被整除，进而根据分类讨论得出，进而根据为整数，进行取舍，最后求得所有满足条件的的和，即可求解．
解：∵最小的四位数的千位数字为，各个数位的数字均不为零，
∴最小“有序等和数”为，
∵，，，，，
∴的千位数为，百位数为，十位数为，个位数为，
又∵为“有序等和数”，
∴，即，且，
∴，
∴
，
∵被整除余，
∴能被整除
又∵
∴
∵，，，， 能被整除，
设，则，
∴，
∴
∵
①当时，能被整除，，则，
∴，，
∴，，
∵
当时，，为整数，则
当时，，不为整数，舍去
当时，，不为整数，舍去
②当时，能被整除，，
∴，，
∴，
∵
当时，，不为整数，舍去
③当时，能被整除，，
∴，，
∴，，，
∵
当时，，为整数，则
当时，，不为整数，舍去
当时，，不为整数，舍去
当时，，为整数，则
④当时，能被整除，，
∴，
∴，，
由，可知，，的值不符合题意，应舍去
⑤当时，能被整除，，则，
∴，，
∴，，
∵
当时，，不为整数，舍去
当时，，不为整数，舍去
当时，，不为整数，舍去
综上所述，所有满足条件的的和为
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20~26每小题10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程、解分式方程：
（1）利用公式法求解；
（2）先将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解后再代入检验即可．
【小问1】
解：，
，，，
Δ=b2-4ac=22-4×1×-1=8>0，
，
，；
【小问2】
解：，
等号两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
解得：，
当时，，
因此是增根，原分式方程无解．
20. 先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．
【答案】；1．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+1代入即可．
解：原式=×
=×
=，
∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2=x+1，
∴==1．
21. 学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形是矩形，对角线交于点O，过C作于点E，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．
求证：四边形为平行四边形
证明：∵，，∴①_____
∴②_______
∵四边形是矩形
∴③______
又∵
∴
∴④______
∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______．
【答案】（1）见解析（2）；；；；⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半
【解析】
【分析】本题考查尺规作图、矩形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定和性质等：
（1）过直线外一点A作的垂线即可；
（2）根据平行四边形的判定定理，结合已知证明过程逐项推导论证即可；当矩形对角线夹角为时，矩形两条对角线将矩形分成的四个三角形中两个锐角三角形为等边三角形，根据“三线合一”的性质即可求解．
【小问1】
解：如图，
【小问2】
解：补全后的证明过程如下：
证明：∵，，∴①
∴②
∵四边形是矩形
∴③
又∵
∴
∴④
∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半，理由如下：
如图，四边形是矩形，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，为等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，，，，
∴．
22. 重庆一中非常重视培养学生的体育素养，在学期中段的时候开展了体育素养测试，为了了解初二年级学生的测试情况，随机抽查了甲、乙两班各20位学生的测试成绩（测试成绩满分为50分，成绩x为整数），分为：A：，B：，C：，D：四个组进行统计，经整理，分析后，给出了下面部分信息：
甲班20名学生的测试成绩中C组包含的所有数据为：40，40，41，44，44，44，44，44．
乙班20名学生的测试成绩为：33，36，37，38，41，42，42，43，43，43，44，44，44，44，45、46，47，48，50，50．
甲班学生测试成绩扇形统计图
甲、乙班测试成绩统计表
根据以上信息，解决下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生的测试成绩更好?请说明理由（写出一条即可）；
（3）在乙班成绩低于40分的四名同学中，有一名女生，三名男生，现从这四名同学中随机抽取两名同学去了解体育锻炼的情况，请用树状图或列表法求出抽到的两名同学恰好是两名男生的概率．
【答案】（1）44，44，40
（2）甲班级学生的测试成绩更好，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、扇形统计图，利用统计数据作决策，树状图或列表法求概率：
（1）根据中位数、众数、扇形统计图的特点求解；
（2）从中位数或众数的角度比较；
（3）先画树状图列出所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况，再利用概率公式求解．
【小问1】
解：甲班A组和B组人数之和为：，
将甲班20人成绩按从低到高顺序排列时，C组第4个和第5个数据为甲班第10、11人的成绩，因此甲班成绩的中位数，
乙班数据中44出现了4次，出现的次数最多，则，
甲班C组有8人，，
故答案为：44，44，40；
【小问2】
解：甲班级学生的测试成绩更好，
理由为：甲班成绩的中位数大于乙班，说明甲班高分人数多于乙班（答案不唯一）；
【小问3】
解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中投到两名男生的情况有6种，，
因此抽到的两名同学恰好是两名男生的概率为：．
23. 四边形中，，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，，
（1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若函数图象跟函数的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）
（2）图见解析，当时，随x的增大而减小（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等：
（1）作于点H，得到矩形，当时，点Q在线段上，当时，点Q在线段上，列分段函数即可；
（2）根据（1）中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数的性质；
（3）通过一次函数图象的平移解决问题．
【小问1】
解：如图，作于点H，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，
点Q从点A到点D用时：，从点A到点C用时：，
当时，点Q在线段上，
，，
；
当时，点Q在线段上，
，，
；
综上可知，；
【小问2】
解：的图象如下图所示，由图可知，当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大；
【小问3】
解：如图，当时，函数的图象跟函数的图象有两个交点．
24. 2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
（1）求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
（2）两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
【答案】（1）“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元
（2）12
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，根据“花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒”列方程求解即可；
（2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可．
【小问1】
解∶设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元；
【小问2】
解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒盒，“事事高中”粽子礼盒元，
根据题意，得，
整理得
解得或（舍去），
∴m的值为12．
25. 如图，一次函数与坐标轴分别交于点A、点B，且与反比例函数图象交于点、点：
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当的面积为6时，y轴上有一点Q，若有最大值时，求出这个最大值：
（3）如图3，将沿着射线OC的方向平移个单位，点B平移后的对应点为，y轴上有一点E，平面中有一点F，当以点C、、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形时，直接写出点F的坐标．
【答案】（1），
（2）2（3）
【解析】
【分析】（1）将代入可得，即；进而求得点，然后运用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先求出点A的坐标，如图：过P作轴交于E，设p>4，易得，再根据的面积为6可求得，即；如图：作D关于y轴的对称点，连接，则，即；再根据三角形中两边之差小于第三边即可解答；
（3）先求出点，再确定的中点坐标为；然后运用待定系数法求得的解析式为；再求出线段的垂直平分线的解析式为，进而确定点E的坐标，最后根据菱形的对角线相互垂直平分即可解答．
【小问1】
解：将代入可得：，即，
∴反比例函数的解析式为，
将点代入可得：，即，
则有，
解得：，
所以一次函数的解析式为：
【小问2】
解：∵一次函数的解析式为：，
∴，
如图：过P作轴交于E，
设p>4，则，即，
∵的面积为6，
∴，即，
解得：或0（舍去），
∴，
如图：作D关于y轴的对称点，连接，则，
∴，
若有最大值时，即的最大值，
∵，，
∴，
∴的最大值为2．
【小问3】
解：∵，
∴,
∵将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为，
∴，
∵，
∴的中点坐标为，
设的解析式为，
则有，
解得：，
所以的解析式为，
设线段的垂直平分线的解析式为，
则有，
解得：，
∴线段的垂直平分线的解析式为，
∴
设，则有，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、求函数解析式、三角形的面积、三角形的三边关系、菱形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
26. 已知为等边三角形，点D在延长线上，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，以为边在下方构造等边，连接，过点D作于点F，点G为线段上一点，连接交于点H，若，求证：；
（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，将绕点C逆时针转得到线段，连接，点M是的中点，连接，请直接写出的最小值的平方．
【答案】（1）
（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）过点A作，根据等边三角形的性质得到,求出，利用勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，得到，进而求解即可；
（2）证明，则，如图2，延长交于，延长交于，，则，即，由，可得垂直平分，则，证明是等边三角形，则，，，由勾股定理得，，则，；
（3）由（2）可得，，则，如图3，作于，则，，，，由勾股定理得，，由，可求，由旋转的性质可得，，由等边，，可得为的中点，，如图3，连接，则，在以为圆心，2为半径的圆上运动，如图3，在上取点，使，连接，证明，则，即，可求，，则，可知当三点共线时，最小，为，由勾股定理得，，，计算求解即可．
【小问1】
解：如图1，过点A作，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长；
【小问2】
证明：∵等边、，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图2，延长交于，连接并延长交于，
∵，又，，即，
∴，即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，即；
【小问3】
解：由题意知，，，，
由（2）可得，，
∴，
如图3，作于，
∴，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
由旋转的性质可得，，
∵等边，，
∴为的中点，，
如图3，连接，
∴，
∴在以为圆心，2为半径的圆上运动，
如图3，在上取点，使，连接，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，，
∴，
∴当三点共线时，最小，为，
由勾股定理得，，
∴，
∴的最小值的平方为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形，旋转的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线性质，圆等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识，得到点M的运动路线是解题的关键．
班级
甲班
乙班
平均数
43
43
中位数
a
43.5
众数
45
b