重庆市第一中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份重庆市第一中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共34页。试卷主要包含了试题的答案书写在答题卷上，作图请一律用2B铅笔完成，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．试题的答案书写在答题卷上．不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成：
4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回．
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列四幅图形均为完全相同的小正方形构成，其中轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
4．在一个不透明的口袋中装有6个白球和18红球，这些球除颜色不同外其余都相同．现随机摸出一个球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（ ）
A．24B．20C．18D．16
6．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高交于一点B．在轴对称图形中，对应点的连线相互平行
C．等腰三角形两底角的平分线相等D．有两条边相等的两个直角三角形全等
7．长方形一条边的长度为厘米，其周长为厘米，面积为平方厘米，则与的关系可以表示为（ ）
A．B．C．D．
8．下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿DE翻折，使点的对应点恰好落在角平分线CH上，连接并延长交BC于点，若，则点到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
12．对于整式，从中先选出一个整式，再用它来减去从剩余的整式里选出的另外一个整式，然后求两个整式差的绝对值称为“绝对差值”，例如：，把称为的“绝对差值”，，把称为的“绝对差值”，下列说法：
①存在一种“绝对差值”不含一次项；
②m，n为常数，若的结果只含常数项，则；
③所有“绝对差值”之和的最小值为28．
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．华为是全球领先的信息与通信技术（ICT）解决方案供应商，华为Р系列手机搭载华为麒麟9010芯片，该芯片采用5纳米制造工艺．5纳米是厘米的长度单位，将数据0.0000005用科学记数法表示为 ．
14．已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则 ，
15．如图，，在内随机作一条射线，则不小于的概率为 ．
16．已知，，则的值为 ．
17．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
18．已知关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有自然数的值的和是 ．
19．如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
20．一个四位自然数，若个位数字与十位数字的平方和恰好等于去掉的十位数字与个位数字后剩余部分形成的两位数与个位数的和，则这个四位数称为“平方和数”，比如：1314，满足，则1314为“平方和数”；比如：1234，由于，则1234不是“平方和数”，那么最小的“平方和数”是 ．如果一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为b，十位数子为c，个位数字为，记，且，当F（M），G（M）均为整数时，则满足条件的M最大值是 ．
三、解答（本大题共8个小题．21-22题各10分，23题8分，24-26题各10分，27、28题12分，共82分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
21．计算：
(1)
(2)
22．化简求值：其中
23．作图题：按要求尺规作图（不写作法，不写结论，但要保留作图痕迹）
如图，在中，是边上一点，满足，且
(1)作的平分线交于；
(2)若，求证．
证明：___①____，平分
___②___
在与中
（____③__）
___④___
24．每年4月15日是全民国家安全教育日，某校开展安全教育讲座后，学生参加了安全知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位，分．满分100分）进行整理分析（数据分为4组；A组；，B组：，C组：，D组：．x表示成绩，成绩为整数）．并绘制了如下不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)求抽取的学生人数、并补全成绩频数分布直方图：
(2) ______、扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为______°；
(3)该校有1200名学生参加了本次安全知识竞赛，请估计竞赛成绩达到50分及以上的人数．
25．如图，为中的角平分线，，延长至，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
26．如图，A、B、C、D是几个城市，是几条即将修建的公路，经测量：，，长为20公里．
(1)求的度数；
(2)甲施工队沿方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿方向施工，为线段的中点，处附近因条件限制只能以为圆心、为半径修半圆形公路，每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求的长．
27．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示．
请根据图中的信息解决下列问题：
(1)填空：两地距离为______千米， ______；
(2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米?
(3)当两人相距3千米，请直接写出x的值．
28．如图，在中，．

(1)如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度．
(2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：．
(3)如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值．
1．B
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方，根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
3．B
【分析】本题考查平行线的性质，垂线，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，关键是由平行线的性质推出．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可；掌握概率的求法是解题的关键．
【详解】解：随机摸出一个球共有中结果，摸出一个球是红球有中结果，
；
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可．
【详解】∵垂直平分，
∴
∵垂直平分，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了三角形的高，轴对称图形的性质，全等三角形的判定及性质；
A.由三角形高的性质，即可判断；
B.由轴对称的性质，即可判断；
C.由可判定，由全等三角形的性质得，即可判断；
D.由三角形全等的判定方法即可判断；
掌握相关判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：A.三角形的三条高所在直线交于一点，结论错误，故不符合题意；
B.成轴对称的两个图形中，对应点的连线相互平行，结论错误，故不符合题意；
C.如图，是等腰三角形，，，、是底角的平分线，，在和中，，（），．
结论正确，符合题意；
D.有两条边对应相等的两个直角三角形全等，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了列函数关系式，首先利用表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键．
【详解】∵长方形的一边是，则另一边长是，
∴与的关系可以表示为，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：；
第个图形中梅花的朵数为：；
第个图形中梅花的朵数为：；
第个图形中梅花的朵数为：；
；
∴第个图形中梅花的朵数为，
当时，（朵），
即第个图形中梅花的朵数为朵，
故选：．
9．A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】解: ∵，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
10．A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据角平分线的性质可得，，，由，，可得，，由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，从而可求得与的数量关系，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：与的平分线交于点，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；过作交于，过作交于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解；
掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过作交于，过作交于，连接，在上截取，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
为的角平分线，
，
由翻折得：，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
和是等腰三角形，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
是等腰三角形，
，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查的是完全平方公式，整式的加减，涉及到绝对值的考点，根据题目中的运算操作，逐一分析每句话是否正确．学生要熟练掌握这个知识点，根据绝对值的特点简化运算过程．
【详解】解：，，，，，，
故不存在一种“绝对差值”不含一次项，故①错误；
，
，
结果只含常数项，
，解得，
，故②错误；
当时，原式，
当取得最小值为；
当时，原式，
当取得最小值为28；故③正确，
故正确的有1个，
故选：C．
13．
【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解“科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，n是正整数；当原数的绝对值小于时，n是负整数．”是解题关键．
【详解】解：由题意得
，
故答案：．
14．3
【分析】利用三角形的三边关系求解，即可得到答案．
【详解】解：三角形三条边长分别是2、、3，
，
，
为奇数，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15．
【分析】此题考查了概率公式的应用，当时，，根据概率公式计算即可．
用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：当时，，
不小于的概率为．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了整式的运算和因式分解的应用，先将原式变形为，再将，代入原式计算即可，熟练掌握因式分解的方法及掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论的思想思考问题．
【详解】解：如图，当是钝角时，

由题意：，，，
∴；
当是锐角时，

由题意：，，，
∴，
∴，
故答案为：或．
18．
【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非负整数得出关于的一元一次不等式，求出的取值，然后根据题意即可求解，熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式时解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∵关于的方程的解为非负整数，
∴，
则，
又∵为自然数，
∴，
∴符合条件的所有自然数的值的和是，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
的平分线交于点，
点到的距离相等，
，
，
的面积为4，
,
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
20． 1023 7976
【分析】本题主要考查了新定义，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．
（1）设“平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，在保证M最小的前提下首先要保证最高位最小，其次是百位，十位最小，据此逐一确定高位的值，进而确定低位的值即可；
（2）由题意得，，根据是整数，得到是7的倍数；再说明是5的倍数，然后讨论c、d的值，在保证M最大的前提下首先要保证最高位最小，其次是百位，十位最小，据此逐一确定高位的值，进而确定低位的值即可．
【详解】解：设“平方和数”的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，
∵要使M最小，
∴首先要保证a最小，
故可令，
其次要保证b最小，故可令，
∴，
再其次要保证c最小，当时，，d不是整数，不符合题意；
当时，，d不是整数，不符合题意；
当时，，解得：或（舍去）；
∴；
∴最小的“平方和数”是1023，
∵，
∴
∵是整数，
∴是7的倍数，
∵为整数，
∴为整数，
∴是5的倍数，
要求M的最大值，令，则，
∴的最大值取8，则，
∵是7的倍数，取8，
∴c的最大值取5,
∴，，，验证是否成立，此时，，不合题意；
∵在等式右边对结果影响较大，
∴要调整a，
∴若，此时，不合题意；
若，此时，符合题意；
综上所述，最大的M为7976，
故答案为：1023，7976．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤、乘方意义、零指数幂和负整数指数幂的性质．
（1）根据乘方意义、零指数幂和负整数指数幂的性质进行乘方运算，然后算加减即可；
（2）按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化成1即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
，
，
22．；31
【分析】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，代入计算得到答案，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
，，
，，
则原式．
23．(1)见解析
(2)①；②；③；④．
【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质填空即可．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）证明：，平分，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：①；②；③；④．
24．(1)抽取的学生人数为人，频数分布直方图补全见解析
(2)；
(3)竞赛成绩达到50分及以上的人数为人
【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
（1）观察频数分布直方图和扇形图，利用占比，可求出总人数，即可解答；
（2）由Ｂ组人数，求出B组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出D组所对应的圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体思想即可求解．
【详解】（1）解：抽取人数：（人），
A组人数：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：，
，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：竞赛成绩达到50分及以上的人数为人．
25．(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质及三角形角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据三角形外角性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
为中的角平分线，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
为中的角平分线，
，
在和中，
，
，
．
26．(1)
(2)的长为米
【分析】本题考查含有的直角三角形的边长关系，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确求得甲、乙两个工程队的总造价，列方程，是解题的关键．
（1）利用三角形内角和，平行线的性质，等腰三角形的性质，即可解答；
（2）设的长为公里，利用含有的直角三角形的边长关系，求得里，再算出甲、乙两个施工队需要的总造价，列方程即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
为等边三角形，
；
（2）解：公里，
公里，
甲工程队总造价为万元，
设，
为线段的中点，
公里，
公里，
乙施工队的总造价为万元，
根据题意可得，
解得，
故的长为米．
27．(1)；
(2)
(3)或或
【分析】本题考查函数函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图中信息可得两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得；
（2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答；
（3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差３千米，三种情况，即可解答．
【详解】（1）解：由图中信息可得两地距离为千米；
甲的速度：千米/时，
，
故答案为：；；
（2）解：（小时），
（千米）；
（3）解：当未到快递站时，；
当出快递站，；
当甲追乙差３千米时，，
综上，的值为或或．
28．(1)
(2)见详解
(3)或或或．
【分析】（1）由等腰三角形的判定及性质得 ，设，由线段的和差得，由即可求解；
（2）过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证；
（3）设，可求，，，由三角形的内角和结合由旋转和折叠的性质得，，①当时，由外角的性质得，从而可求，由求出，由求出，即可求解；②当时，由外角的性质和三角形内角和得，再由求出，由求出，即可求解；③当时，由外角的性质和三角形内角和得，由求出，求出，即可求解；④当时，由三角形内角和定理得 ，，由求出，由求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
是等腰三角形，
，
，
设，
，
，
，
点为线段的中点，
，
，
，
解得：，
，
，
故的长度为；
（2）解：如图，过作交于，
，
，
E为的中点，
，
在和中，
，
（），
，
由（1）得：，
，
，
即：，
在和中
，
（），
，
，
，
；
（3）解：如图，直线交直线于，直线交直线于、交直线于，

设，
，
，，
，
，
解得：，
，
，
，，，
，
，
；
为的角平分线，
，
，
由旋转和折叠得：
，
，
，
①如上图，当时，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
②如图，当时，
直线交直线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
③如图，当时，
直线交直线于，
，
，
，
，
，
，
，
；
④如图，当时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：的值为或或或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质，能根据两直线的夹角不同进行分类讨论是解题的关键．