2024年四川省达州市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省达州市中考数学试卷【含解析】，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．有理数2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）
A．2×109B．2×108C．0.2×108D．2×107
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a+2）2＝a2+2a+4
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9D．a12÷a6＝a2
4．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热B．爱C．中D．国

第4题 第6题 第8题 第10题
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
7．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（ ）
A．﹣＝30 B．﹣＝30 C．﹣＝ D．﹣＝
8．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（ ）
A．2B．C．D．3
9．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1B．b＝2C．b2+4c＜0D．c＜0
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．分解因式：3x2﹣18x+27＝ ．
12．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 ．
13．若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 ．
14．如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣+2sin60°﹣（π﹣2024）0；（2）解不等式组：．
17．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（8分）2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 名选手，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．
19．（8分）如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
20．（8分）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
22．（10分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
23．（10分）如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cs∠ABC的值．
24．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．
∴AB2＝AO2+BO2
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ + ．
化简整理得AC2+BD2＝ ．
[类比探究]
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
[拓展应用]
（3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度．
2024年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．有理数2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据相反数的定义解题．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）
A．2×109B．2×108C．0.2×108D．2×107
【分析】2亿用科学记数法表示为2×108．
【解答】解：2亿用科学记数法表示为2×108，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的概念，掌握科学记数法是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a+2）2＝a2+2a+4
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9D．a12÷a6＝a2
【分析】根据公式化简代数式即可．
【解答】解：a2+a3不能化简，故A选项错误；
（a+2）2＝a2+4a+4，故B选项错误；
（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，故C选项正确；
a12÷a6＝a6，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的化简，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法是解题的关键．
4．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热B．爱C．中D．国
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“我”字所在面相对的面上的汉字．
【解答】解：根据图示知：“我””与“爱”相对；
“热”与“国”相对；
“们”与“中”相对．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化．
【解答】解：一组数据“12，12，28，35，■”，该数据■在30～40之间，
四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误．
众数也变化，选项B错误．
中位数是28，不变，选项C正确．
因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．
6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3，
∵∠1＝80°，∠2＝40°，
∴∠3＝40°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
7．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（ ）
A．﹣＝30B．﹣＝30
C．﹣＝D．﹣＝
【分析】根据题意可以得到相等关系：乙用的时间﹣甲用的时间＝，据此列出方程即可．
【解答】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
根据题意得﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到等量关系．
8．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（ ）
A．2B．C．D．3
【分析】利用菱形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：如图，延长BC交格点于E，连接AE，
由题意可得：AE⊥BE，AE＝4，EC＝2，
∴tan∠BCD＝tan∠ACE＝＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，
9．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1B．b＝2C．b2+4c＜0D．c＜0
【分析】抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0）和（x2，0），且x1＜1，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＜0解得即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0）和（x2，0），且x1＜1，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
由根与系数的关系可得，
﹣c﹣b+1＜0，
∴b+c＞1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】①先求出，，则，由此可证△CAE∽△ABD，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确；
②根据△CAE∽△ABD得∠CAE＝∠ABD，再根据三角形外角性质得∠BFE＝45°，由此可对结论②进行判断确；
③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，证明点F在弧AB上运动，则当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，然后求出△ABH的面积即可对结论③进行判断确；
④根据点F在弧AB上运动，得当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，然后求出线段CP的长即可对结论④进行判断确，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴，
∵AD＝CE，
∴，
∴，
又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，
∴△CAE∽△ABD，
∴，
故结论①正确；
②∵△CAE∽△ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
故结论②正确；
③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如下图所示：
∴∠AOB＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，
∵∠DFE＝135°，
∴点F在上运动，
∵AB＝4，
∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，
根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，
∴AK＝OK＝2，
在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，
∴OA＝OH＝OB＝OP＝，
∴KH＝OH﹣OK＝，
∴S△ABH＝AB•KH＝＝，
故结论③正确；
④∵点F在上运动，
∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，
∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，
∴四边形OMBK为矩形，
∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，
∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，
在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，
∴CP＝CO﹣OP＝，
即CF的最小值是，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，点与圆的位置关系，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，构造辅助圆，证明点F在上运动，利用点与圆的位置关系求出△ABF面积的最大值和线段CF的最小值是解决问题的难点．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．分解因式：3x2﹣18x+27＝ 3（x﹣3）2 ．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：3x2﹣18x+27，
＝3（x2﹣6x+9），
＝3（x﹣3）2．
故答案为：3（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 ．
【分析】先画出树状图，然后进行分析．
【解答】解：
∴P＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的求法．概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 2 ．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2
解得：x＝，
∴当x＝2时分母为0，方程无解，
即＝2，
∴k＝2时方程无解，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
14．如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别对△ABC．ΔE1AB 运用三角形的外角定理，设∠E1AD＝α，则∠CAB＝3α，∠E1BD＝β，则∠CBD＝3β，得到 β＝α+∠E1，3β＝3a+∠C，同建可求：，所以可得 ．
【解答】解：由题意，，
∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β，
由三角形的外角的性质得：β＝α+∠E1，3β＝3α+∠C，，
同理可求：， ……，，
即 ，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，规律型：图形变化类等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ．
【分析】过D作DE⊥AB，交AB于点E，所以∠DEA＝∠DEB＝90°，因为∠C＝90°，∠BAD＝45°，运用勾股定理、正弦的定义求得AD、AE、DE的长，再次运用勾股定理BE2+DE2＝BD2，AC2+BC2＝AB2，可求得BD的长，即得BC的长，S△ABC＝AC•BC，求得△ABC的面积．
【解答】解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，
，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝4，CD＝1，
∴AD＝＝，
∵∠DEA＝90°，∠BAD＝45°，
∴AE＝DE＝AD•sin∠EAD＝，
∵∠DEB＝90°，∠C＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，AC2+BC2＝AB2，即BE2+＝BD2①，（BD+1）2+16＝（+BE）2②，
①变形得，BE＝ ③，
②化简得，BD2+2BD+17＝+BE+BE2④，
将①、③代入④并化简得，15BD2﹣34BD﹣172＝0，（BD＞0）
解得：BD＝，
∴BC＝，
∴S△ABC＝AC•BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积，关键是掌握勾股定理、正弦的定义、三角形面积公式的运用．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣+2sin60°﹣（π﹣2024）0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后把化简后合并即可；
（2）分别解两个不等式得到x＞﹣1和x≤5，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+2×﹣1
＝4﹣3+﹣1
＝3﹣2；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了实数的运算．
17．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件，把x＝1代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18．（8分）2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 800 名选手，m＝ 40 ，n＝ 5 ；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 126 度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．
【分析】（1）先用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以C等级所占的百分比得到m的值，然后D等级人数乘以调查的总人数得到n的值；
（2）用360°乘以B等级所占的百分比即可；
（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．则通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出马拉松和欢乐跑冠军的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名）；
所以m＝800×5%＝40，
所以n%＝＝5%，
即n＝5；
故答案为：800，40，5；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°；
故答案为：126；
（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．
画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，
所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
19．（8分）如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【分析】（1）利用基本作图，过C点作BD的垂线即可；
（2）先利用平行线的性质得到∠B＝∠D，再利用AE⊥BD，CF⊥BD得到AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，则可证明△ABE≌△CDF，所以AE＝CF，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形AECF平行四边形．
【解答】解：（1）如图，CF、AF、CE为所作；
（2）四边形AECF平行四边形．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
而AE∥CF，
∴四边形AECF平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
20．（8分）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
【分析】过点M作MN⊥AB，先利用直角三角形的边角间关系求出DN、AF的长，再利用线段的和差关系求出FN．
【解答】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN•MN＝tan30°×MN＝×6＝2（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF•EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝2+2﹣4.8
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质与判定、线段的和差关系及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）∠BCA＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a，
解得：a＝﹣3，m＝6，
即反比例函数的表达式为：y＝，点B（﹣3，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝x+1；
（2）设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，
∵∠BCA＝90°，
则AB2＝AC2+BC2，
即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4，
解得：x＝3或﹣4（舍去），
即点C（3，0）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式，难度不大．
22．（10分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【分析】（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，根据出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，根据A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，列出一元一次不等式组，解得595≤m≤600，再设收益为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，
由题意得：，
解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，
此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
23．（10分）如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cs∠ABC的值．
【分析】（1）如图所示，连接OA，由直径所对的圆周角是直角得到∠BAD＝90°，导角可证明∠DAF＝∠OAB，进而得到∠OAF＝90°，据此即可证明AF是⊙O的切线；
（2）延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，由直径所对的圆周角是直角得到∠BCD＝90°，证明AG∥CH，得到∠AHC＝90°，接着证明△ABE≌△ACH（AAS），得到AE＝AH，BE＝CH，进一步证明Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），得到DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，BE＝CH＝4a，进而得到BD＝BE+DE＝5a，则OA＝OD＝2.5a，由勾股定理得到，，则，进一步可得cs∠ABC＝cs∠ADE＝．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OAB，
∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA垂直平分BC，
∴AG⊥BC，
∴AG∥CH，
∵∠OAF＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AHC＝90°，
又∵∠ABE＝∠ACH，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，BE＝CH，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，
∴BD＝BE+DE＝5a，
∴OA＝OD＝2.5a，
∴OE＝OD﹣DE＝1.5a，
∴
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴．
【点评】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
24．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）当AC＝AN时，列出等式，即可求解；当AC＝CN或AN＝CN时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝5﹣3＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、一次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．
25．（12分）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．
∴AB2＝AO2+BO2
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ AC2 + BD2 ．
化简整理得AC2+BD2＝ 4AB2 ．
[类比探究]
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
[拓展应用]
（3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度．
【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，根据平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，证明△DAE≌△CBF（AAS），得AE＝BF，DE＝CF，根据勾股定理得DB2＝DE2+BB2＝DE2+（AB﹣AE）2，AC2＝CF2+AF2＝CF2+（AB+BF）2继而得出AC2+BD2的值即可；
（3）由（2）可得AC2+BD2＝2AB2+2AD2得出，过点E，O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，根据勾股定理以及已知条件，分别求得OG，CG，BG，根据EMMOG得出 根据△COG﹣△CEM得出进而勾股定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AB2＝AO2+BO2，
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴，
化简整理得AC2+BD2＝4AB2，
故答案为：AC2，BD2，4AB2；
（2）AC2+BD2＝2AB2+2AD2理由如下，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF，
在△DAE和△CBF中，
∴△DAE≌△CBF（AAS），
∴AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE中，DB2＝DE2+BE2＝DE2+（AB﹣AE）2
在Rt△CAF中，AC2＝CF2+AF2＝CF2+（AB+BF）2
∴AC2+BD2＝DE2+（AB﹣AE）2+CF2+（AB+BF）2
＝2DE2+AB2﹣2AB•AE+AE2+AB2+2AB•AE+AE2
＝2（DE2+AE2）+2AB2
＝2AD2+2AB2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2AD2；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BD＝8，AC＝12，
∴由（2）可得AC2+BD2＝2AB2+2AD2，
∴122+82＝2×82+2AD2，
解得：（负值舍去），
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，
∴，OA＝OC＝6，，
如图所示，过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，
∵F分别为BC的中点，
∴，
∵OG⊥BF，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OGC中，OG⊥BC，
∴，
∵E为AO的中点，
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∴，
∵EM⊥BC，OG⊥BC，
∴EM∥OG，
∴，
∵，
∴，
∵EM∥OG，
∴△COG∽△CEM，
∴，
∴
在Rt△EMF中，．
故答案为：EF＝．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/17 7:59:33；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433等级
A
B
C
D
分数段
90﹣100
80﹣89
70﹣79
60﹣69
频数
440
280
m
40
等级
A
B
C
D
分数段
90﹣100
80﹣89
70﹣79
60﹣69
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440
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