清单01 三角形（10个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-八年级上学期数学期末考点大串讲（人教版）

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【知识清单】
考点一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
1．（2022秋•金平区期末）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键．
2．（2022秋•岳麓区校级期末）已知一个三角形的周长为15厘米，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为 ．
【分析】可设这个三角形的最短边为x厘米，根据三角形的周长为15厘米可列出方程求解即可．
【解答】解：设这个三角形的最短边为x厘米，依题意有
x+2x+2x＝15，
5x＝15，
x＝3．
故这个三角形的最短边为3厘米．
故答案为：3厘米．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形的周长公式列出方程求解．
考点二．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．（2022秋•龙马潭区期末）画△ABC的BC边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高的画法可知，画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．
【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．
故选：C．
【点评】钝角三角形的高有两条在三角形的外部．
4．（2022秋•荣昌区期末）下列说法中正确的是（ ）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解：A、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；
B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；
C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
5．（2022秋•南阳期末）已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝ ．
【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；
（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；
（3）过C点作CN⊥AD于N点；
（4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）如图，DM为所作；
（3）如图，CN为所作；
（4）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC﹣C△ADB＝3，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴AC﹣AB＝3，
∵AB＝4，
∴AC＝AB+3＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
考点三．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
6．（2022秋•白云区期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
7．（2022秋•北仑区期末）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：因为三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
考点四．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
8．（2021秋•翔安区期末）如图，G是△ABC的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．BD＝CD
C．∠BAD＝∠CADD．BD＝CD且AD⊥BC
【分析】根据三角形的重心是三角形中线的交点，再由中线的定义即可判断．
【解答】解：如图，∵点G为△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
9．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 ．
【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，则有S△BCF＝S△BEC＝5，进而问题可求解．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15，
∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，
∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，
∴S△AEF＝S△BDF，
∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，
∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，
∴S△BCF＝S△BEC＝5，
∵S△BCF＝BC•FH＝×6FH＝5，
∴FH＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．
考点五．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
10．（2022秋•青秀区校级期末）三角形的三边长可以是（ ）
A．2，2，4B．2，3，5C．2，4，5D．2，4，6
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得出答案．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A．∵2+2＝4，∴不能构成三角形，不符合题意；
B．∵2+3＝5，∴不能构成三角形，不符合题意；
C．∵2+4＞5，∴能组成三角形，符合题意；
D．∵2+4＝6，∴不能构成三角形，不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
11．（2022秋•新乡期末）如图，将长为8的线段AB分成三条线段AC，CD，BD，且AC＝BD＝a，若这三条线段首尾相连能够围成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用三角形的三边关系构建不等式求解．
【解答】解：由题意，，
∴2＜a＜4．
∴a＝3符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会利用参数构建不等式解决问题．
12．（2022秋•安次区期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1．
（1）若BC是整数，求BC的长；
（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，
∴7＜BC＜9，
∵BC是整数，
∴BC＝8；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD
∵△ACD的周长为10，
∴AC+AD+CD＝10，
∵AC＝1，
∴AD+CD＝9，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
考点六．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
13．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点I．∠BIC＝115°，则∠A为（ ）
A．70°B．65°C．50°D．30°
【分析】设∠A＝α，利用角平分线的性质得，再根据∠BIC＝115°得∠OBC+∠OCB＝65°，所以求解即可．
【解答】解：设∠A＝α，则∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠BIC＝115°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣115°＝65°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点I，
∴，即，
解之得：α＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
14．（2022秋•莘县期末）如图，△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠P＝2∠A，则∠A＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】先根据角平分线的定义得：∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再由三角形内角和定理和已知可得结论．
【解答】解：∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣（180°﹣∠P），
∵∠P＝2∠A，
∴∠A＝60°，
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是三角形内角和定理与角平分线的定义，结合图形，灵活运用基本知识解决问题．
15．（2022秋•花溪区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A＝70°，求∠D的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分线的定义推出∠DBC+∠DCB＝55°，进而利用三角形内角和定理求出∠D的度数．
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴，
∴，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝125°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
16．（2022秋•章贡区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
17．（2022秋•潍坊期末）通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．
例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图2，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：延长BC，过点C作CM∥BA．
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）
（2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．
【分析】（1）结合平行线的判定，平角的定义对过程进行分析即可；
（2）过点A作直线l∥BC，利用平行线的性质，可得出∠3＝∠B，∠4＝∠C，结合平角等于180°，即可证出∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【解答】（1）解：依据是：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义．
（2）证明：如图所示，
过点A作直线l∥BC，
∴∠3＝∠B，∠4＝∠C．
∵∠BAC+∠3+∠4＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
考点七．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
18．（2022秋•新华区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°．
19．（2022秋•昭阳区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠DCE＝55°，则∠A等于（ ）
A．65°B．75°C．85°D．95°
【分析】根据角平分线的定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵CE是∠ACD的平分线，∠DCE＝55°，
∴∠ACD＝2∠DCE＝110°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣35°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
考点八．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
20．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（ ）
A．40°B．50°C．65°D．75°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A＝25°，再由折叠可得∠CED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠ADE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，
∴∠A＝90°﹣65°＝25°，
根据折叠可得∠CED＝∠B＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
21．（2022秋•宁波期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．75°C．55°D．65°
【分析】根据三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（2022秋•岳麓区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．5B．25°C．35°D．45°
【分析】根据直角三角形的性质计算可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
考点九．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
23．（2022秋•柳州期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由多边形的概念，通过实际操作，即可解决问题．
【解答】解：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是6边形．
故选：D．
【点评】本题考查多边形，关键是动手实践得到答案．
24．（2023秋•德惠市校级期末）一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．
【分析】根据任意凸多边形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．
【解答】解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
【点评】注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
25．（2022秋•西城区期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
【分析】（1）由三角形，梯形面积公式可求图形的面积，由图形可知图形内部格点数，边上格点数；
（2）由（1）即可总结结论；
（3）用m，n表示出长方形的面积，长方形内部格点数，边上格点数，即可解决问题．
【解答】解：（1）Ⅰ的面积是×3×4＝6，内部格点数是N＝3，边上的格点数是L＝8，N+＝7，
Ⅲ的面积是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，内部格点数是N＝2，边上的格点数是L＝9，N+＝6.5．
故答案为：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．
（2）由（1）可以总结出结论：S＝N+﹣1，
故答案为：S＝N+﹣1．
（3）长方形的面积＝mn，内部格点数是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，边上的格点数是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），
∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，
∴S＝N+﹣1．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是由长方形的长AB＝m，宽CD＝n，表示出，长方形内部格点数，边上格点数．
考点十．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
26．（2022秋•巩义市期末）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．180°B．210°C．240°D．270°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】A解：延长BA，DE，
∵AB∥ED，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
27．（2022秋•密山市校级期末）十二边形的外角和是（ ）
A．180°B．360°C．1800°D．2160°
【分析】根据任何多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：十二边形的外角和是360°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和，理解任何多边形的外角和是360度是关键．
28．（2022秋•周村区期末）如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是360°列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形边数是n，
根据题意得：（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6，
即这个多边形是六边形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握n边形的内角和为（n﹣2）⋅180°、外角和是360°是解题的关键．
29．（2022秋•青云谱区期末）已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．
【分析】由多边形的内角和定理，外角和是360°，即可计算．
【解答】解：设正多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，
∴n＝9，
∴正多边形的每个内角的度数是180°﹣360°÷9＝140°，
答：这个正多边形的边数是9，每个内角的度数是140°．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），外角和是360°．
30．（2022秋•新乡期末）一个各内角都相等的多边形截去一个角以后（截线不经过多边形的顶点），形成的另一个多边形的内角和比五边形的内角和多720°，求原多边形的边数及每个外角的度数．
【分析】设原多边形的边数为n，根据题意可得：（n+1﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°+720°，然后进行计算可求出多边形的边数，最后再利用任意多边形的外角和都是360°，进行计算即可解答．
【解答】解：设原多边形的边数为n，
由题意得：
（n+1﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°+720°，
（n﹣1）•180°＝3×180°+720°，
（n﹣1）•180°＝1260°，
n﹣1＝7，
n＝8，
∵原多边形各内角都相等，
∴每个外角的度数＝＝45°，
∴原多边形的边数为8，每个外角的度数为45°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式，与外角和是解题的关键．
【核心素养提升】
数学建模-构建方程模型求角度
1．（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
分类讨论思想
2．（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26B．26或34C．34D．20
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时；当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时，
∵6+6＝12＜14，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，
∴它的周长＝14+14+6＝34；
综上所述：它的周长为34，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
3．（2022秋•公安县期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
4．（2022秋•睢阳区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．
所以m+n＝0，n﹣3＝0．
所以m＝﹣3，n＝3．
问题：（1）若x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．
【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；
（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，
∴x2+2xy+y2+3y2﹣12y+12＝0，
∴（x+y）2+3（y﹣2）2＝0，
∴x+y＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣2，y＝2，
∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4，
∴xy的值为﹣4；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
因为△ABC是等腰三角形，
所以c＝5或4，
分两种情况：
当c＝5时，△ABC的周长为5+5+4＝14，
当c＝4，△ABC的周长为5+4+4＝13，
所以△ABC的周长为13或14．
【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
数学运算-用转化的思想方法解决问题
5．（2023春•侯马市期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
【中考热点聚焦】
热点1.三角形的三边关系
1．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．4cm，5cm，6cm
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＝8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5＜10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5＞6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
2．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
【分析】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3.（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为
（写出一个即可）．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．
【解答】解：设三角形的第三边长为x，
则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∵第三边的长为整数，
∴x＝3或4或5或6或7．
故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
热点2.三角形内角和定理与外角性质
4．（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80°B．95°C．100°D．110°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠5，根据三角形的外角性质求出∠3，根据对顶角相等求出∠4，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠4＝∠3＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝95°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ ．
【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝85°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝50°，利用对顶角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC．
【解答】解：如图，
由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，
∵∠EAB＝35°，
∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，
∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，
∴∠CGF＝∠AGD＝50°，
∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
热点3.多边形内、外角和与边数之间的关系
7．（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
8．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．
【解答】解：设此多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5，
即此多边形为五边形，
故答案为：五．
【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键．多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
N+
Ⅰ




Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ




Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
15.5
11
11
16.5