浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

这是一份浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

Ⅰ卷选择题部分
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2.复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3.已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
4.已知，则（ ）
A．B．C．D．
5.在的展开式中，常数项为（ ）
A．182B．42C．D．
6.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
7.嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中是初始速度，是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在时的初始速度为，经过后，速度变为.若嫦娥六号需要在时将速度减至月球表面的安全着陆速度，则（ ）
（精确到小数点后一位，参考数值：）
A．99.7B．99.8C．99.3D．96.3
8.已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．的一条对称轴是直线
C．D．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（ ）
A．某校高二年级共有学生600人，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为60的样本，若样本中男生有40人，则该校高二女生人数是200
B．数据2，4，5，6，8，10，17的第75百分位数为9
C．已知y关于x的回归直线方程为，若，则
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关，此推断犯错的概率不大于0.05
10.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，，则满足条件的△ABC有两个
C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为
D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是
11.已知正四棱台的所有顶点都在体积为的球的球面上，，，G为内部（含边界）的动点，则（ ）
A．正四棱台存在内切球
B．
C．直线AG与平面所成角的取值范围为
D．的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题部分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知实数，，且，则的最小值为 .
13.某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为 .（同一组数据用该组数据的中点值作代表）
（第13题图）
14.已知函数在上一个恰有两个零点，则实数m的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
已知向量，，.
（1）若，求；
（2）若，求在上的投影向量（用坐标表示）
16.（本题满分15分）
已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.
17.（本题满分15分）
如图，在三棱柱中，AB的中点为D．
（1）证明：面；
（2）若底面侧面，是锐角，，，，且和平面所成角的正弦值是，求平面与平面ABC所成角的余弦值.
18.（本题满分17分）
某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：
（1）甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；
（2）为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求P的取值范围；
（3）现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.
19.（本题满分17分）
已知函数的定义域为D.若，对于，都，使得，则称函数与具有“和缘”，a叫做函数与的“和缘”值.
（1）已知，，，，，，若0是函数与的“和缘”值，请写出所有符合题意的函数与的组合（不用说明理由）；
（2）已知且，，，.
（ⅰ）求的值域；
（ⅱ）若存在唯一实数a，使函数与具有“和缘”，求m的值.
舟山市2023学年第二学期期末检测
高二数学（答案）
一、选择题Ⅰ：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、选择题Ⅱ：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.13.414.
8提示：令，则；令，则
∴为奇函数；∵的图像关于对称
∴关于对称，即的周期为6，又关于对称
∴，，，，，
∵，在上单调递增
∴在上单调递减.
11.提示：如图，
设外接球球心为H
由球的体积，设，则，或（舍）
∴，O为球心即在AC和BD的中点，且，棱台高为，斜高为，则，∴正四棱台不存在内切球，A错；
，B正确；
作，则面，当G在时，直线AG与平面BDG所成角最小为30°，当G在O时，直线AG与平面BDG所成角最大为60°，C正确；
对于D，易得，且动点G只有落在或D上，的最大值是，且动点G只有落在O时最小值为
所以的范围为，故D正确
14.提示：分离参数得，
令，，即，
由在上图像得
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
解：
（1）∵，
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴.
∴
∴在上的投影向量为
16.（本题满分15分）
解：
（1）由题意可得：，
∵图象的相邻两条对称轴间的距离为，
∴的最小正周期为，即可得，
又，，所以，故
令，，
所以函数的递减区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，
∵，则或，
画出的图象如图所示：
则，
∴方程在内所有根的和为
17.（本题满分15分）
解：
（1）连接交于E，则E是的中点，
又D是AB中点，连接DE，则DE是的中位线，
∴，又面，面，
∴面
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵平面平面，
平面平面，
，平面ABC，
∴平面，
∵平面，
∴，又，
即，而，，平面，
∴平面.
∴和平面所成线面角是，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
在平面内过点作于O，则
，
∵平面平面，平面平面，
∴平面ABC，又平面ABC，
则，
在平面ABC内过O作于G，连接，
∵，OG，平面
∴平面，而平面，则，
从而是二面角的平面角，
显然，，
∴
所以平面与平面ABC所成的角的余弦值是
18.（本题17分）
解：
（1）设“甲担任前锋”；
“甲担任中锋”：
“甲担任后卫”；
“某场比赛中该球队获胜”；则：
，，，
，，
由全概率公式中可得：
所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是
（2）设这10场比赛，Ⅰ队获胜的场数是k，则P（Ⅰ队获胜k场），
（3）设“5场比赛中Ⅰ队获胜i场”（，4，5），“5场比赛中Ⅰ队至少获胜3场”，
；
；
，
则，
，
同理可得，
，
则X的分布列为：
.
19.（本题满分17分）
解：
（1）有两组符合，第一组：，；
第二组：与；
（写对一组得2分，错写一组扣2分，扣完为止）
（2）（ⅰ）设，，
∵在递减，递增，
∴，，
即在上的值域为
（ⅱ）∵
令，，，，，
则，
令，
依题意，即存在唯一的实数a，对任意，都存在满足，
即，
因为，则，故，
记的值域为H，则，，
的对称轴为，
当，则时，在上递增，
所以，，即，
所以，得，
由于a唯一，所以，解得，不符合题意；
当，即时，在上递增，
所以，，，
所以则，得，
由于a唯一，所以，解得，不符合题意；
当，即时，，，，
所以，得，
由于a唯一，所以，解得，符合题意：
当，即时，
，，，
所以，得，
由于a唯一，所以，解得（舍），满足题意；
综上，m的值为或
另解：依题意，即存在唯一的实数a，对任意，都存在满足
，即，因为，则，
故的值域等于，
所以，
即，，，
的对称轴，
当，则时，在上递增，
所以，，
所以，解得，不符合题意；
当，即时，在上递增，
所以，，
所以，解得，不符合题意
当，即时，，，
所以，解得，符合题意；
当，即时，，，
所以，解得，（舍去），满足题意；
综上，m的值为或
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
D
B
A
A
D
9
10
11
AC
ACD
BCD
X
3
4
5
P