2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第28课时 圆的基本性质（课件）

这是一份2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第28课时 圆的基本性质（课件），共50页。PPT课件主要包含了圆的基本性质，考点精讲，圆的相关概念及性质，相关概念，∠CAB，确定圆的条件，圆周角定理及其推论，圆周角，垂径定理及其推论，三角形的外接圆等内容，欢迎下载使用。
【对接教材】北师：九下第三章P65～P88、P97～P99； 人教：九上第二十四章P79～P91、P105～P110.
弦、弧、圆心角的关系
S＝ lr＝ nar
证明：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
证明：如解图，连接OB，OD.
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的
直径，点D是⊙O上一点(点C与点D在AB异侧)，连接CD交AB于点E，连接OC、AD、BD.
(1)∠ACB＝_____；【解题依据】用到的圆的性质为______________________.
(2)若∠BAC＝26°，则∠ACO＝_____，∠BOC＝_____；【解题依据】求∠BOC时用到的圆的性质___________________________________.
直径所对的圆周角为90°
(3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，则∠ACO＝_____；
同弧所对的圆周角等于圆心
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝_____，若点B为 的中点，则∠BCD＝_____，∠COB＝_____，∠OCB＝_____；【解题依据】第一空用到的圆的性质为______________________.(5)当CD⊥AB时，若AB＝10，CD＝8，则BE＝____.【解题依据】用到的圆的性质为_______________________________________________.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作
⊙O，分别交BC、AC于点D、E，连接DE.
(1)求证：DE＝BD；
(1)证明：如解图，连接AD、BE，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠DBE＝∠CAD，∠DEB＝∠BAD，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；
(2)若AE＝DE，求∠ABD的度数；
(2)解：如解图，连接BE，
易证△ABE≌△CBE(ASA)，∴AB＝CB，又∵AB＝AC，∴AB＝CB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝60°；
在△ABE和△CBE中
(3)若BC＝6，AB＝5，求AE的长；
(4)如图②，连接OD、BE，交于点F.①求证：OD⊥BE；
(4)①证明：如解图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴DC＝DB.∵OA＝OB，∴OD是△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE；
②若 ，求 的值；
(5)如图③，过点D作DG⊥AC，交AC于点G.①求证：CD2＝AB·CG；
(5)①证明：如解图，连接AD，
②若OA＝5，sin∠CAB＝ ，求DG的长；
②解：如解图，连接BE，
∴BE＝8.∵DG⊥AC，∴∠DGA＝90°，∵CD＝BD，∴DG∥BE.∴DG是△BEC的中位线，∴DG＝ BE＝4；
(6)如图④，过点B作BH⊥AB交AC的延长线于点H.①求证：∠BAC＝2∠CBH；
(6)①证明：如解图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAD＋∠ABD＝90°.∵BH⊥AB，∴∠CBH＋∠ABD＝90°，∴∠CBH＝∠BAD.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD.∴∠BAC＝2∠CBH；
②若AB＝3，CH＝2，求tan∠CBH的值．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAC＋∠ABE＝90°.∵BH⊥AB，∴∠ABE＋∠EBH＝90°，∴∠BAC＝∠EBH.由①知∠BAC＝2∠CBH，∴∠EBH＝2∠CBH，∴∠EBC＝∠CBH.∵AB＝AC＝3，CH＝2，∴AH＝AC＋CH＝5.
圆周角定理及其推论的相关计算(包头3考，呼和浩特 2考，赤峰4考)
1. (2021赤峰10题3分)如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是 上任意一点，连接 BE、CE.则∠BEC的度数为(　　)
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
2. (2022赤峰11题3分)如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(－4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点，则∠CDO的正弦值是(　　)
A. B. － C. D.
3. (2023包头24题10分)如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2 ，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.(1)求⊙O半径的长；
如解图，连接OA、OC，过点O作OH⊥AC于点H.
(2)求证：AB＋BC＝BM.
(2)证明：如解图，在BM上截取BE＝BC，连接CE，
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD.
由(1)知△AMC为等边三角形，∴AC＝MC，∴△ACB≌△MCE(SAS)，∴AB＝ME.∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.
4. (2021包头24题10分)如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交 于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF.(1)求证：∠GAD＋∠EDF＝180°；
(1)证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°.∵FG⊥AB，∴∠AHF＝90°，∴∠AED＝∠AHF，∴DE∥GF，∴∠EDF＋∠DFG＝180°.∵∠GAD＝∠DFG，∴∠GAD＋∠EDF＝180°；
(2)若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．
(2)解：如解图，连接OF，
∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ACB＝45°，∴AD＝CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴DF⊥AC，∴AF＝CF.
又∵OA＝OD，∴OF是△ADC的中位线，∴OF∥DC，∴∠AOF＝∠ADC＝90°，∴∠MFO＋∠FMO＝90°.∵∠AHM＝90°，∴∠MAH＋∠AMH＝90°.∵∠FMO＝∠AMH，∴∠MFO＝∠MAH，∴∠MFO＝∠BAD.又∵∠FOM＝∠ADB＝90°，∴△FMO∽△ABD，∴ ，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝ ＝2，AD＝4，∴BD＝2，OF＝OA＝2，∴ ，∴MO＝1，∴AM＝1，∴在Rt△MOF中， .∵∠AHM＝∠FOM＝90°，∠AMH＝∠FMO，∴△AHM∽△FOM，∴ ，即 ，∴HM＝ ，
5. (2021荆州)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是(　　)
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
6. (2023本溪)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝____．
垂径定理的相关计算
7. (2023赤峰10题3分)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为(　　)
A. 30° 　　　B. 40° C. 50° 　　　D. 60°
8. (2021玉林)学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”，下列判断正确的是(　　)
A. 两人说的都对B. 小铭说的对，小熹说的反例不存在C. 两人说的都不对D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
9. (2021鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图①，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图②，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(　　)
A. 1米 B. (4－ )米C. 2米 D. (4＋ )米
10. (2020赤峰10题3分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A. 3π 　　　B. 4π C. 6π 　　　D. 9π
正多边形与圆(呼和浩特5考)
11. (2021呼和浩特8题3分)如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是(　　)
A. ，π≈8sin22.5° B. ，π≈4sin22.5°C. ，π≈8sin22.5° D. ，π≈4sin22.5°
12. (2020呼和浩特23题10分)某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比 ≈0.618.如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．(其他可同理得出)(1)求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
(1)证明：如解图，连接O与正五边形各顶点，
(2)求证： ，且其比值k＝ ；
∵∠AMN＝∠MAB＋∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，∴△AMN∽△BAN，