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沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题03一元一次方程(重点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题03一元一次方程(重点)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么a=bB．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= yD．如果a=b，那么
2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣1﹣3x＋2＝12B．8x﹣4﹣9x＋6＝12
C．8x﹣4﹣9x﹣6＝1D．8x﹣4﹣9x﹣6＝12
4．下列变形正确的是（ ）
A．方程的解是B．把方程移项得：
C．把方程去括号得：D．方程的解是
5．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
6．某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
7．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．2.5C．1D．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．方程是关于x的一元一次方程，那么k的值是______
12．若代数式的值为3，则_________．
13．已知，利用等式性质可求得的值是______．
14．的值与的值互为相反数，那么的值是___________．
15．关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
16．已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值为 _____．
17．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出个位置的9个数（如6、7、8、13、14、15、20、21、22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为44，则这9个数的和为______．
18．如图所示的运算程序：
若输入一个数x，经过两次输出的结果的和为9，则_________．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
21．圆圆在做作业题计算：时，发现题中有一个常数被墨水污染了．她看这道题参考答案是6，马上就知道了被污染的常数．你能求出被污染的常数吗？写出你的求解过程．
22．有两个盒子，一个盒子里装黑棋子，一个盒子里装白棋子，黑棋子数是白棋子数的．如果从装白棋子的盒子里取出14个换成黑棋子，放到装黑棋子的盒子里，那么这时黑棋子数是白棋子数的．问原来两个盒子里装黑、白棋子各多少个？
23．已知关于x的方程①的解比方程②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
24．如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．
(1)若a与c互为相反数，则__________；
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值．
25．已知是关于x的一元一次方程，求式子的值．
26．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
(1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；
(2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
(3)小红家6月份和7月份的用水量共50，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为______，______．
27．嘉嘉和琪琪在玩一个圆珠游戏，如图，三个圆珠可以在槽内左右滚动，当圆珠发生碰撞时，就得到相撞圆珠上的代数式所表示数的和y．当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，y的值总不变．
(1)求a的值；
(2)若x是一个整数，当某些圆珠相撞时，得到y的值都恰好为，求x的值．
28．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
(1)用含的式子表示点到点和点的距离，___________，___________；
(2)当点运动至点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
29．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
户月用水量（）
收费标准（元/）
不超过
3.5
超过，但不超过的部分
5
超过的部分
7
专题03 一元一次方程（重点）
一、单选题
1．下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么a=bB．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= yD．如果a=b，那么
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【解析】A.如果，那么两边都乘以c可得a=b，故正确；
B.当a=2，b=-2时，满足|a|=|b|，但a≠b，故不正确；
C.当a=0时，满足ax =ay，但x与 y不一定相等，故不正确；
D.如果a=b，当c=0时，不成立，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【解析】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
3．解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣1﹣3x＋2＝12B．8x﹣4﹣9x＋6＝12
C．8x﹣4﹣9x﹣6＝1D．8x﹣4﹣9x﹣6＝12
【答案】D
【分析】根据等式的性质，方程两边都乘以分母的最小公倍数12，整理即可．
【解析】解：方程两边都乘以12得，
4（2x-1）-3（3x+2）=12，
8x-4-9x-6=12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
4．下列变形正确的是（ ）
A．方程的解是B．把方程移项得：
C．把方程去括号得：D．方程的解是
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解法分别判断即可．
【解析】解：A、方程的解是，故错误；
B、把方程移项得：，故错误；
C、把方程去括号得：，故错误；
D、方程的解是，故正确；
故选D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
5．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】D
【分析】将代入方程即可求解．
【解析】解：将代入方程得：
解得
故答案为D．
【点睛】此题考查了方程解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．
6．某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，
解得：a＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【解析】解：∵关于的方程有解，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
8．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．2.5C．1D．
【答案】A
【分析】先将两个一元一次方程的解求出，然后根据这两个解互为相反数求解即可得．
【解析】解：，
解得：，
，
解得：，
∵方程的两个解互为相反数，
∴，
解得：
故选：A．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程的方程，相反数的定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【解析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
10．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据关于x的一元一次方程的解为x=2得出关于y的一元一次方程中的2y+1=2，再求出方程的解即可．
【解析】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=2，
∴关于y的一元一次方程中的2y+1=2，
解得：y=，
即方程的解是y=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是等量代换得出一元一次方程2y+1=2．
二、填空题
11．方程是关于x的一元一次方程，那么k的值是______
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得出 ，且 ，解绝对值及不等式即可得出答案．
【解析】由题意得，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，正确把握一次项系数不能为零是解题的关键．
12．若代数式的值为3，则_________．
【答案】8
【分析】根据题意列出方程，再解出方程，即可求解．
【解析】解：由题意得：，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
13．已知，利用等式性质可求得的值是______．
【答案】3
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去，可得．
【解析】解：，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
14．的值与的值互为相反数，那么的值是___________．
【答案】
【分析】将两个整式相加得0，即可求出x的值．
【解析】解：∵与的值互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义和解一元一次方程，解题关键是能正确列出方程与解方程．
15．关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
【答案】8
【分析】先求出的解，然后代入，即可求出答案．
【解析】解：∵，
解得：；
把代入中，得
，
解得：；
故答案为：8；
【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
16．已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值为 _____．
【答案】0或1或3
【分析】解方程，用含有k的式子表示出x，即，再根据4除以几得正整数，求出整数k．
【解析】解：，
移项，得，
显然，
解得，
∵k为整数，关于x的方程的解为正整数，
∴或或，
解得，或或，
故答案为：0或1或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，得出关于k的一元一次方程．
17．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出个位置的9个数（如6、7、8、13、14、15、20、21、22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为44，则这9个数的和为______．
【答案】198
【分析】观察圈出的数字之间的关系，设圈出的数字中最小的为x，则最大数为，列出方程，求出x的值，即可求出9个数之和．
【解析】解：设圈出的数字中最小的为x，则最大数为，
根据题意得：，
移项合并得：，
解得：，
∴9个数之和为：．
故答案为：198．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，观察日历，找出圈出的9个数之间的关系是解题的关键．
18．如图所示的运算程序：
若输入一个数x，经过两次输出的结果的和为9，则_________．
【答案】3或6或
【分析】分类讨论输入数字奇偶，根据流程图代入计算即可得到答案；
【解析】解：①当为奇数时，由题意可得，
第一次输出为：，是偶数，
第二次数出为：，
∵经过两次输出的结果的和为9，
∴，
解得：；
②当x为偶数时，由题意可得，
第一次输出为：，
I当为奇数时，
第二次数出为：，
，
解得，
II当为偶数时，
第二次数出为：，
，
解得：，
∴x为3或6或，
故答案为：3或6或．
【点睛】本题考查流程图计算及一元一次方程应用，解题的关键是分类讨论出所有情况．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）按解一元一次方程的一般步骤，去括号，再合并同类项即可；
（3）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（4）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
(1)
解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
(2)
解：，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得；
(3)
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
(4)
解：，
整理，得，
移项，得，
合并，得，
所以．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母；等式的性质
(2)三，移项没有变号
(3)见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤先去括号，依据为等式的性质；
（2）根据移项要变号，即可得出结论；
（3）根据解一元一次方程的步骤解一元一次方程即可求解．
【解析】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：去分母；等式的性质；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没有变号，
故答案为：三，移项没有变号；
（3）解方程：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
方程两边同除以2，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21．圆圆在做作业题计算：时，发现题中有一个常数被墨水污染了．她看这道题参考答案是6，马上就知道了被污染的常数．你能求出被污染的常数吗？写出你的求解过程．
【答案】，过程见解析
【分析】设被污染的数是，根据题意列方程可得，求解即可．
【解析】解：设被污染的数是，由题意得
解得，
所以，被污染的常数是．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．有两个盒子，一个盒子里装黑棋子，一个盒子里装白棋子，黑棋子数是白棋子数的．如果从装白棋子的盒子里取出14个换成黑棋子，放到装黑棋子的盒子里，那么这时黑棋子数是白棋子数的．问原来两个盒子里装黑、白棋子各多少个？
【答案】原来两个盒子里装黑棋子个，白棋子个．
【分析】设原来两个盒子里装白棋子个，则黑棋子数是个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】解：，
解得：，
则黑棋子数是（个）
答：原来两个盒子里装黑棋子个，白棋子个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．已知关于x的方程①的解比方程②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；
（2）根据题意可得方程①的解为，再代入方程①，得到关于m的方程，即可求解．
【解析】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为，
把代入方程①得，，
解得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
24．如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．
(1)若a与c互为相反数，则__________；
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值．
【答案】(1)4
(2)．
【分析】（1）根据a与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到d的值；
（2）根据这四个数中最小数与最大数的和等于10，得到，由，得到一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解析】（1）解：∵a与c互为相反数，
∴，
故答案为：4；
（2）解：∵这四个数中最小数与最大数的和等于10，
∴，
∵相邻两点间的距离均为2个单位长度．
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的和等于10列出方程是解题的关键．
25．已知是关于x的一元一次方程，求式子的值．
【答案】2 016
【分析】根据是关于x的一元一次方程，得到，求得m的值，解方程得到x的值，代入求值即可．
【解析】∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
原方程变形为，
解得，
∴
=．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义即含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程，一元一次方程的解法，代数式的值的计算，熟练掌握一元一次方程的概念求得m的值是解题的关键．
26．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
(1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；
(2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
(3)小红家6月份和7月份的用水量共50，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为______，______．
【答案】(1)73
(2)当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；
(3)16，34
【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费；
（2）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费；
（3）分类进行讨论计算．
【解析】（1）解：由题意可得：（元）．
答：该用户缴纳的水费是73元．
故答案为：73；
（2）解：当时，应缴纳水费元；
当时，应缴纳水费元；
当时，应缴纳水费元；
综上，当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；
（3）解：设小红家6月份用水，则7月份的用水，
当时，则，
依题意得，
解得，；
当时，则，
依题意得，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，小红家6月份用水，则7月份的用水．
故答案为：16，34．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程或代数式是解题的关键．
27．嘉嘉和琪琪在玩一个圆珠游戏，如图，三个圆珠可以在槽内左右滚动，当圆珠发生碰撞时，就得到相撞圆珠上的代数式所表示数的和y．当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，y的值总不变．
(1)求a的值；
(2)若x是一个整数，当某些圆珠相撞时，得到y的值都恰好为，求x的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）将三个数相加，由三个数的和不变，即可得出2+a=0，解之即可得出a的值；
（2）当前两个滚珠相撞时，由输出结果为-1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，舍去；当后两个滚珠相撞时，由输出结果为-1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．
【解析】（1）解：，
当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，得到y的值总不变，
，
解得：；
（2）解：当时，
因为，所以，
解得：（因为x为整数，舍去），
当时，
因为，
所以，
解得：．
答：x的值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据输出结果，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．
28．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
(1)用含的式子表示点到点和点的距离，___________，___________；
(2)当点运动至点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
【答案】(1)，
(2)能为个单位长度，点所表示的数为或
【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程得出，根据数轴上两点距离得出
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：①当点还没追上点时，即点在点的左侧，②当点追上并超过点时，即点在点的右侧，分别列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：；（＋）
故答案为：，；
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：
①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1），
则，，
此时，
解得
所以点所表示的数是＋；
②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2），
则，，
此时，
解得
点所表示的数是＋．
综上，点开始运动后，两点之间的距离能为个单位长度，点所表示的数为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
29．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
【答案】(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度
(2)
(3)或
【分析】（1）先计算出，的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；
（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论即可．
【解析】（1）解：根据题意可得：
，，
当秒时，点M的运动路程：，点N的运动路程：，
∴经过4秒，点M在上，点N和点B重合，
∴点M表示的数为：，点N表示的数为：，
∴M、N两点距离为：．
∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．
（2）由（1）可得：，，
∴点M到点O需要时间：秒，点N到点B需要时间：秒，
当相遇时：，
解得：．
（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，
∴点P为表示的数为6，
∴点A与点P距离为，点C与点P距离为，
∵M，N与点P相距的长度之和等于6，
∴点M和点N都在上，
①当点M在上，点N在上时：
∵，，
∴，
解得：，
②当点M在上，点N在上时：
∵，，
∴，
解得：；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上数轴以及一元一次方程，解题的关键在正确理解题意，找出等量关系并列出方程求解．
户月用水量（）
收费标准（元/）
不超过
3.5
超过，但不超过的部分
5
超过的部分
7
1．下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么a=bB．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= yD．如果a=b，那么
2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣1﹣3x＋2＝12B．8x﹣4﹣9x＋6＝12
C．8x﹣4﹣9x﹣6＝1D．8x﹣4﹣9x﹣6＝12
4．下列变形正确的是（ ）
A．方程的解是B．把方程移项得：
C．把方程去括号得：D．方程的解是
5．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
6．某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
7．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．2.5C．1D．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．方程是关于x的一元一次方程，那么k的值是______
12．若代数式的值为3，则_________．
13．已知，利用等式性质可求得的值是______．
14．的值与的值互为相反数，那么的值是___________．
15．关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
16．已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值为 _____．
17．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出个位置的9个数（如6、7、8、13、14、15、20、21、22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为44，则这9个数的和为______．
18．如图所示的运算程序：
若输入一个数x，经过两次输出的结果的和为9，则_________．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
21．圆圆在做作业题计算：时，发现题中有一个常数被墨水污染了．她看这道题参考答案是6，马上就知道了被污染的常数．你能求出被污染的常数吗？写出你的求解过程．
22．有两个盒子，一个盒子里装黑棋子，一个盒子里装白棋子，黑棋子数是白棋子数的．如果从装白棋子的盒子里取出14个换成黑棋子，放到装黑棋子的盒子里，那么这时黑棋子数是白棋子数的．问原来两个盒子里装黑、白棋子各多少个？
23．已知关于x的方程①的解比方程②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
24．如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．
(1)若a与c互为相反数，则__________；
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值．
25．已知是关于x的一元一次方程，求式子的值．
26．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
(1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；
(2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
(3)小红家6月份和7月份的用水量共50，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为______，______．
27．嘉嘉和琪琪在玩一个圆珠游戏，如图，三个圆珠可以在槽内左右滚动，当圆珠发生碰撞时，就得到相撞圆珠上的代数式所表示数的和y．当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，y的值总不变．
(1)求a的值；
(2)若x是一个整数，当某些圆珠相撞时，得到y的值都恰好为，求x的值．
28．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
(1)用含的式子表示点到点和点的距离，___________，___________；
(2)当点运动至点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
29．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
户月用水量（）
收费标准（元/）
不超过
3.5
超过，但不超过的部分
5
超过的部分
7
专题03 一元一次方程（重点）
一、单选题
1．下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么a=bB．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= yD．如果a=b，那么
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【解析】A.如果，那么两边都乘以c可得a=b，故正确；
B.当a=2，b=-2时，满足|a|=|b|，但a≠b，故不正确；
C.当a=0时，满足ax =ay，但x与 y不一定相等，故不正确；
D.如果a=b，当c=0时，不成立，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【解析】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
3．解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣1﹣3x＋2＝12B．8x﹣4﹣9x＋6＝12
C．8x﹣4﹣9x﹣6＝1D．8x﹣4﹣9x﹣6＝12
【答案】D
【分析】根据等式的性质，方程两边都乘以分母的最小公倍数12，整理即可．
【解析】解：方程两边都乘以12得，
4（2x-1）-3（3x+2）=12，
8x-4-9x-6=12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
4．下列变形正确的是（ ）
A．方程的解是B．把方程移项得：
C．把方程去括号得：D．方程的解是
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解法分别判断即可．
【解析】解：A、方程的解是，故错误；
B、把方程移项得：，故错误；
C、把方程去括号得：，故错误；
D、方程的解是，故正确；
故选D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
5．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】D
【分析】将代入方程即可求解．
【解析】解：将代入方程得：
解得
故答案为D．
【点睛】此题考查了方程解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．
6．某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，
解得：a＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【解析】解：∵关于的方程有解，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
8．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．2.5C．1D．
【答案】A
【分析】先将两个一元一次方程的解求出，然后根据这两个解互为相反数求解即可得．
【解析】解：，
解得：，
，
解得：，
∵方程的两个解互为相反数，
∴，
解得：
故选：A．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程的方程，相反数的定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【解析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
10．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据关于x的一元一次方程的解为x=2得出关于y的一元一次方程中的2y+1=2，再求出方程的解即可．
【解析】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=2，
∴关于y的一元一次方程中的2y+1=2，
解得：y=，
即方程的解是y=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是等量代换得出一元一次方程2y+1=2．
二、填空题
11．方程是关于x的一元一次方程，那么k的值是______
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得出 ，且 ，解绝对值及不等式即可得出答案．
【解析】由题意得，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，正确把握一次项系数不能为零是解题的关键．
12．若代数式的值为3，则_________．
【答案】8
【分析】根据题意列出方程，再解出方程，即可求解．
【解析】解：由题意得：，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
13．已知，利用等式性质可求得的值是______．
【答案】3
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去，可得．
【解析】解：，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
14．的值与的值互为相反数，那么的值是___________．
【答案】
【分析】将两个整式相加得0，即可求出x的值．
【解析】解：∵与的值互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义和解一元一次方程，解题关键是能正确列出方程与解方程．
15．关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
【答案】8
【分析】先求出的解，然后代入，即可求出答案．
【解析】解：∵，
解得：；
把代入中，得
，
解得：；
故答案为：8；
【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
16．已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值为 _____．
【答案】0或1或3
【分析】解方程，用含有k的式子表示出x，即，再根据4除以几得正整数，求出整数k．
【解析】解：，
移项，得，
显然，
解得，
∵k为整数，关于x的方程的解为正整数，
∴或或，
解得，或或，
故答案为：0或1或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，得出关于k的一元一次方程．
17．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出个位置的9个数（如6、7、8、13、14、15、20、21、22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为44，则这9个数的和为______．
【答案】198
【分析】观察圈出的数字之间的关系，设圈出的数字中最小的为x，则最大数为，列出方程，求出x的值，即可求出9个数之和．
【解析】解：设圈出的数字中最小的为x，则最大数为，
根据题意得：，
移项合并得：，
解得：，
∴9个数之和为：．
故答案为：198．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，观察日历，找出圈出的9个数之间的关系是解题的关键．
18．如图所示的运算程序：
若输入一个数x，经过两次输出的结果的和为9，则_________．
【答案】3或6或
【分析】分类讨论输入数字奇偶，根据流程图代入计算即可得到答案；
【解析】解：①当为奇数时，由题意可得，
第一次输出为：，是偶数，
第二次数出为：，
∵经过两次输出的结果的和为9，
∴，
解得：；
②当x为偶数时，由题意可得，
第一次输出为：，
I当为奇数时，
第二次数出为：，
，
解得，
II当为偶数时，
第二次数出为：，
，
解得：，
∴x为3或6或，
故答案为：3或6或．
【点睛】本题考查流程图计算及一元一次方程应用，解题的关键是分类讨论出所有情况．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）按解一元一次方程的一般步骤，去括号，再合并同类项即可；
（3）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（4）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
(1)
解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
(2)
解：，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得；
(3)
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
(4)
解：，
整理，得，
移项，得，
合并，得，
所以．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母；等式的性质
(2)三，移项没有变号
(3)见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤先去括号，依据为等式的性质；
（2）根据移项要变号，即可得出结论；
（3）根据解一元一次方程的步骤解一元一次方程即可求解．
【解析】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：去分母；等式的性质；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没有变号，
故答案为：三，移项没有变号；
（3）解方程：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
方程两边同除以2，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21．圆圆在做作业题计算：时，发现题中有一个常数被墨水污染了．她看这道题参考答案是6，马上就知道了被污染的常数．你能求出被污染的常数吗？写出你的求解过程．
【答案】，过程见解析
【分析】设被污染的数是，根据题意列方程可得，求解即可．
【解析】解：设被污染的数是，由题意得
解得，
所以，被污染的常数是．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．有两个盒子，一个盒子里装黑棋子，一个盒子里装白棋子，黑棋子数是白棋子数的．如果从装白棋子的盒子里取出14个换成黑棋子，放到装黑棋子的盒子里，那么这时黑棋子数是白棋子数的．问原来两个盒子里装黑、白棋子各多少个？
【答案】原来两个盒子里装黑棋子个，白棋子个．
【分析】设原来两个盒子里装白棋子个，则黑棋子数是个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】解：，
解得：，
则黑棋子数是（个）
答：原来两个盒子里装黑棋子个，白棋子个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．已知关于x的方程①的解比方程②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；
（2）根据题意可得方程①的解为，再代入方程①，得到关于m的方程，即可求解．
【解析】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为，
把代入方程①得，，
解得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
24．如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．
(1)若a与c互为相反数，则__________；
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值．
【答案】(1)4
(2)．
【分析】（1）根据a与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到d的值；
（2）根据这四个数中最小数与最大数的和等于10，得到，由，得到一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解析】（1）解：∵a与c互为相反数，
∴，
故答案为：4；
（2）解：∵这四个数中最小数与最大数的和等于10，
∴，
∵相邻两点间的距离均为2个单位长度．
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的和等于10列出方程是解题的关键．
25．已知是关于x的一元一次方程，求式子的值．
【答案】2 016
【分析】根据是关于x的一元一次方程，得到，求得m的值，解方程得到x的值，代入求值即可．
【解析】∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
原方程变形为，
解得，
∴
=．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义即含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程，一元一次方程的解法，代数式的值的计算，熟练掌握一元一次方程的概念求得m的值是解题的关键．
26．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
(1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；
(2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
(3)小红家6月份和7月份的用水量共50，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为______，______．
【答案】(1)73
(2)当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；
(3)16，34
【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费；
（2）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费；
（3）分类进行讨论计算．
【解析】（1）解：由题意可得：（元）．
答：该用户缴纳的水费是73元．
故答案为：73；
（2）解：当时，应缴纳水费元；
当时，应缴纳水费元；
当时，应缴纳水费元；
综上，当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；
（3）解：设小红家6月份用水，则7月份的用水，
当时，则，
依题意得，
解得，；
当时，则，
依题意得，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，小红家6月份用水，则7月份的用水．
故答案为：16，34．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程或代数式是解题的关键．
27．嘉嘉和琪琪在玩一个圆珠游戏，如图，三个圆珠可以在槽内左右滚动，当圆珠发生碰撞时，就得到相撞圆珠上的代数式所表示数的和y．当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，y的值总不变．
(1)求a的值；
(2)若x是一个整数，当某些圆珠相撞时，得到y的值都恰好为，求x的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）将三个数相加，由三个数的和不变，即可得出2+a=0，解之即可得出a的值；
（2）当前两个滚珠相撞时，由输出结果为-1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，舍去；当后两个滚珠相撞时，由输出结果为-1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．
【解析】（1）解：，
当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，得到y的值总不变，
，
解得：；
（2）解：当时，
因为，所以，
解得：（因为x为整数，舍去），
当时，
因为，
所以，
解得：．
答：x的值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据输出结果，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．
28．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
(1)用含的式子表示点到点和点的距离，___________，___________；
(2)当点运动至点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
【答案】(1)，
(2)能为个单位长度，点所表示的数为或
【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程得出，根据数轴上两点距离得出
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：①当点还没追上点时，即点在点的左侧，②当点追上并超过点时，即点在点的右侧，分别列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：；（＋）
故答案为：，；
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：
①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1），
则，，
此时，
解得
所以点所表示的数是＋；
②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2），
则，，
此时，
解得
点所表示的数是＋．
综上，点开始运动后，两点之间的距离能为个单位长度，点所表示的数为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
29．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
【答案】(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度
(2)
(3)或
【分析】（1）先计算出，的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；
（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论即可．
【解析】（1）解：根据题意可得：
，，
当秒时，点M的运动路程：，点N的运动路程：，
∴经过4秒，点M在上，点N和点B重合，
∴点M表示的数为：，点N表示的数为：，
∴M、N两点距离为：．
∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．
（2）由（1）可得：，，
∴点M到点O需要时间：秒，点N到点B需要时间：秒，
当相遇时：，
解得：．
（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，
∴点P为表示的数为6，
∴点A与点P距离为，点C与点P距离为，
∵M，N与点P相距的长度之和等于6，
∴点M和点N都在上，
①当点M在上，点N在上时：
∵，，
∴，
解得：，
②当点M在上，点N在上时：
∵，，
∴，
解得：；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上数轴以及一元一次方程，解题的关键在正确理解题意，找出等量关系并列出方程求解．
户月用水量（）
收费标准（元/）
不超过
3.5
超过，但不超过的部分
5
超过的部分
7
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