吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第七次模拟考试数学试卷

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第七次模拟考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了已知，，，，则，下列说法中，正确的命题是等内容，欢迎下载使用。
高三年级第七次模拟考试
考试时长：120分钟试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场／座位号填写存答题卡指定位置上，并粘贴条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知，则z的虚部为（ ）
A．2iB．－2iC．－2D．2
3．在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48B．24C．12D．8
4．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若cm，且，则原图形中AC边上的高为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
5．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．或
6．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算，也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ）
A．1B．2C．5D．6
7．过抛物线上的一点P作圆的切线，切点为A，B，．则可能的取值是（ ）
A．1B．4C．D．5
8．若方程有三个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变抉后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3．
B．在线性回归模型拟合中，若相关系数厂的绝对值越小，则样本的线性相关性越强．
C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大．
D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，，，则．
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点为，点P是C的右支上一点，
则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线与C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若I为的内心，则为定值
11．已知正方体边长为2，动点M满足 （，，），则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝y＝1，时，则直线AM⊥平面
B．当，z＝0，时，的最小值为
C．当x＋y＝1，时，AM的取值范围为
D．当x＋y＋z＝1，且时，则点M的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．数列满足，若，，则数列的前20项的和为______．
13．在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为，则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率p为______．
14．若对任意的，不等式恒成立，则a的最大整数值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）
某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与．招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败．若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立．
（1）若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为，，，求小李成功竞聘的概率P；
（2）统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人．（四舍五入取整）
附：若随机变量，则
，
16．（满分15分）
已知函数．
（1）若，求的值域；
（2）若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值．
17．（满分15分）
如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面ABC等边三角形．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）求平面ABC与平面的夹角的余弦值．
18．（满分17分）
如图，曲线是以原点O为中心，，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是和的交点，我们把和合成的曲线W称为“月蚀圆”．
（1）求所在椭圆和所在抛物线的标准方程；
（2）过作与y轴不垂直的直线l，l与W依次交于B，C，D，E四点，P，Q为所在抛物线的准线上两点，M，N分别为CD，BE的中点．设，，，分别表示，，，的面积，求．
19．（满分17分）
函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；
（3）盒子中有编号为1～100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
数学七模参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、【答案】D
【详解】解不等式，得或，于是，
由，得，解得，则，
所以．
2．【答案】C
【详解】由，其虚部为－2．
3、【答案】B
【详解】因为，是方程的两根，所以，又因为是等差数列，
根据等差数列的性质有：，设的前6项和为，则
．
4．【答案】D
【详解】画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在x轴上取，
过点D作轴，并使，
连接AB，BC，则即为，原来的图形，如图②所示：
图①图②图③
原图形中，BD⊥AC于点D，
则BD为原图形中AC边上的高，且，
在直观图③中作于点，则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
故原图形中AC边上的高为．
5．【答案】B
【详解】因为，所以，所以，
因为，，所以，所以
，
又由知
又因为，所以，
6．【答案】D
【详解】由题意知个位数应为除以7的余数，
因为，除以7的余数为6．
7．【答案】D
【详解】设，则，圆C的圆心，半径r＝1
由PA，PB切圆C于点A，B，得PC⊥AB，PA⊥AC，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，ABC不是，D是．
8．【答案】B
【详解】由方程，可得，
令，则，令，其中，则，令
，得，列表如下：
函数的图象如下图所示：
由于方程有三个不同的解，而关于t的二次方程至多有两个根．当关于t的二次方程有两根时，设这两根分别为，，不妨设，则，①，或，②，或，③，
由①得，解得，
在②中，将代入，可得a＝1，
所以，与矛盾，故无解；
在③中，，代入，可得，
所以，与矛盾，故无解．
综上所述，实数a的取值范围是．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】AD
【详解】对于A，，两边取对数，可得，则，
，∴，，，故A正确，
对于B，若越大，则样本的线性相关性越强，故B错误；
对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C错误；
对于D，回归直线方程中，，故D正确；
10．【答案】AC
【详解】对A，得a＝1，，c＝2，所以，，
所以，
当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号，
即的最小值为8，故A正确；
对B，若直线l经过，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，
与双曲线C的两个交点为，，此时，故B错误；
对C，因为，，
所以，，
两式相加得，，
所以，故C正确；
对D，因为I为的内心，则I不恒在双曲线C上，
不为定值，故D错误．
11．【答案】BC
【详解】对于A中，由于x＝y＝1，时，则，
此时M为的中点，在正方体中，由平面，所以直线AM不会垂直平面，所以A错误；
对于B中，在AB上取点H，使，在DC上取点K，使，
因为，z＝0，，即，可得M点在HK上，
将平面与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，如图（1），（2）所示，
连接交HK于P，此时B，P，D三点共线，取到最小值即的长，
由于，所以，则，
所以，所以，
即此时的最小值为，所以B正确；
对于C中，当x＋y＝1，时，可得点M的轨迹在平面内（包括边界），
在正方形ABCD中，可得AC⊥BD，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且，所以AC⊥平面，
所以，又由，
所以AM的取值范围为，所以C正确；
对于D中，当x＋y＋z＝1时，可得点M的轨迹在内（包括边界），
由于平面ABCD，平面ABCD，可得，
又因为BD⊥AC，，，故BD⊥平面，
因为，可得，同理可证，
又因为，平面，所以，
设与平面交于点P，由于，
为边长为的正三角形，则点A到平面的距离为，
若，则，即M点落在以P为圆心，为半径的圆上，
此时P点到三边的距离均为，
即M点轨迹是以P为圆心，为半径的圆的一部分，
又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误．
图（1）图（2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】210
【详解】数列满足，若，，则，
所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列
所以数列的前20项的和为
．
13．【答案】
【详解】若在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为，则在至少成功1次的条件下，
4次实验全部成功的概率为p，由条件概率公式得．
14．【答案】2
【详解】原不等式等价于在时恒成立，令，
则上式化为，
构造函数，则，
令，所以在上单调递增，
而在，故使得，故在上单调递减，
在上单调递增，即，所以，
又，故a的最大整数值为2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）
【答案】（1） （2）228人
【详解】（1）设：第i次通过第一关测试，：第i次通过第二关测试，C：一次性通过第三关测试，因为各关通过与否相互独立，
所以
，
．
（2）由题意可知，，
则，442－420.5＝21.5＝，
，
10000×0.02275＝227.5≈228，
所以得分在442分以上的竞聘者约有228人．
16、【答案】（1） （2）
【详解】（1）∵，
因，取则，因在上单调递增，在上
在上单减；
（2）
，
所以要证，即证，即证，
也即证（*）成立．
设，函数，由（1）知在上单增，且，
所以时，，所以（*）成立，原不等式得证；
（3）由题可得，
因为，，…，，
所以，
又由（2）知，，
取，有，
即，即，所以．x
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减