2024年广东省东莞市长安实验中学中考数学三模试卷(含答案)

这是一份2024年广东省东莞市长安实验中学中考数学三模试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.4的平方根是( )
A. ±2B. −2C. 2D. ±12
2.若|x+3|+(y−2)2=0，那么xy的值为( )
A. 6B. −6C. 9D. −9
3.已知单项式3xm+2y与x3yn−1是同类项，则m−n的值为( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
4.如图，数轴上表示− 3的点可能是( )
A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H
5.已知方程x2−3x+1=0的两根是x1，x2，则x1+x2+x1⋅x2的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.不等式3x−1≤2x+2>0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是( )
A. 35B. 25C. 13D. 12
8.如图是某平台销售的折叠椅子及其左视图，已知∠DAB=60°，CD与地面AB平行，则∠CDE=( )
A. 60°
B. 75°
C. 110°
D. 120°
9.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA=AD，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1：2
B. 1：4
C. 1：3
D. 1：9
10.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G.下列结论：①OF=OE；②∠EOF=60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF=CF+AE；⑤若∠EOF=45°，EF=4，则直线FE的函数解析式为y=−x+4+2 2.其中正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：a2−a=______．
12.若代数式a+5b的值为3，则代数式7−a−5b的值为______．
13.若点A(−1,y1)，B(3,y2)在抛物线y=(x−2)2+k上，则y1，y2的大小关系为______(用“>”连接)．
14.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OC、OE、CE，则∠OCE的度数为______°.
15.学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器的半圆交于A，B两点.点A，B在量角器半圆上对应的读数分别是72°，14°，这样小明就能得到∠C的度数，请你帮忙算算∠C的度数是______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解方程组：2x−y=53x+4y=2．
17.(本小题5分)
如图，矩形ABCD．
(1)尺规作图：作∠BAD的角平分线AE，交BC于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接DE，若AD=3，AB=2，写出DE长为______．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：(1+1x−3)÷x2−4x+4x2−9，其中x=7．
19.(本小题7分)
某学校学生的数学期末总评成绩由开学考试成绩、期中考试成绩、期末考试成绩三部分组成.小明与小红三项得分如表(单位：分)：
(1)将表格中空缺的数据补充完整．
(2)如果学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“期末考试”“期中考试”“开学考试”三个项目在期末总评成绩中所占的比例分别为50%，30%，20%，那么谁的最终成绩更高？请说明理由．
20.(本小题9分)
如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为x m，面积为y m2．
(1)若要围成面积为63m2的花圃，则AB的长是多少？
(2)求AB为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
21.(本小题9分)
【综合与实践】
要测量学校旗杆CD的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
(1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组；
(2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
22.(本小题9分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC.点D是BC边上的动点，连结AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连结DE交AB于点F.作EG/​/BC交AB于点G，连结CG，交AD于点H．
(1)求证：∠1=∠2；
(2)求证：△AGH∽△AFD．
23.(本小题12分)
如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是BD上一动点(不与点B，D重合)，连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠1=∠2，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为10．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)当∠DCE=15°时，求证：AM=2ME；
(3)在点E的移动过程中，判断CN⋅CE是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的动点，过点P作PE/​/x轴交直线AC于点E，作PF/​/y轴交直线AC于点F，求E，F两点间距离的最大值；
(3)如图2，连接BC，在抛物线上存在点Q，使∠QAC+∠OCB=45°，请直接写出符合题意的点Q坐标．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.A
5.D
6.A
7.B
8.D
9.B
10.B
11.a(a−1)
12.4
13.>
14.18
15.29°
16.解：2x−y=5①3x+4y=2②，
①×4+②得：11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入①得：4−y=5，
解得：y=−1，
则方程组的解为x=2y=−1．
17. 5
18.解：(1+1x−3)÷x2−4x+4x2−9
=x−2x−3×(x+3)(x−3)(x−2)2
=x+3x−2，
当x=7，
原式=7+37−2=2．
19.解：(1)由题意得，表格中①的值为：89+89+923=90；
②的值为：13×[(89−90)2×2+(92−90)2]=2；
(2)小红的最终成绩更高，理由如下：
小明的最终成绩为：87×50%+90×30%+93×20%=89.1(分)，
小红的最终成绩为：89×50%+89×30%+92×20%=89.6(分)，
因为89.6>89.1，
所以小红的最终成绩更高．
20.解：(1)x(30−3x)=63
30x−3x2=63
3x2−30x+63=0
x2−10x+21=0
(x−3)(x−7)=0．
解得：x1=3，x2=7．
当x=3时，30−3x=21>10，不合题意，舍去；
当x=7时，30−3x=9<10，符合题意．
答：若要围成面积为63m2的花圃，AB的长为7 m；
(2)y=x(30−3x)
=−3x2+30x
=−3(x2−10x+25)+75
=−3(x−5)2+75．
∵0<30−3x≤10，
∴203≤x<10．
∴当x=203时，y最大．最大面积为：203×(30−3×203)=2003 (m2).
答：AB为203m时，花圃面积最大，花圃的最大面积为2003m2．
21.一 三
22.证明：(1)∵EG//BC，
∴∠2=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
由旋转的性质得到：∠1=∠ACB，
∴∠1=∠2；
(2)∵∠1=∠2，
∴EG=EB，
由旋转的性质得到：CD=BE，
∴EG=CD，
∵GE//CD，
∴四边形DCGE是平行四边形，
∴GH//FD，
∴△AGH∽△AFD．
23.(1)证明：连接OE，如图，

∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∴∠OED+∠OEC=90°，
∵OC=OE，
∴∠2=∠OCE，
∴∠2+∠OED=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠OED=90°，
∴∠OEP=180°−∠OED−∠1=180°−90°=90°，
∴OE⊥PE，
∴OE为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
(2)证明：∵∠DCE=15°，
∴∠DOE=2∠2=30°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOE=120°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=180°−120°2=30°，
∴OM=12AM，∠AMO=90°−∠OAE=60°，
∵∠OMA=∠DOE+∠OEM，
∴∠OEM=30°，
∴∠OEM=∠DOE=30°，
∴OM=ME，
∴AM=2ME．
(3)解：CN⋅CE是定值，为200，
∵AB⊥CD，
∴∠COB=90°，
∵∠CED=90°，
∴∠COB=∠CED=90°，
∵∠OCE=∠OCE，
∴△CON∽△CED，
∴COCE=CNCD，
∴CN⋅CE=CO⋅CD=10×(2×10)=200，
∴CN⋅CE是定值，为200．
24.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，
∴9a−3b+3=0a+b+3=0，
解得：a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,3)，
∴OC=3，
∵A(−3,0)，
∴OA=3，
∴OA=OC，
∴△CAO为等腰直角三角形，则∠ACO=∠CAO=45°，
∵PE/​/x轴，PF/​/y轴，
∴∠PFE=∠ACO=45°，∠PEF=∠CAO=45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴EF= 2PF，
由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=x+3，
设点P(x,−x2−2x+3)，则点F(x,x+3)，
∴PF=(−x2−2x+3)−(x+3)=−x2−3x，
∵−1<0，
故PF有最大值，当x=−32时，PF的最大值为：94，
则EF的最大值为：9 24；
(3)当点Q在AC下方时，如图，设AQ交y轴于点H，

∵∠QAC+∠QAB=45°，∠QAC+∠OCB=45°，
∴∠OCB=∠QAB，
∴tan∠OCB=tan∠QAB，
∴OBOC=OHOA，即13=OH3，
∴OH=1，
则直线AH的表达式为：y=13(x+3)，
联立上式和抛物线的表达式得：−x2−2x+3=13(x+3)，
解得：x=−3(舍去)或x=23，
则点Q(23,119)；
当点Q在AC上方时，如图，过点A作AM⊥x轴，使AM=OA=3，连接CM，在线段MC上截取MN=1，连接AN，

∵∠OAM+∠AOC=90°+90°=180°，
∴AM//OC，
∵AM=OC，
∴四边形AOCM是平行四边形，
∵∠AOC=90°，
∴四边形AOCM是矩形，
则∠M=90°=∠BOC，
∵MN=OB=1，
∴△AMN≌△COB(SAS)，
∴∠MAN=∠OCB，
∵∠CAM=90°−∠CAO=45°，
∴∠MAN+∠CAN=45°，
∵∠QAC+∠OCB=45°，
∴∠CAN=∠QAC，
∵A(−3,0)，N(−2,3)，
∴直线AN的表达式为：y=3(x+3)，
联立上式和抛物线的表达式得：−x2−2x+3=3(x+3)，
解得：x=−3(舍去)或−2，
则点Q(−2,3)；
综上，点Q的坐标为(23,119)或(−2,3)． 姓名
期末考试
期中考试
开学考试
平均得分
方差
小明
87
90
93
90
6
小红
89
89
92
①
②
课题
测量学校旗杆的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C．
先测量观测台EA的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角∠CEF，旗杆底端D点的俯角∠DEF.(其中EF⊥CD于F)
利用直角三角形纸板的直角边AE保持水平，并且边AE与点M在同一直线上，直角三角板的斜边AF与旗杆顶端C在同一直线上．
测量数据
AO=1.5m，AD=16.5m．
EA=2.2m，∠CEF=60°，∠DEF=30°．
AE=0.4m，EF=0.2m，AB=1.8m．