安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期数学期末质检考试试卷

这是一份安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期数学期末质检考试试卷，共15页。试卷主要包含了二 册，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ）
A．600B．800C．1000D．1200
2．已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
3．若，则（ ）
A．B．1
C．D．2
4．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A．与对立B．与不互斥
C．与相互独立D．与相互独立
5．设的内角对边分别为，若，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．或
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．1D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，则（ ）
A．的虚部为B．
C．在复平面内对应的点在第四象限D．是关于的方程的一个根
10．下列四个命题正确的是（ ）
A．若，则的最大值为3
B．若复数满足，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．在中，为所在平面内一点，且，则
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为D．该正八面体结构的内切球表面积为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知，，且，则 ．
13．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ．
14．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求边.
16．已知在中，点在线段上，且，延长到使．设，．
(1)用、表示向量、；
(2)若向量，，、夹角为，求的值．
17．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
(1)求证：BC1∥平面A1CD；
(2)若四边形CB B1C1是正方形，且求多面体的体积.
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求的范围．
19．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点．
(1)证明：⊥面；
(2)求二面角的正切值；
(3)当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值．
参考答案：
1．B
2．C
3．B
4．C
对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误；
对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误；
对于C，两个骰子的点数之和为的情况有，
则，
所以，所以与相互独立，C正确；
对于D，两个骰子的点数之和为的情况有，
，所以，D错误.
5．A
由正弦定理得，即，
解得，
因为，所以,
所以.
故选：A
6．D
因为，
所以
，
7．B
如下图所示，延长交于点，连接，
为的垂心，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
连接并延长交于点，连接，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，
设点在平面内的射影为点，延长交于点，连接，
平面，平面，，
，平面，
、平面，则，，
，为正的中心，且为的中点，
平面，、、平面，
，，，且，
所以，，，
当时，的面积取最大值，
当平面时，三棱锥的体积取得最大值，
将三棱锥补成正方体，
所以，三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线长，
设三棱锥的外接球直径为，则，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
8．A
由题设，如下图示：，又，，
∴，由三点共线，有，
∴，当且仅当时等号成立.
9．BD
因为，所以的虚部为，故A错误；
，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；
因为，，所以，故B正确；
由，即，所以，
所以，即，，故D正确；
10．ABC
对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确；
对B，设，因为，
所以，，
所以，所以，B正确；
对C，由正弦定理的，即，
，设中点为，
如图：

则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确；
对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误.

11．ACD

对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
12．

13．
“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，
或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，
第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，
记黄球为，2个白球为、1个红球为，
利用枚举法可知从中一次取2个小球为，
共有10种取法，而颜色相同的取法有两种，
故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为，
所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为．
第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，
第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为，
所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为．
两次均为“2个小球颜色一黄一白”，
第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，
第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，
所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为．
所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为.
14．
解析：作出图形如图所示，
在中，由余弦定理，，
解得，或（，舍），
又由，，则，故为直角三角形，
设的中点为，因为为等边三角形，故，又平面平面，
故平面， 又为直角三角形，点为斜边的中点，
则球心必在直线上，易知，
故在之间，设，则，
即，解得，故所求球半径，球的体积为.
故答案为： .
【点睛】本题考查了面面垂直的性质，三棱锥的外接球半径的求法，属于中档题.
15．（1）（2）
【分析】（1）利用二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简,即可由周期公式求得最小值正周期.
（2）根据正弦函数的图像与性质,由可求得角.再结合余弦定理,即可求得的值.
【详解】（1）由
由周期公式可得
所以的最小正周期为
（2）由,则
则,解得
由余弦定理,代入可得
解得(负值舍去)
16．（1）因为，结合图形可知A为BC的中点，所以
，
因为，则，
所以．
（2）由题意知，
由（1）知，，，
所以，
，，
所以．
17．（1)证明：连结，设与相交于点，连接，则为中点.
∵为的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2），.
又，，，
又，平面.
∴所求多面体的体积.
.
即所求多面体的体积为.
18．（I）由，
利用正弦定理可得，即
故，
又，
（Ⅱ），，利用正弦定理
故，
在中，，故
，，
所以的范围是
19．（1）因为E为AC的中点，为等腰直角三角形，所以，
又为等边三角形，所以，
又，平面，所以面；
（2）为等腰直角三角形，且AC为斜边，，可得，
为等边三角形．若，所以，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
所以平面，，
过点作于，因为，平面，
所以平面，平面，从而可得，
所以为二面角的平面角，
又，所以，所以，
所以，
所以二面角的正切值为；
（3）因为AC⊥平面，平面，所以，
所以当最小时，的面积最小，此时，
由面，面，可得，又，，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，
由（2）可知，且，所以，
由勾股定理可求得，
在中，由余弦定理可得，
所以.