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沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试第20章一次函数(基础、典型、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)
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这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试第20章一次函数(基础、典型、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
2．（2022春·上海·八年级专题练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x2+3C．y＝D．y＝2（1﹣x）+2x
3．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
4．（2022春·上海·八年级校考期中）一次函数的图象经过（ ）
A．一、二、四象限B．一、三、四象限
C．一、二、三象限D．二、三、四象限
二、填空题
5．（2022春·上海·八年级期中）函数在y轴上的截距是__．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）直线y＝2x﹣3向下平移4个单位可得直线y＝_____．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）直线与轴的交点坐标为______．
8．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是______．
9．（2022秋·上海·八年级校考期中）若图像上一点到x轴的距离是，则这点的坐标为__________．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）直线与直线平行，则___________
11．（2022秋·上海·八年级专题练习）汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是___．
12．（2022秋·上海·八年级专题练习）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则的取值范围是 __．
13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）函数的图像过点及点和，则当时，___________（填“”，“”或“”）
14．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是______．
三、解答题
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝﹣1时，求y的值．
16．（2022秋·上海·八年级阶段练习）已知与成正比例，并且当时，．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
17．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标．
【典型】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( )
A．2B．-3C．-6D．6
2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知直线y= -3x-4与直线y=kx+2平行，则k的值为（ ）．
A．-3B．3C．-4D．4
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣0.5C．x＝﹣3D．x＝﹣4
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如果一次函数y＝kx+不经过第三象限，那么k的取值范围是( )
A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0
5．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b＜0时，x的取值范围是( )
A．x＞0B．x＜0
C．x＞2D．x＜2
二、填空题
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如果是常值函数，则=____________．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），将点A沿x轴向左平移m个单位后恰好落在正比例函数y＝﹣2x的图象上，则m的值为_____．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一次函数y=(m+2)x+m-1,当y的值随着x的值增大而减小时,则实数m的取值范围是______
9．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=3x-5的图像不经过第_____________象限.
10．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数表示正比例函数，则m=_____________．
三、解答题
11．（2022春·上海·八年级专题练习）医药研究所试验某种新药效时，成人如果按剂量服用，血液中每毫升含药量y（毫克）随时间x的变化如图所示，如果每毫升血液中含药量超过4微克（含4微克）时治疗疾病为有效，那么有效时间是多少小时？
12．（2022春·上海·八年级专题练习）一方有难，八方支援．武汉疫情牵动着全国人民的心．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两车沿同一路线向武汉运送救援物资，乙车需要携带一些医疗设备，比甲车晚出发1.25小时（从甲车出发时开始计时）．图中的折线（OABD）、线段（EF）分别表示甲、乙两车所走的路程 （千米）、 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系，出发地距武汉480千米．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了 小时；
（2）请直接写出点C的坐标，并解释C点所表示的实际意义；
（3）求直线BD的表达式（不写x的取值范围）．
13．（2022春·上海·八年级专题练习）已知等腰三角形的周长为24．
（1）求底边长y关于腰长x的函数表达式；（x为自变量）
（2）求自变量x的取值范围．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）小东从地出发以某一速度向地走去，同时小明从地出发以另一速度向地走去，，分别表示小东、小明离地的距离与所用时间的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）试用文字说明交点所表示的实际意义；
（2）求与的函数关系式；
（3）求小明到达地所需的时间．
15．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线经过过点，分别交x轴、y轴于点，B．
（1）求直线的解析式．
（2）点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线交线段于点D．
①如图，当点D恰与点P重合时，点为x轴上一动点，过点Q作轴，分别交直线、于点M、N．若，求t的值．
②如图，若，试判断m，n之间的数量关系并说明理由．
16．（2022春·上海·八年级专题练习）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A生产的产品总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝kx+b．当x＝10时，y＝130；当x＝20时，y＝230．B城生产的产品每件成本为60万元，若B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件．
（1）求k，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
17．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．
（1）直接写出k，b的值和不等式的解集；
（2）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，点．若，求点的坐标．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，且它们的图像都经过点．
（1）则点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值；
（3）在（2）的条件下，在轴的右侧，以为腰作等腰直角，直接写出满足条件的点的坐标．
【易错】
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•黄浦区校级期中）下列函数是一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x
C．y＝x2+2D．y＝kx+b （k，b是常数）
2．下列函数①y＝；②y＝；③y＝πx；④y＝，是一次函数的是（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
3．（2021春•嘉定区校级月考）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．那么，小高上班时下坡的速度是（ ）
A．千米/分B．2千米/分C．1千米/分D．千米/分
二．填空题（共5小题）
4．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围 ．
5．（2021春•青浦区期中）已知函数y＝﹣3x+7，当x＞2时，函数值y的取值范围是 ．
6．（2022春•上海期中）如果ab＜0，ac＜0，则直线y＝﹣不经过 象限．
7．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
8．（2022春•静安区期中）如图，直线y＝﹣x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在直角坐标平面内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，则a的值为 ．
【压轴】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知直线y= -+1与x轴、y轴分别交于点A、点B(O为坐标原点)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，那么点C的坐标为___________
3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______．
三、解答题
7．（2019春·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4交y轴于点A，与直线BC相交于点B（-2，m），直线BC与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点D．
（1）求点B坐标；
（2）求△ABC的面积
（3）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，点p是直线AB上一动点且在x轴上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC面积请求出点P的坐标．并直接写出点Q的坐标．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且∠ABO=45°，设点D的坐标为(3，0)
(1) 求m的值；
(2) 联结CD、AD，求△ACD的面积；
(3) 设点E为x轴上一动点，当∠ADC=∠ECD时，求点E的坐标．
9．（2020秋·上海·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．
（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
10．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，点坐标为，30°，将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，点是直线AB上一动点．
(1)求直线的解析式．
(2)若，求的长．
(3)若是等腰三角形，直接写出点的坐标．
11．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
第20章一次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
【答案】A
【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解．
【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x2+3C．y＝D．y＝2（1﹣x）+2x
【答案】A
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：A、y＝是一次函数，故此选项符合题意；
B、y＝﹣x2+3不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2（1﹣x）+2x＝2﹣2x+2x＝2不是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握其基本定义是判断本题的关键．
3．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，
【答案】A
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数y=ax+b的图象可知，
当x＞0时，y＞-2，故选项A正确；
当x＜1时，y＜0，故选项B错误；
当x＜0时，y＜-2，故选项C错误；
当x≥1时，y≥0，故选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2022春·上海·八年级校考期中）一次函数的图象经过（ ）
A．一、二、四象限B．一、三、四象限
C．一、二、三象限D．二、三、四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数关系中系数符号k＜0，b＞0解答即可．
【详解】解：∵中，
∴一次函数图象经过第二、四象，
∵ ，
∴ 一次函数图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k和b的符号进行判断是解题的关键．
二、填空题
5．（2022春·上海·八年级期中）函数在y轴上的截距是__．
【答案】
【详解】根据一次函数的性质，y＝kx+b与y轴交于时x＝0，代入原一次函数计算即可．
【解答】解：对于函数，
当x＝0时，，
∴函数在y轴上的截距是．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质在此题中的应用是解题关键．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）直线y＝2x﹣3向下平移4个单位可得直线y＝_____．
【答案】2x﹣7
【分析】原常数项为﹣3，上下平移直线解析式只改变常数项，让常数项减4即可得到平移后的常数项，也就得到平移后的直线解析式．
【详解】解：∵向下平移4个单位，
∴新函数的k＝2，b＝﹣3﹣4＝﹣7，
∴得到的直线所对应的函数解析式是：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）直线与轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】在中，令即可求得答案．
【详解】解：在中，令可得，解得，
则直线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
8．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是______．
【答案】##
【分析】根据正比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键．
9．（2022秋·上海·八年级校考期中）若图像上一点到x轴的距离是，则这点的坐标为__________．
【答案】##
【分析】由图像上一点到x轴的距离是，可设点的坐标为或，分别代入求解，然后作出判断即可得到答案．
【详解】解：由图像上一点到x轴的距离是，可设点的坐标为或，
把代入得，，不符合题意，舍去，
把代入得，，符合题意，
即点的坐标是，
故答案为：
【点睛】此题考查了正比例函数，准确求解点的坐标是解题的关键．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）直线与直线平行，则___________
【答案】
【分析】根据两直线平行，系数k相等，b不相等，即可求解．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数中两条直线平行的性质，解题关键掌握两直线平行，系数k相等，b不相等的性质．
11．（2022秋·上海·八年级专题练习）汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是___．
【答案】60km/h
【分析】根据图象和速度＝路程÷时间进行解答即可．
【详解】解：由图象可得，路程千米，时间小时，
∴速度（km/h），
故答案为：60km/h．
【点睛】本题考查函数的图象，关键是根据图象和速度＝路程÷时间解答．
12．（2022秋·上海·八年级专题练习）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则的取值范围是 __．
【答案】或
【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图像性质正比例函数的图像性质求出自变量的取值范围．
【详解】解：设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，
∵正比例函数与反比例函数的一个交点为，
∴正比例函数为，反比例函数为，如图所示，
∴当正比例函数图像在反比例函数图像上方时，
∴联立方程得，，解方程得，，，即当正比例函数与反比例函数的交点分别是，，
∴或时，正比例函数图像在反比例函数图像上方，
故答案为：或．
【点睛】主要考查了反比例函数的图像性质正比例函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）函数的图像过点及点和，则当时，___________（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】首先把点代入解析式，即可求得k的值，再根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】解：把点代入解析式，得
，解得，
该函数的解析式为：，
，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
14．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是______．
【答案】##
【分析】设一次函数的解析式是 ，根据两直线平行求出 ，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．
【详解】解：设一次函数的解析式是，
∵一次函数图象与直线平行，
∴，
即，
∵一次函数的图象过点，
∴代入得：，
解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
三、解答题
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝﹣1时，求y的值．
【答案】(1)y＝x
(2)
【分析】（1）设出解析式，待定系数法求解即可；
（2）将x的值代入解析式计算即可．
【详解】（1）∵y与x成正比例，
∴设y＝kx，
∵当x＝3时，y＝4，
∴4＝3k，解得k＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝x；
（2）解：把x＝﹣1代入y＝x得y＝﹣；
【点睛】本题考查正比例函数的定义．用待定系数法求出解析式是解题的关键．
16．（2022秋·上海·八年级阶段练习）已知与成正比例，并且当时，．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式；
（2）将代入y与x关系式求出y的值即可．
【详解】（1）∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式；
（2）当时，代入得，．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解；
（2）点到直线的距离为h，根据，即可求解；
（3）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：设点，
∵点是的中点，，
∴，
解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设点到直线的距离为h，
由（1）得：点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）解：如图，
设点D的坐标为，
∵点，
∴，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点点D的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【典型】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( )
A．2B．-3C．-6D．6
【答案】D
【分析】令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），即可得出答案．
【详解】解：令x＝0，则y＝6，
即一次函数与y轴交点为（0，6），
∴一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距为6．
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令x＝0求出与y轴的交点坐标．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知直线y= -3x-4与直线y=kx+2平行，则k的值为（ ）．
A．-3B．3C．-4D．4
【答案】A
【分析】根据一次函数两直线位置关系，若直线 和直线平行，则，， 即可得.
【详解】若直线 和直线平行，则，
∵直线与直线 平行，
∴
故选A
【点睛】本题旨在考查一次函数两直线位置关系知识点，熟练掌握该知识点是解此类题型的关键.
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣0.5C．x＝﹣3D．x＝﹣4
【答案】A
【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解．
【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如果一次函数y＝kx+不经过第三象限，那么k的取值范围是( )
A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0
【答案】A
【分析】根据一次函数y=kx+b的图象与k、b之间的关系，即可得出k的取值范围.
【详解】∵一次函数y＝kx+的图象不经过第三象限，
∴一次函数y＝kx+的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数k,b的关系，熟练掌握一次函数的图象的性质是解题的关键.
5．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b＜0时，x的取值范围是( )
A．x＞0B．x＜0
C．x＞2D．x＜2
【答案】C
【分析】根据函数与不等式的关系，将kx＋b＜0转化为y＜0，再通过图像判断其所对应的x的取值范围，得出答案.
【详解】解：∵kx＋b＜0且y＝kx＋b
∴y＜0
当y＜0时，由图象判断可得满足要求的图象是：函数与x轴交点下方的图象
∴x＞2
故答案是：C.
【点睛】本题主要考察一次函数和一元一次不等式的关系，正确判断关系合理运用图像是解题的关键.
二、填空题
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如果是常值函数，则=____________．
【答案】0
【分析】根据常值函数的定义可得自变量x的系数为0.
【详解】解：∵是常值函数，
∴k=0.
故答案为0.
【点睛】本题主要考查常值函数的定义，不论x取何值，y都是一个常数，即y=b，其中b是常数.
7．（2022春·上海·八年级专题练习）平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），将点A沿x轴向左平移m个单位后恰好落在正比例函数y＝﹣2x的图象上，则m的值为_____．
【答案】．
【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是，，再根据正比例函数图象上点的坐标特点可得，再解方程即可得到答案．
【详解】解：坐标为，，
将点沿轴向左平移个单位后得到的点的坐标是，，
恰好落在正比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，关键是根据点的平移规律解答．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一次函数y=(m+2)x+m-1,当y的值随着x的值增大而减小时,则实数m的取值范围是______
【答案】m＜-2
【分析】根据一次函数的增减性与k值的关系列出不等式，求解即可.
【详解】解：∵y的值随着x的值增大而减小，
∴m+2＜0，即m＜-2,
故答案为m＜-2.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小.
9．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=3x-5的图像不经过第_____________象限.
【答案】二
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数图象经过一、三、四象限，即可得到不经过的象限．
【详解】解：∵k＝3＞0，b＝−5＜0，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为二．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：k＞0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在二、三、四象限．
10．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数表示正比例函数，则m=_____________．
【答案】
【分析】先去括号，再令常数项为零即可.
【详解】解：，
∵一次函数为正比例函数，
∴，即.
故答案为.
【点睛】本题考点：正比例函数的定义，熟练掌握是解题的关键.
三、解答题
11．（2022春·上海·八年级专题练习）医药研究所试验某种新药效时，成人如果按剂量服用，血液中每毫升含药量y（毫克）随时间x的变化如图所示，如果每毫升血液中含药量超过4微克（含4微克）时治疗疾病为有效，那么有效时间是多少小时？
【答案】6
【分析】首先直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求出时，函数的解析式；时，函数的解析式为，再据图象可知每毫升血液中含药量为微克是在两个函数图象上都有，所以把，分别代入，，计算出各自的对应时间，两个时间差即为有效时间．
【详解】当时，设，
把代入上式，得，
∴时，；
当时，设，
把，代入上式，得，，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
则小时．
∴这个有效时间为小时，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
12．（2022春·上海·八年级专题练习）一方有难，八方支援．武汉疫情牵动着全国人民的心．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两车沿同一路线向武汉运送救援物资，乙车需要携带一些医疗设备，比甲车晚出发1.25小时（从甲车出发时开始计时）．图中的折线（OABD）、线段（EF）分别表示甲、乙两车所走的路程 （千米）、 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系，出发地距武汉480千米．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了 小时；
（2）请直接写出点C的坐标，并解释C点所表示的实际意义；
（3）求直线BD的表达式（不写x的取值范围）．
【答案】（1）1.9；（2），甲乙两车在距出发地380千米处第二次相遇．（答案不唯一，合理即可）；（3）
【分析】（1）根据图中AB段的横坐标即可求解；
（2）两直线交汇处表示两车相遇，首先根据题意求得乙的速度，然后计算4.75个小时行走的路程即可获得C点的纵坐标；
（3）根据待定系数法求直线BD的表达式，代入B、D两点坐标即可求解．
【详解】（1）停留时段为AB所在时段：4.9-3=1.9（小时）
（2）乙车的速度为：km/h
∴在6-1.25=4.75个小时，行走的路程为：km
∴C点坐标为
∴C点表示的实际意义为：甲乙两车在距出发地380千米处第二次相遇．（答案不唯一，合理即可）
（3）设直线BD的表达式为，
由（2）可知点C得坐标为，由图象可知点D得坐标为，
∵点C、D均在直线BD上，
∴
解得
∴直线BD得函数表达式是．
【点睛】本题考查了一次函数实际应用中的路程问题，待定系数法求函数解析式，属于基础题型，关键是读懂函数图像，并提取有效信息．
13．（2022春·上海·八年级专题练习）已知等腰三角形的周长为24．
（1）求底边长y关于腰长x的函数表达式；（x为自变量）
（2）求自变量x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形周长公式即可求解；
（2）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组即可求解．
【详解】（1）由题意得，，
∴底边长y关于腰长x的函数表达式为：．
（2）根据三角形得三边关系可得不等式组：
解不等式组，得，
∴x得取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，三角形的三边关系，在实际应用题型中一定要注意函数表达式的自变量取值范围．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）小东从地出发以某一速度向地走去，同时小明从地出发以另一速度向地走去，，分别表示小东、小明离地的距离与所用时间的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）试用文字说明交点所表示的实际意义；
（2）求与的函数关系式；
（3）求小明到达地所需的时间．
【答案】（1）交点表示小东和小明出发小时在距离地处相遇；（2）；（3）
【分析】（1）根据相遇问题的等量关系结合函数图象的表示的量，可知点P横纵坐标表示两人相遇时的时间和两人离B地的距离；
（2）代入两个已知点坐标列出方程组，用待定系数法求出解析式即可；
（3）根据时间等于路程除以速度，用小明走的路程除以小明走的速度即可得到结果．
【详解】解：（1）交点表示小东和小明出发小时在距离地处相遇．
（2）设与的函数关系式为（，为常数，且），因为函数图象经过点，，所以，①，②解得
所以与的函数关系式为．
（3）小明的速度为，小明到达地所需的时间为．
【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求解析式和读懂函数图象的能力，熟练运用相遇问题的数量关系解决相关问题是解题的关键．
15．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线经过过点，分别交x轴、y轴于点，B．
（1）求直线的解析式．
（2）点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线交线段于点D．
①如图，当点D恰与点P重合时，点为x轴上一动点，过点Q作轴，分别交直线、于点M、N．若，求t的值．
②如图，若，试判断m，n之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）①或；②，理由见解析．
【分析】（1）直接将代入，利用待定系数法求解即可；
（2）①先确定出直线l2的解析式，进而表示出点M，N的坐标，进而得出MN，MQ，建立方程求解即可得出结论；
②过点D作于E，先判断出∠1=∠2，进而得出△BCO≌△CDE，得出OC=ED，BO=CE，建立方程即可得出结论．
【详解】（1）设直线的解析式为，
直线经过点，
即，解得，
直线的解析式为．
（2）①∵直线过点且，
，解得，
即直线：，
点，
∴，
∵，
∴，
∴或．
②如图，过点D作于E．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
即．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，解绝对值方程，全等三角形的判定和性质．（2）能表示相应线段的长度是解题关键；（3）判断出△BCO≌△CDE是解本题的关键．
16．（2022春·上海·八年级专题练习）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A生产的产品总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝kx+b．当x＝10时，y＝130；当x＝20时，y＝230．B城生产的产品每件成本为60万元，若B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件．
（1）求k，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
【答案】（1）k的值为10，b的值为30；（2）A城生产了30件产品，B城生产了70件产品；（3）当0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（30m+80）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（20m+100）万元
【分析】（1）由题意用待定系数法求k，b的值即可；
（2）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，根据题意列出函数关系式，然后由函数的性质求费用最小时x的值；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）由题意，得：，
解得：；
（2）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，
则，
由B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件，
得：100﹣x≥x+40，
解得：x≤30，
∵﹣50＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝30时，W最小，即A，B两城生产这批产品的总成本的和为最少，
∴A城生产了30件产品，B城生产了100﹣30＝70件产品，
答：当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，A城生产了30件产品，B城生产了70件产品；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件，
由题意得：，
解得：20≤n≤30，
∴，
整理得：，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当，时，P随n的增大而减小，
则n＝30时，P取最小值，最小值为；
②当，时，P随n的增大而增大，
则时，P取最小值，最小值为．
答：当时，A，B两城总运费的和为万元；当时，A，B两城总运费的和为万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数的相关性质是解题的关键.
17．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．
（1）直接写出k，b的值和不等式的解集；
（2）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，点．若，求点的坐标．
【答案】（1）不等式的解集为；（2）点的坐标为 ，或，．
【分析】（1）把M点的坐标分别代入y=kx和可求出k、b的值，再确定A点坐标，然后利用函数图象写出不等式的解集；（2）先确定B点坐标得到OB的长，设P（m，0），则，D（m，2m），利用2CD=OB得到，然后解绝对值方程求出m，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）把代入得；
把代入得，解得；
当0时，，解得，则，
所以不等式的解集为；
（2）当时，，则，
，
设，则，，
，
，
解得或，
点的坐标为 ，或，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式是解题的关键.
18．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，且它们的图像都经过点．
（1）则点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值；
（3）在（2）的条件下，在轴的右侧，以为腰作等腰直角，直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），，
【分析】(1)将代入解析式中求出和的解析式，然后令=0即可求出B点坐标，令中求出C点坐标；
(2)根据，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
(3)以CP为边向右下方和右上方分别作正方形CPM1M2和正方形CPM3N，再证明三角形全等即可求解．
【详解】解：(1)将代入解析式中求出和的解析式中，
即， ，
解得，
∴，，
令中，即，∴，故，
令中，∴，
故答案为，；
(2)设直线交轴于点，则
∵且
∴
∵
且
∴
∴；
(3)如图，以CP为边向右下方和右上方分别作正方形CPM1M2和正方形CPM3N，如下图所示，其中M3Q⊥PQ，M2H⊥x轴，M1K⊥y轴，
∵∠OPC+∠HPM2=90°，∠OPC+∠OCP=90°，
∴∠OCP=∠HPM2，
且∠COP=∠PHM2=90°，PC=M2P，
∴△OPC≌△HM2P，
∴PH=OC=1，HM2=OP=，
故此时M2的坐标为，
同理可证：△OPC≌△KCM1≌△QPM3，
∴KM1=OC=QM3=1，CK=OP=QP=，
∴M1的坐标为，M3的坐标为，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键；第3问中利用全等三角形的判定与性质得出KM1=OC=QM3=1，CK=OP=QP=是解题关键．
【易错】
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•黄浦区校级期中）下列函数是一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x
C．y＝x2+2D．y＝kx+b （k，b是常数）
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），即可判断．
【解答】解：A、y＝是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝﹣x是一次函数，故B符合题意；
C、y＝x2+2是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝kx+b （k，b是常数，k≠0）是一次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
2．下列函数①y＝；②y＝；③y＝πx；④y＝，是一次函数的是（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：①y＝不是一次函数，故①不符合题意；
②y＝是一次函数，故②符合题意；
③y＝πx是一次函数，故③符合题意；
④y＝是一次函数，故④符合题意；
是一次函数的是②③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
3．（2021春•嘉定区校级月考）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．那么，小高上班时下坡的速度是（ ）
A．千米/分B．2千米/分C．1千米/分D．千米/分
【分析】根据图象求出走下坡路的时间和走的路程，根据速度公式求出即可．
【解答】解：
从图象可知：走下坡路用了12分钟﹣8分钟＝4分钟，走的路程是4千米﹣2千米＝2千米，
即小高上班时下坡的速度是＝千米/分，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
二．填空题（共5小题）
4．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围 0≤m＜3 ．
【分析】由关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，得出此一次函数图象经过第一、二、四象限或二、四象限，根据一次函数与系数的关系得到m﹣3＜0且m≥0，然后写出两个不等式的公共解集即可．
【解答】解：∵关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，
即图象经过第一、二、四象限或图象经过第二、四象限，
∴m﹣3＜0且m≥0，
∴0≤m＜3．
故答案为0≤m＜3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，y＝kx+b的图象在第一、二、三象限；k＞0，b＜0时，y＝kx+b的图象在第一、三、四象限；k＜0，b＞0时，y＝kx+b的图象在第一、二、四象限；k＜0，b＜0时，y＝kx+b的图象在第二、三、四象限．
5．（2021春•青浦区期中）已知函数y＝﹣3x+7，当x＞2时，函数值y的取值范围是 y＜1 ．
【分析】依据k的值得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围，得到函数值的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小，
当x＝2时，y＝﹣3×2+7＝1，
∴当x＞2时，y＜1，
故答案为：y＜1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（2022春•上海期中）如果ab＜0，ac＜0，则直线y＝﹣不经过 第二 象限．
【分析】由ab＜0，ac＜0得到＜0，＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线y＝﹣经过第一、三、四象限．
【解答】解：∵ab＜0，ac＜0，
∴bc＞0，
∴＜0，＞0，
∴﹣＞0，﹣＜0，
∴直线y＝﹣经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 225 ．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，求出一次函数解析式；根据函数解析式计算出当x＝0时y的值，当y＝0时，x的值，进而得到与两坐标轴的交点坐标，然后求三角形的面积即可．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
将A（﹣20，5）、B（10，20）代入得：
，
解得：k＝，b＝15，
则一次函数解析式为y＝x+15．
当x＝0时，y＝15，
当y＝0时，x+15＝0，
解得x＝﹣30，
∴与坐标轴的交点坐标为（0，15）（﹣30，0），
此函数与坐标轴围成的三角形面积：×15×30＝225．
故答案为：225．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与两坐标轴的交点坐标，关键是正确求出解析式．
8．（2022春•静安区期中）如图，直线y＝﹣x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在直角坐标平面内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，则a的值为 ﹣4或4+ ．
【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S△ABP＝S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，AB＝2，
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴S△ABP＝S△ABC＝2，
当点P在第二象限内时，连接OP1，
S△AOP1＝，S△BOP1＝﹣，
S△ABP1＝S△BOP1+S△AOB﹣S△AOP1＝2，
即﹣+×1×﹣＝2，
解得a＝﹣4．
当点P在第一象限内时，连接OP2，
S△AOP2＝，S△BOP2＝，
S△ABP2＝S△BOP2+S△AOP2﹣S△AOB＝2，
即+﹣×1×＝2，
解得a＝4+．
∴a的值为a＝﹣4或4+．
故答案为：﹣4或4+．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系；把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键．
【压轴】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．
【详解】解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，
由图可写出l的函数解析式为y=-1，
设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：，
解之可得：k=-1，b=1，
∴直线AC的函数为y=-x+1，
∴有，解之得：x=2，y=-1，
∴P点坐标为（2，-1），
故选B ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练求解一次函数的解析式并结合二元一次方程组求直线的交点是解题关键．
二、填空题
2．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知直线y= -+1与x轴、y轴分别交于点A、点B(O为坐标原点)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，那么点C的坐标为___________
【答案】（，2）
【分析】根据题意作出图形，求出AB＝2，∠BAO＝30°，证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠OAC＝90°，即可得到点C的坐标．
【详解】解：在中令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝，
∴A（，0），B（0，1），
∴，
∴∠BAO＝30°，
将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，
如图所示，则∠ABC＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∴∠OAC＝90°，
∴点C的坐标为（，2），
故答案为：（，2）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等知识，求出∠BAO＝30°，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．
【答案】
【分析】根据点A，，，…，都在直线上先求出，再根据点，，…都在直线上，求出，由在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，得到的横坐标为2，同理依次类推，得出 ，，，最后算出面积即可．
【详解】解：当x=0时，，，
∴，
∵，
∴的横坐标为2，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∴，，，
∴ ，，，
∴=，
=
=,
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出规律．关键在于点在直线上，计算点的坐标和找出规律．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______．
【答案】
【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝−x＋m，即可求解．
【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，
设点M是AB的中点，
由，整理得：x2−mx＋6＝0，
由题意可得x2−mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，
则x1＋x2＝m，y1＋y2＝−x1＋m−x2＋m＝m，
则点M的坐标为（m，m），
设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，
对于y＝−x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，
∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），
则点HG中点的坐标为（m，m），
即点M也为GH的中点，故AH＝BG，
∵AR∥x轴，
∴∠HAR＝∠BGF，
∵∠HRA＝∠BFG＝90°，
∴△HRA≌△BFG（AAS），
∴AR＝OC＝FG，
∴S△HRA＝S△BFG，
∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝|k|＋|k|＝6，
而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6，
∴S△BFG＝2S△OEC，
即2××CO•EC＝×BF•FG，
而OC＝FG，
∴EC＝BF，
即EC是△OBF的中位线，
故设点A的坐标为（t， ），则点B（2t，），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得（不合题意的值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A、B横坐标的关系．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
【答案】
【分析】（1）可作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（2）根据（1）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到CB2+CD2＝BD2＝（）2，因为CB+CD＝4﹣，可推出CB•CD的值，进而求出三角形的面积．
【详解】（1）∵直线y＝与x轴、y轴分别交于C、A两点，把y=0代入，解得x=2，把x=0代入，解得y=2，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC＝4．
作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD＝C1D，CB＝C2B．
∴CB+BD+CD＝C2B+BD+C1D＝C1C2连接AC1、AC2，
可得∠C1AD＝∠CAD，∠C2AB＝∠CAB，AC1＝AC2＝AC＝4．
∵∠DAB＝45°，
∴∠C1AC2＝90°．
连接C1C2．，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．
故答案为：4．
（2）根据（1）的作图可知四边形AECF的对角互补，其中∠DAB＝45°，因此，∠C2CC1＝135°．
即∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝135°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+2∠BCD＝270°①，
∵∠BC2C＝∠BCC2，∠DCC1＝∠DC1C，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝180°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+∠BCD＝180°②，
①-②得，∠BCD＝90°．
∴CB2+CD2＝BD2＝（）2=，
∵CB+CD＝4﹣，
（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB•CD，
∴2CB•CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______．
【答案】或或2
【分析】分三种情况讨论：①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=；②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=；③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2．
【详解】解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO，
由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b，
∵点C（0，4），
∴OC=4，
∴BC=4-b，
在△DBC和△BAO中，
，
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即4-b=2b，
∴b=，
②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F，
同理证得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=4，BC=DF，
∵OB=b，OA=2b，
∴BC=DF=2b-4，
∵BC=4-b，
∴2b-4=4-b，
∴b=；
③当∠DAB=90°时，如图3，作DF⊥OA于F，
同理证得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴2b=4，
∴b=2；
综上，b的值为或或2，
故答案为：或或2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助性构建求得三角形上解题的关键．
三、解答题
7．（2019春·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4交y轴于点A，与直线BC相交于点B（-2，m），直线BC与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点D．
（1）求点B坐标；
（2）求△ABC的面积
（3）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，点p是直线AB上一动点且在x轴上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC面积请求出点P的坐标．并直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）B（－2，2）；（2）6；（3）E（2，0）；（4）点P的坐标为：（−2，2）；点Q坐标为：Q1（1，2），Q2（−5，2），Q3（ 3，−2）．
【分析】（1）将B（－2，m）代入y=x+4求出m即可；
（2）求出点A坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
（3）求出直线BC的解析式，进而得到直线AE的k值，代入A点坐标求出直线AE的解析式即可解决问题；
（4）根据平行四边形的面积等于△ABC面积可求出P点坐标，然后分点Q在x轴上方和点Q在x轴下方两种情况，分别根据平行四边形的性质求出点Q坐标即可．
【详解】解：（1）将B（－2，m）代入y=x+4得：m=-2+4=2，
∴B（－2，2）；
（2）∵直线y=x+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
又∵B（－2，2），C（0，-2），
∴△ABC的面积＝；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
代入B（－2，2），C（0，-2）得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
∵直线AE与直线BC平行，
∴设直线AE的解析式为：，
代入A（0，4）得：，
∴直线AE的解析式为：，
当y＝0时，即，
解得：，
∴E（2，0）；
（4）在中，当y＝0，即时，解得：，
∴D（－1，0），
又∵点P是直线AB上一动点且在x轴上方，E（2，0），
∴设P（x，x＋4），
由题意得：，
解得：，
∴P（−2，2），
∴当点Q在x轴上方时，则PQ∥DE，且PQ＝DE，此时点Q1（1，2），Q2（−5，2）；
当点Q在x轴下方时，设Q点坐标为（m，n），
由题意得：，，
解得：，，
则Q3（3，−2）；
综上所述：点P的坐标为：（−2，2）；点Q坐标为：Q1（1，2），Q2（−5，2），Q3（ 3，−2）．
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算，一次函数的图象和性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且∠ABO=45°，设点D的坐标为(3，0)
(1) 求m的值；
(2) 联结CD、AD，求△ACD的面积；
(3) 设点E为x轴上一动点，当∠ADC=∠ECD时，求点E的坐标．
【答案】（1）m＝4；（2）；（3）点E的坐标为（，0）或（6，0）．
【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题；
（2）根据进行计算即可；
（3）分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况，分别求出直线CE1和直线CE2的解析式即可得到对应的点E的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点，∠ABO=45°，
∴OB＝OC＝3，
∴B（－3，0），
将B（－3，0）代入y=kx+3得：0=－3k+3，
解得：k＝1，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3，
当x＝1时，y＝x+3＝4，
∴m＝4；
（2）∵B（－3，0），C（0，3），D（3，0），A（1，4），
∴BD＝6，
∴；
（3）如图所示，当点E在点D左侧时，
∵∠ADC＝∠E1CD，
∴AD∥CE1，
设直线AD的解析式为：y＝k1x+b（k≠0），
代入A（1，4），D（3，0）得：，解得：，
∴直线AD的解析式为：，
故设直线CE1的解析式为：，
代入C（0，3）得：，
∴直线CE1的解析式为：，
当y＝0时，解得：，
∴E1（，0）；
当点E在点D右侧时，AD与CE2交于点F，
∵∠ADC＝∠E2CD，
∴FC＝FD，
∵OB＝OD＝3，∠ABO＝45°，
∴∠CDB＝45°，
∴∠ACD＝45°＋45°＝90°，即∠ACF＋∠FCD＝90°，
∵∠CAF＋∠FDC＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴FC＝FA，
∴F为线段AD的中点，
∴点F的坐标为，
设直线CE2的解析式为：，
代入F得：，解得：，
∴直线CE2的解析式为：，
当y＝0时，解得：，
∴E2（6，0），
综上所述，点E的坐标为（，0）或（6，0）．
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键．
9．（2020秋·上海·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．
（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由求解的长，利用勾股定理列方程求解，结合的位置，即可得到答案；
（2）过作于，证明求解由等面积法得作 在上，利用勾股定理可得从而可得答案；
（3）由（2）同理可得：，证明在上，设直线与轴分别交于，过作于 使 连接交于 则此时最小，利用等腰三角形的性质与中点坐标公式得的坐标，求解的解析式，再求直线与的交点坐标即可．
【详解】解：（1）
（负根舍去），
又
在轴的负半轴上，
（2）过作于，
由勾股定理得：
作 在上，
轴平分∠BAC，
由勾股定理得：
（3）由（2）同理可得：，
在直线上，
设直线与轴分别交于，
则
过作于 使 连接交于
则此时最小，
为的中点，
设为
解得：
为
解得：
即当最小时，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，三角形角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，分式的约分，利用平方根的含义解一元二次方程，轴对称的性质，求解一次函数的解析式及交点坐标，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，点坐标为，30°，将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，点是直线AB上一动点．
(1)求直线的解析式．
(2)若，求的长．
(3)若是等腰三角形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)（，）或（ ，）或（，）或（ ，）
【分析】（1）先求出AB=2OB，然后结合勾股定理求出OB的长度，最后把A，B的坐标代入直线AB解析式求解即可；
（2）延长CF交x轴于点G，先求出AC的长度，再通过ASA证，得出AC=AG=2AO，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（3）分AF=OF，AO=FO，AF=AO三种情况讨论求解即可.
（1）
解：∵A的坐标为（，0），
∴AO=3，
∵ ， ，
∴AB=2OB，
由勾股定理知 ，
∴ ，
∴B（0， ），
把A（，0），B（0， ）代入y=kx+b，
得 ，
∴ ，
∴直线AB解析式为；
（2）
解：延长CF交x轴于点G，
∵翻折，
∴∠CAF=∠BAO=30°，
∴∠CAG=60°，
∴∠ACO=30°，
∴AC=2AO=6，
∵
∴ ，
在△ACF和△AGF中，
，
∴ ，
∴AC=AG=6，
∴AG=2AO，
∴AO=GO，
∴
（3）
当AF=OF时，如下图，过F作于H
则AH=OH=，
又∠BAO=30°，
∴AF=2FH，
由勾股定理得 ，
∴，
F（，）；
当AO=OF=3时，如下图，过F作于M，
则∠AFO=∠FAO=30°，
∴∠FOM=∠AFO+∠FAO=60°，
∴∠OFM=30°，
∴ ，
∴ ，
∴F的坐标为（ ，）；
当AF=AO=3时，
F在A的右侧时，如图1，过F作于N，
∵∠BAO=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴F的坐标为（，）；
F在A的左侧时，如图2，过F作于K，
∵∠BAO=30°，
∴∠FAK=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴F的坐标为（ ，）.
综上，F的坐标为（，）或（ ，）或（，）或（ ，）.
【点睛】本题考查了一次函数的图形与性质，图形的变化，等腰三角形等知识，正确掌握并能熟练运用是解题的关键.
11．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（-2，1）；（2）y=-2x-3；（3）（-2，-4）或（2，-2）或（-1，-1）
【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点、的坐标，利用题中线段的中点坐标公式建立方程求解即可；
（2）根据点、的坐标可得、的长，根据勾股定理求出，可得出，证明，根据相似三角形的性质可得的长，可得出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，则、、是等腰直角三角形，过点，作轴于，轴于，根据全等三角形的判定和性质求得、的长，即可得点的坐标，同理可得点的坐标，根据线段的中点坐标公式可得点的坐标．
【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
；
（2）如图，
，，
，，
在中，，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的表达式为，将代入得：，解得：，
直线的表达式为；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，
，，，，
、是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
过点，作轴于，轴于，
，，
，
，，
，
，，
，
点的坐标，
同理点的坐标，
，
点的坐标，，即，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判断和性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
2．（2022春·上海·八年级专题练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x2+3C．y＝D．y＝2（1﹣x）+2x
3．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
4．（2022春·上海·八年级校考期中）一次函数的图象经过（ ）
A．一、二、四象限B．一、三、四象限
C．一、二、三象限D．二、三、四象限
二、填空题
5．（2022春·上海·八年级期中）函数在y轴上的截距是__．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）直线y＝2x﹣3向下平移4个单位可得直线y＝_____．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）直线与轴的交点坐标为______．
8．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是______．
9．（2022秋·上海·八年级校考期中）若图像上一点到x轴的距离是，则这点的坐标为__________．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）直线与直线平行，则___________
11．（2022秋·上海·八年级专题练习）汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是___．
12．（2022秋·上海·八年级专题练习）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则的取值范围是 __．
13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）函数的图像过点及点和，则当时，___________（填“”，“”或“”）
14．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是______．
三、解答题
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝﹣1时，求y的值．
16．（2022秋·上海·八年级阶段练习）已知与成正比例，并且当时，．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
17．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标．
【典型】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( )
A．2B．-3C．-6D．6
2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知直线y= -3x-4与直线y=kx+2平行，则k的值为（ ）．
A．-3B．3C．-4D．4
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣0.5C．x＝﹣3D．x＝﹣4
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如果一次函数y＝kx+不经过第三象限，那么k的取值范围是( )
A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0
5．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b＜0时，x的取值范围是( )
A．x＞0B．x＜0
C．x＞2D．x＜2
二、填空题
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如果是常值函数，则=____________．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），将点A沿x轴向左平移m个单位后恰好落在正比例函数y＝﹣2x的图象上，则m的值为_____．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一次函数y=(m+2)x+m-1,当y的值随着x的值增大而减小时,则实数m的取值范围是______
9．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=3x-5的图像不经过第_____________象限.
10．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数表示正比例函数，则m=_____________．
三、解答题
11．（2022春·上海·八年级专题练习）医药研究所试验某种新药效时，成人如果按剂量服用，血液中每毫升含药量y（毫克）随时间x的变化如图所示，如果每毫升血液中含药量超过4微克（含4微克）时治疗疾病为有效，那么有效时间是多少小时？
12．（2022春·上海·八年级专题练习）一方有难，八方支援．武汉疫情牵动着全国人民的心．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两车沿同一路线向武汉运送救援物资，乙车需要携带一些医疗设备，比甲车晚出发1.25小时（从甲车出发时开始计时）．图中的折线（OABD）、线段（EF）分别表示甲、乙两车所走的路程 （千米）、 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系，出发地距武汉480千米．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了 小时；
（2）请直接写出点C的坐标，并解释C点所表示的实际意义；
（3）求直线BD的表达式（不写x的取值范围）．
13．（2022春·上海·八年级专题练习）已知等腰三角形的周长为24．
（1）求底边长y关于腰长x的函数表达式；（x为自变量）
（2）求自变量x的取值范围．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）小东从地出发以某一速度向地走去，同时小明从地出发以另一速度向地走去，，分别表示小东、小明离地的距离与所用时间的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）试用文字说明交点所表示的实际意义；
（2）求与的函数关系式；
（3）求小明到达地所需的时间．
15．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线经过过点，分别交x轴、y轴于点，B．
（1）求直线的解析式．
（2）点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线交线段于点D．
①如图，当点D恰与点P重合时，点为x轴上一动点，过点Q作轴，分别交直线、于点M、N．若，求t的值．
②如图，若，试判断m，n之间的数量关系并说明理由．
16．（2022春·上海·八年级专题练习）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A生产的产品总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝kx+b．当x＝10时，y＝130；当x＝20时，y＝230．B城生产的产品每件成本为60万元，若B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件．
（1）求k，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
17．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．
（1）直接写出k，b的值和不等式的解集；
（2）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，点．若，求点的坐标．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，且它们的图像都经过点．
（1）则点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值；
（3）在（2）的条件下，在轴的右侧，以为腰作等腰直角，直接写出满足条件的点的坐标．
【易错】
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•黄浦区校级期中）下列函数是一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x
C．y＝x2+2D．y＝kx+b （k，b是常数）
2．下列函数①y＝；②y＝；③y＝πx；④y＝，是一次函数的是（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
3．（2021春•嘉定区校级月考）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．那么，小高上班时下坡的速度是（ ）
A．千米/分B．2千米/分C．1千米/分D．千米/分
二．填空题（共5小题）
4．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围 ．
5．（2021春•青浦区期中）已知函数y＝﹣3x+7，当x＞2时，函数值y的取值范围是 ．
6．（2022春•上海期中）如果ab＜0，ac＜0，则直线y＝﹣不经过 象限．
7．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
8．（2022春•静安区期中）如图，直线y＝﹣x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在直角坐标平面内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，则a的值为 ．
【压轴】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知直线y= -+1与x轴、y轴分别交于点A、点B(O为坐标原点)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，那么点C的坐标为___________
3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______．
三、解答题
7．（2019春·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4交y轴于点A，与直线BC相交于点B（-2，m），直线BC与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点D．
（1）求点B坐标；
（2）求△ABC的面积
（3）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，点p是直线AB上一动点且在x轴上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC面积请求出点P的坐标．并直接写出点Q的坐标．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且∠ABO=45°，设点D的坐标为(3，0)
(1) 求m的值；
(2) 联结CD、AD，求△ACD的面积；
(3) 设点E为x轴上一动点，当∠ADC=∠ECD时，求点E的坐标．
9．（2020秋·上海·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．
（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
10．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，点坐标为，30°，将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，点是直线AB上一动点．
(1)求直线的解析式．
(2)若，求的长．
(3)若是等腰三角形，直接写出点的坐标．
11．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
第20章一次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
【答案】A
【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解．
【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x2+3C．y＝D．y＝2（1﹣x）+2x
【答案】A
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：A、y＝是一次函数，故此选项符合题意；
B、y＝﹣x2+3不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2（1﹣x）+2x＝2﹣2x+2x＝2不是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握其基本定义是判断本题的关键．
3．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，
【答案】A
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数y=ax+b的图象可知，
当x＞0时，y＞-2，故选项A正确；
当x＜1时，y＜0，故选项B错误；
当x＜0时，y＜-2，故选项C错误；
当x≥1时，y≥0，故选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2022春·上海·八年级校考期中）一次函数的图象经过（ ）
A．一、二、四象限B．一、三、四象限
C．一、二、三象限D．二、三、四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数关系中系数符号k＜0，b＞0解答即可．
【详解】解：∵中，
∴一次函数图象经过第二、四象，
∵ ，
∴ 一次函数图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k和b的符号进行判断是解题的关键．
二、填空题
5．（2022春·上海·八年级期中）函数在y轴上的截距是__．
【答案】
【详解】根据一次函数的性质，y＝kx+b与y轴交于时x＝0，代入原一次函数计算即可．
【解答】解：对于函数，
当x＝0时，，
∴函数在y轴上的截距是．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质在此题中的应用是解题关键．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）直线y＝2x﹣3向下平移4个单位可得直线y＝_____．
【答案】2x﹣7
【分析】原常数项为﹣3，上下平移直线解析式只改变常数项，让常数项减4即可得到平移后的常数项，也就得到平移后的直线解析式．
【详解】解：∵向下平移4个单位，
∴新函数的k＝2，b＝﹣3﹣4＝﹣7，
∴得到的直线所对应的函数解析式是：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）直线与轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】在中，令即可求得答案．
【详解】解：在中，令可得，解得，
则直线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
8．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是______．
【答案】##
【分析】根据正比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键．
9．（2022秋·上海·八年级校考期中）若图像上一点到x轴的距离是，则这点的坐标为__________．
【答案】##
【分析】由图像上一点到x轴的距离是，可设点的坐标为或，分别代入求解，然后作出判断即可得到答案．
【详解】解：由图像上一点到x轴的距离是，可设点的坐标为或，
把代入得，，不符合题意，舍去，
把代入得，，符合题意，
即点的坐标是，
故答案为：
【点睛】此题考查了正比例函数，准确求解点的坐标是解题的关键．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）直线与直线平行，则___________
【答案】
【分析】根据两直线平行，系数k相等，b不相等，即可求解．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数中两条直线平行的性质，解题关键掌握两直线平行，系数k相等，b不相等的性质．
11．（2022秋·上海·八年级专题练习）汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是___．
【答案】60km/h
【分析】根据图象和速度＝路程÷时间进行解答即可．
【详解】解：由图象可得，路程千米，时间小时，
∴速度（km/h），
故答案为：60km/h．
【点睛】本题考查函数的图象，关键是根据图象和速度＝路程÷时间解答．
12．（2022秋·上海·八年级专题练习）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则的取值范围是 __．
【答案】或
【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图像性质正比例函数的图像性质求出自变量的取值范围．
【详解】解：设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，
∵正比例函数与反比例函数的一个交点为，
∴正比例函数为，反比例函数为，如图所示，
∴当正比例函数图像在反比例函数图像上方时，
∴联立方程得，，解方程得，，，即当正比例函数与反比例函数的交点分别是，，
∴或时，正比例函数图像在反比例函数图像上方，
故答案为：或．
【点睛】主要考查了反比例函数的图像性质正比例函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）函数的图像过点及点和，则当时，___________（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】首先把点代入解析式，即可求得k的值，再根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】解：把点代入解析式，得
，解得，
该函数的解析式为：，
，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
14．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是______．
【答案】##
【分析】设一次函数的解析式是 ，根据两直线平行求出 ，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．
【详解】解：设一次函数的解析式是，
∵一次函数图象与直线平行，
∴，
即，
∵一次函数的图象过点，
∴代入得：，
解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
三、解答题
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝﹣1时，求y的值．
【答案】(1)y＝x
(2)
【分析】（1）设出解析式，待定系数法求解即可；
（2）将x的值代入解析式计算即可．
【详解】（1）∵y与x成正比例，
∴设y＝kx，
∵当x＝3时，y＝4，
∴4＝3k，解得k＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝x；
（2）解：把x＝﹣1代入y＝x得y＝﹣；
【点睛】本题考查正比例函数的定义．用待定系数法求出解析式是解题的关键．
16．（2022秋·上海·八年级阶段练习）已知与成正比例，并且当时，．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式；
（2）将代入y与x关系式求出y的值即可．
【详解】（1）∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式；
（2）当时，代入得，．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解；
（2）点到直线的距离为h，根据，即可求解；
（3）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：设点，
∵点是的中点，，
∴，
解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设点到直线的距离为h，
由（1）得：点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）解：如图，
设点D的坐标为，
∵点，
∴，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点点D的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【典型】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( )
A．2B．-3C．-6D．6
【答案】D
【分析】令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），即可得出答案．
【详解】解：令x＝0，则y＝6，
即一次函数与y轴交点为（0，6），
∴一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距为6．
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令x＝0求出与y轴的交点坐标．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知直线y= -3x-4与直线y=kx+2平行，则k的值为（ ）．
A．-3B．3C．-4D．4
【答案】A
【分析】根据一次函数两直线位置关系，若直线 和直线平行，则，， 即可得.
【详解】若直线 和直线平行，则，
∵直线与直线 平行，
∴
故选A
【点睛】本题旨在考查一次函数两直线位置关系知识点，熟练掌握该知识点是解此类题型的关键.
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣0.5C．x＝﹣3D．x＝﹣4
【答案】A
【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解．
【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如果一次函数y＝kx+不经过第三象限，那么k的取值范围是( )
A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0
【答案】A
【分析】根据一次函数y=kx+b的图象与k、b之间的关系，即可得出k的取值范围.
【详解】∵一次函数y＝kx+的图象不经过第三象限，
∴一次函数y＝kx+的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数k,b的关系，熟练掌握一次函数的图象的性质是解题的关键.
5．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b＜0时，x的取值范围是( )
A．x＞0B．x＜0
C．x＞2D．x＜2
【答案】C
【分析】根据函数与不等式的关系，将kx＋b＜0转化为y＜0，再通过图像判断其所对应的x的取值范围，得出答案.
【详解】解：∵kx＋b＜0且y＝kx＋b
∴y＜0
当y＜0时，由图象判断可得满足要求的图象是：函数与x轴交点下方的图象
∴x＞2
故答案是：C.
【点睛】本题主要考察一次函数和一元一次不等式的关系，正确判断关系合理运用图像是解题的关键.
二、填空题
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如果是常值函数，则=____________．
【答案】0
【分析】根据常值函数的定义可得自变量x的系数为0.
【详解】解：∵是常值函数，
∴k=0.
故答案为0.
【点睛】本题主要考查常值函数的定义，不论x取何值，y都是一个常数，即y=b，其中b是常数.
7．（2022春·上海·八年级专题练习）平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），将点A沿x轴向左平移m个单位后恰好落在正比例函数y＝﹣2x的图象上，则m的值为_____．
【答案】．
【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是，，再根据正比例函数图象上点的坐标特点可得，再解方程即可得到答案．
【详解】解：坐标为，，
将点沿轴向左平移个单位后得到的点的坐标是，，
恰好落在正比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，关键是根据点的平移规律解答．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一次函数y=(m+2)x+m-1,当y的值随着x的值增大而减小时,则实数m的取值范围是______
【答案】m＜-2
【分析】根据一次函数的增减性与k值的关系列出不等式，求解即可.
【详解】解：∵y的值随着x的值增大而减小，
∴m+2＜0，即m＜-2,
故答案为m＜-2.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小.
9．（2022春·上海·八年级专题练习）一次函数y=3x-5的图像不经过第_____________象限.
【答案】二
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数图象经过一、三、四象限，即可得到不经过的象限．
【详解】解：∵k＝3＞0，b＝−5＜0，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为二．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：k＞0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在二、三、四象限．
10．（2022春·上海·八年级专题练习）若一次函数表示正比例函数，则m=_____________．
【答案】
【分析】先去括号，再令常数项为零即可.
【详解】解：，
∵一次函数为正比例函数，
∴，即.
故答案为.
【点睛】本题考点：正比例函数的定义，熟练掌握是解题的关键.
三、解答题
11．（2022春·上海·八年级专题练习）医药研究所试验某种新药效时，成人如果按剂量服用，血液中每毫升含药量y（毫克）随时间x的变化如图所示，如果每毫升血液中含药量超过4微克（含4微克）时治疗疾病为有效，那么有效时间是多少小时？
【答案】6
【分析】首先直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求出时，函数的解析式；时，函数的解析式为，再据图象可知每毫升血液中含药量为微克是在两个函数图象上都有，所以把，分别代入，，计算出各自的对应时间，两个时间差即为有效时间．
【详解】当时，设，
把代入上式，得，
∴时，；
当时，设，
把，代入上式，得，，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
则小时．
∴这个有效时间为小时，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
12．（2022春·上海·八年级专题练习）一方有难，八方支援．武汉疫情牵动着全国人民的心．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两车沿同一路线向武汉运送救援物资，乙车需要携带一些医疗设备，比甲车晚出发1.25小时（从甲车出发时开始计时）．图中的折线（OABD）、线段（EF）分别表示甲、乙两车所走的路程 （千米）、 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系，出发地距武汉480千米．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了 小时；
（2）请直接写出点C的坐标，并解释C点所表示的实际意义；
（3）求直线BD的表达式（不写x的取值范围）．
【答案】（1）1.9；（2），甲乙两车在距出发地380千米处第二次相遇．（答案不唯一，合理即可）；（3）
【分析】（1）根据图中AB段的横坐标即可求解；
（2）两直线交汇处表示两车相遇，首先根据题意求得乙的速度，然后计算4.75个小时行走的路程即可获得C点的纵坐标；
（3）根据待定系数法求直线BD的表达式，代入B、D两点坐标即可求解．
【详解】（1）停留时段为AB所在时段：4.9-3=1.9（小时）
（2）乙车的速度为：km/h
∴在6-1.25=4.75个小时，行走的路程为：km
∴C点坐标为
∴C点表示的实际意义为：甲乙两车在距出发地380千米处第二次相遇．（答案不唯一，合理即可）
（3）设直线BD的表达式为，
由（2）可知点C得坐标为，由图象可知点D得坐标为，
∵点C、D均在直线BD上，
∴
解得
∴直线BD得函数表达式是．
【点睛】本题考查了一次函数实际应用中的路程问题，待定系数法求函数解析式，属于基础题型，关键是读懂函数图像，并提取有效信息．
13．（2022春·上海·八年级专题练习）已知等腰三角形的周长为24．
（1）求底边长y关于腰长x的函数表达式；（x为自变量）
（2）求自变量x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形周长公式即可求解；
（2）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组即可求解．
【详解】（1）由题意得，，
∴底边长y关于腰长x的函数表达式为：．
（2）根据三角形得三边关系可得不等式组：
解不等式组，得，
∴x得取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，三角形的三边关系，在实际应用题型中一定要注意函数表达式的自变量取值范围．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）小东从地出发以某一速度向地走去，同时小明从地出发以另一速度向地走去，，分别表示小东、小明离地的距离与所用时间的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）试用文字说明交点所表示的实际意义；
（2）求与的函数关系式；
（3）求小明到达地所需的时间．
【答案】（1）交点表示小东和小明出发小时在距离地处相遇；（2）；（3）
【分析】（1）根据相遇问题的等量关系结合函数图象的表示的量，可知点P横纵坐标表示两人相遇时的时间和两人离B地的距离；
（2）代入两个已知点坐标列出方程组，用待定系数法求出解析式即可；
（3）根据时间等于路程除以速度，用小明走的路程除以小明走的速度即可得到结果．
【详解】解：（1）交点表示小东和小明出发小时在距离地处相遇．
（2）设与的函数关系式为（，为常数，且），因为函数图象经过点，，所以，①，②解得
所以与的函数关系式为．
（3）小明的速度为，小明到达地所需的时间为．
【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求解析式和读懂函数图象的能力，熟练运用相遇问题的数量关系解决相关问题是解题的关键．
15．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线经过过点，分别交x轴、y轴于点，B．
（1）求直线的解析式．
（2）点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线交线段于点D．
①如图，当点D恰与点P重合时，点为x轴上一动点，过点Q作轴，分别交直线、于点M、N．若，求t的值．
②如图，若，试判断m，n之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）①或；②，理由见解析．
【分析】（1）直接将代入，利用待定系数法求解即可；
（2）①先确定出直线l2的解析式，进而表示出点M，N的坐标，进而得出MN，MQ，建立方程求解即可得出结论；
②过点D作于E，先判断出∠1=∠2，进而得出△BCO≌△CDE，得出OC=ED，BO=CE，建立方程即可得出结论．
【详解】（1）设直线的解析式为，
直线经过点，
即，解得，
直线的解析式为．
（2）①∵直线过点且，
，解得，
即直线：，
点，
∴，
∵，
∴，
∴或．
②如图，过点D作于E．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
即．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，解绝对值方程，全等三角形的判定和性质．（2）能表示相应线段的长度是解题关键；（3）判断出△BCO≌△CDE是解本题的关键．
16．（2022春·上海·八年级专题练习）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A生产的产品总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝kx+b．当x＝10时，y＝130；当x＝20时，y＝230．B城生产的产品每件成本为60万元，若B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件．
（1）求k，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
【答案】（1）k的值为10，b的值为30；（2）A城生产了30件产品，B城生产了70件产品；（3）当0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（30m+80）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（20m+100）万元
【分析】（1）由题意用待定系数法求k，b的值即可；
（2）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，根据题意列出函数关系式，然后由函数的性质求费用最小时x的值；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）由题意，得：，
解得：；
（2）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，
则，
由B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件，
得：100﹣x≥x+40，
解得：x≤30，
∵﹣50＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝30时，W最小，即A，B两城生产这批产品的总成本的和为最少，
∴A城生产了30件产品，B城生产了100﹣30＝70件产品，
答：当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，A城生产了30件产品，B城生产了70件产品；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件，
由题意得：，
解得：20≤n≤30，
∴，
整理得：，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当，时，P随n的增大而减小，
则n＝30时，P取最小值，最小值为；
②当，时，P随n的增大而增大，
则时，P取最小值，最小值为．
答：当时，A，B两城总运费的和为万元；当时，A，B两城总运费的和为万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数的相关性质是解题的关键.
17．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．
（1）直接写出k，b的值和不等式的解集；
（2）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，点．若，求点的坐标．
【答案】（1）不等式的解集为；（2）点的坐标为 ，或，．
【分析】（1）把M点的坐标分别代入y=kx和可求出k、b的值，再确定A点坐标，然后利用函数图象写出不等式的解集；（2）先确定B点坐标得到OB的长，设P（m，0），则，D（m，2m），利用2CD=OB得到，然后解绝对值方程求出m，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）把代入得；
把代入得，解得；
当0时，，解得，则，
所以不等式的解集为；
（2）当时，，则，
，
设，则，，
，
，
解得或，
点的坐标为 ，或，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式是解题的关键.
18．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，且它们的图像都经过点．
（1）则点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值；
（3）在（2）的条件下，在轴的右侧，以为腰作等腰直角，直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），，
【分析】(1)将代入解析式中求出和的解析式，然后令=0即可求出B点坐标，令中求出C点坐标；
(2)根据，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
(3)以CP为边向右下方和右上方分别作正方形CPM1M2和正方形CPM3N，再证明三角形全等即可求解．
【详解】解：(1)将代入解析式中求出和的解析式中，
即， ，
解得，
∴，，
令中，即，∴，故，
令中，∴，
故答案为，；
(2)设直线交轴于点，则
∵且
∴
∵
且
∴
∴；
(3)如图，以CP为边向右下方和右上方分别作正方形CPM1M2和正方形CPM3N，如下图所示，其中M3Q⊥PQ，M2H⊥x轴，M1K⊥y轴，
∵∠OPC+∠HPM2=90°，∠OPC+∠OCP=90°，
∴∠OCP=∠HPM2，
且∠COP=∠PHM2=90°，PC=M2P，
∴△OPC≌△HM2P，
∴PH=OC=1，HM2=OP=，
故此时M2的坐标为，
同理可证：△OPC≌△KCM1≌△QPM3，
∴KM1=OC=QM3=1，CK=OP=QP=，
∴M1的坐标为，M3的坐标为，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键；第3问中利用全等三角形的判定与性质得出KM1=OC=QM3=1，CK=OP=QP=是解题关键．
【易错】
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•黄浦区校级期中）下列函数是一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x
C．y＝x2+2D．y＝kx+b （k，b是常数）
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），即可判断．
【解答】解：A、y＝是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝﹣x是一次函数，故B符合题意；
C、y＝x2+2是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝kx+b （k，b是常数，k≠0）是一次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
2．下列函数①y＝；②y＝；③y＝πx；④y＝，是一次函数的是（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：①y＝不是一次函数，故①不符合题意；
②y＝是一次函数，故②符合题意；
③y＝πx是一次函数，故③符合题意；
④y＝是一次函数，故④符合题意；
是一次函数的是②③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
3．（2021春•嘉定区校级月考）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．那么，小高上班时下坡的速度是（ ）
A．千米/分B．2千米/分C．1千米/分D．千米/分
【分析】根据图象求出走下坡路的时间和走的路程，根据速度公式求出即可．
【解答】解：
从图象可知：走下坡路用了12分钟﹣8分钟＝4分钟，走的路程是4千米﹣2千米＝2千米，
即小高上班时下坡的速度是＝千米/分，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
二．填空题（共5小题）
4．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围 0≤m＜3 ．
【分析】由关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，得出此一次函数图象经过第一、二、四象限或二、四象限，根据一次函数与系数的关系得到m﹣3＜0且m≥0，然后写出两个不等式的公共解集即可．
【解答】解：∵关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，
即图象经过第一、二、四象限或图象经过第二、四象限，
∴m﹣3＜0且m≥0，
∴0≤m＜3．
故答案为0≤m＜3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，y＝kx+b的图象在第一、二、三象限；k＞0，b＜0时，y＝kx+b的图象在第一、三、四象限；k＜0，b＞0时，y＝kx+b的图象在第一、二、四象限；k＜0，b＜0时，y＝kx+b的图象在第二、三、四象限．
5．（2021春•青浦区期中）已知函数y＝﹣3x+7，当x＞2时，函数值y的取值范围是 y＜1 ．
【分析】依据k的值得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围，得到函数值的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小，
当x＝2时，y＝﹣3×2+7＝1，
∴当x＞2时，y＜1，
故答案为：y＜1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（2022春•上海期中）如果ab＜0，ac＜0，则直线y＝﹣不经过 第二 象限．
【分析】由ab＜0，ac＜0得到＜0，＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线y＝﹣经过第一、三、四象限．
【解答】解：∵ab＜0，ac＜0，
∴bc＞0，
∴＜0，＞0，
∴﹣＞0，﹣＜0，
∴直线y＝﹣经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 225 ．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，求出一次函数解析式；根据函数解析式计算出当x＝0时y的值，当y＝0时，x的值，进而得到与两坐标轴的交点坐标，然后求三角形的面积即可．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
将A（﹣20，5）、B（10，20）代入得：
，
解得：k＝，b＝15，
则一次函数解析式为y＝x+15．
当x＝0时，y＝15，
当y＝0时，x+15＝0，
解得x＝﹣30，
∴与坐标轴的交点坐标为（0，15）（﹣30，0），
此函数与坐标轴围成的三角形面积：×15×30＝225．
故答案为：225．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与两坐标轴的交点坐标，关键是正确求出解析式．
8．（2022春•静安区期中）如图，直线y＝﹣x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在直角坐标平面内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，则a的值为 ﹣4或4+ ．
【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S△ABP＝S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，AB＝2，
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴S△ABP＝S△ABC＝2，
当点P在第二象限内时，连接OP1，
S△AOP1＝，S△BOP1＝﹣，
S△ABP1＝S△BOP1+S△AOB﹣S△AOP1＝2，
即﹣+×1×﹣＝2，
解得a＝﹣4．
当点P在第一象限内时，连接OP2，
S△AOP2＝，S△BOP2＝，
S△ABP2＝S△BOP2+S△AOP2﹣S△AOB＝2，
即+﹣×1×＝2，
解得a＝4+．
∴a的值为a＝﹣4或4+．
故答案为：﹣4或4+．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系；把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键．
【压轴】
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．
【详解】解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，
由图可写出l的函数解析式为y=-1，
设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：，
解之可得：k=-1，b=1，
∴直线AC的函数为y=-x+1，
∴有，解之得：x=2，y=-1，
∴P点坐标为（2，-1），
故选B ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练求解一次函数的解析式并结合二元一次方程组求直线的交点是解题关键．
二、填空题
2．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知直线y= -+1与x轴、y轴分别交于点A、点B(O为坐标原点)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，那么点C的坐标为___________
【答案】（，2）
【分析】根据题意作出图形，求出AB＝2，∠BAO＝30°，证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠OAC＝90°，即可得到点C的坐标．
【详解】解：在中令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝，
∴A（，0），B（0，1），
∴，
∴∠BAO＝30°，
将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，
如图所示，则∠ABC＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∴∠OAC＝90°，
∴点C的坐标为（，2），
故答案为：（，2）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等知识，求出∠BAO＝30°，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．
【答案】
【分析】根据点A，，，…，都在直线上先求出，再根据点，，…都在直线上，求出，由在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，得到的横坐标为2，同理依次类推，得出 ，，，最后算出面积即可．
【详解】解：当x=0时，，，
∴，
∵，
∴的横坐标为2，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∴，，，
∴ ，，，
∴=，
=
=,
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出规律．关键在于点在直线上，计算点的坐标和找出规律．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______．
【答案】
【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝−x＋m，即可求解．
【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，
设点M是AB的中点，
由，整理得：x2−mx＋6＝0，
由题意可得x2−mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，
则x1＋x2＝m，y1＋y2＝−x1＋m−x2＋m＝m，
则点M的坐标为（m，m），
设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，
对于y＝−x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，
∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），
则点HG中点的坐标为（m，m），
即点M也为GH的中点，故AH＝BG，
∵AR∥x轴，
∴∠HAR＝∠BGF，
∵∠HRA＝∠BFG＝90°，
∴△HRA≌△BFG（AAS），
∴AR＝OC＝FG，
∴S△HRA＝S△BFG，
∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝|k|＋|k|＝6，
而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6，
∴S△BFG＝2S△OEC，
即2××CO•EC＝×BF•FG，
而OC＝FG，
∴EC＝BF，
即EC是△OBF的中位线，
故设点A的坐标为（t， ），则点B（2t，），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得（不合题意的值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A、B横坐标的关系．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
【答案】
【分析】（1）可作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（2）根据（1）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到CB2+CD2＝BD2＝（）2，因为CB+CD＝4﹣，可推出CB•CD的值，进而求出三角形的面积．
【详解】（1）∵直线y＝与x轴、y轴分别交于C、A两点，把y=0代入，解得x=2，把x=0代入，解得y=2，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC＝4．
作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD＝C1D，CB＝C2B．
∴CB+BD+CD＝C2B+BD+C1D＝C1C2连接AC1、AC2，
可得∠C1AD＝∠CAD，∠C2AB＝∠CAB，AC1＝AC2＝AC＝4．
∵∠DAB＝45°，
∴∠C1AC2＝90°．
连接C1C2．，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．
故答案为：4．
（2）根据（1）的作图可知四边形AECF的对角互补，其中∠DAB＝45°，因此，∠C2CC1＝135°．
即∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝135°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+2∠BCD＝270°①，
∵∠BC2C＝∠BCC2，∠DCC1＝∠DC1C，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝180°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+∠BCD＝180°②，
①-②得，∠BCD＝90°．
∴CB2+CD2＝BD2＝（）2=，
∵CB+CD＝4﹣，
（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB•CD，
∴2CB•CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______．
【答案】或或2
【分析】分三种情况讨论：①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=；②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=；③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2．
【详解】解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO，
由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b，
∵点C（0，4），
∴OC=4，
∴BC=4-b，
在△DBC和△BAO中，
，
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即4-b=2b，
∴b=，
②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F，
同理证得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=4，BC=DF，
∵OB=b，OA=2b，
∴BC=DF=2b-4，
∵BC=4-b，
∴2b-4=4-b，
∴b=；
③当∠DAB=90°时，如图3，作DF⊥OA于F，
同理证得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴2b=4，
∴b=2；
综上，b的值为或或2，
故答案为：或或2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助性构建求得三角形上解题的关键．
三、解答题
7．（2019春·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4交y轴于点A，与直线BC相交于点B（-2，m），直线BC与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点D．
（1）求点B坐标；
（2）求△ABC的面积
（3）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，点p是直线AB上一动点且在x轴上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC面积请求出点P的坐标．并直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）B（－2，2）；（2）6；（3）E（2，0）；（4）点P的坐标为：（−2，2）；点Q坐标为：Q1（1，2），Q2（−5，2），Q3（ 3，−2）．
【分析】（1）将B（－2，m）代入y=x+4求出m即可；
（2）求出点A坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
（3）求出直线BC的解析式，进而得到直线AE的k值，代入A点坐标求出直线AE的解析式即可解决问题；
（4）根据平行四边形的面积等于△ABC面积可求出P点坐标，然后分点Q在x轴上方和点Q在x轴下方两种情况，分别根据平行四边形的性质求出点Q坐标即可．
【详解】解：（1）将B（－2，m）代入y=x+4得：m=-2+4=2，
∴B（－2，2）；
（2）∵直线y=x+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
又∵B（－2，2），C（0，-2），
∴△ABC的面积＝；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
代入B（－2，2），C（0，-2）得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
∵直线AE与直线BC平行，
∴设直线AE的解析式为：，
代入A（0，4）得：，
∴直线AE的解析式为：，
当y＝0时，即，
解得：，
∴E（2，0）；
（4）在中，当y＝0，即时，解得：，
∴D（－1，0），
又∵点P是直线AB上一动点且在x轴上方，E（2，0），
∴设P（x，x＋4），
由题意得：，
解得：，
∴P（−2，2），
∴当点Q在x轴上方时，则PQ∥DE，且PQ＝DE，此时点Q1（1，2），Q2（−5，2）；
当点Q在x轴下方时，设Q点坐标为（m，n），
由题意得：，，
解得：，，
则Q3（3，−2）；
综上所述：点P的坐标为：（−2，2）；点Q坐标为：Q1（1，2），Q2（−5，2），Q3（ 3，−2）．
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算，一次函数的图象和性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且∠ABO=45°，设点D的坐标为(3，0)
(1) 求m的值；
(2) 联结CD、AD，求△ACD的面积；
(3) 设点E为x轴上一动点，当∠ADC=∠ECD时，求点E的坐标．
【答案】（1）m＝4；（2）；（3）点E的坐标为（，0）或（6，0）．
【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题；
（2）根据进行计算即可；
（3）分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况，分别求出直线CE1和直线CE2的解析式即可得到对应的点E的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点，∠ABO=45°，
∴OB＝OC＝3，
∴B（－3，0），
将B（－3，0）代入y=kx+3得：0=－3k+3，
解得：k＝1，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3，
当x＝1时，y＝x+3＝4，
∴m＝4；
（2）∵B（－3，0），C（0，3），D（3，0），A（1，4），
∴BD＝6，
∴；
（3）如图所示，当点E在点D左侧时，
∵∠ADC＝∠E1CD，
∴AD∥CE1，
设直线AD的解析式为：y＝k1x+b（k≠0），
代入A（1，4），D（3，0）得：，解得：，
∴直线AD的解析式为：，
故设直线CE1的解析式为：，
代入C（0，3）得：，
∴直线CE1的解析式为：，
当y＝0时，解得：，
∴E1（，0）；
当点E在点D右侧时，AD与CE2交于点F，
∵∠ADC＝∠E2CD，
∴FC＝FD，
∵OB＝OD＝3，∠ABO＝45°，
∴∠CDB＝45°，
∴∠ACD＝45°＋45°＝90°，即∠ACF＋∠FCD＝90°，
∵∠CAF＋∠FDC＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴FC＝FA，
∴F为线段AD的中点，
∴点F的坐标为，
设直线CE2的解析式为：，
代入F得：，解得：，
∴直线CE2的解析式为：，
当y＝0时，解得：，
∴E2（6，0），
综上所述，点E的坐标为（，0）或（6，0）．
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键．
9．（2020秋·上海·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．
（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由求解的长，利用勾股定理列方程求解，结合的位置，即可得到答案；
（2）过作于，证明求解由等面积法得作 在上，利用勾股定理可得从而可得答案；
（3）由（2）同理可得：，证明在上，设直线与轴分别交于，过作于 使 连接交于 则此时最小，利用等腰三角形的性质与中点坐标公式得的坐标，求解的解析式，再求直线与的交点坐标即可．
【详解】解：（1）
（负根舍去），
又
在轴的负半轴上，
（2）过作于，
由勾股定理得：
作 在上，
轴平分∠BAC，
由勾股定理得：
（3）由（2）同理可得：，
在直线上，
设直线与轴分别交于，
则
过作于 使 连接交于
则此时最小，
为的中点，
设为
解得：
为
解得：
即当最小时，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，三角形角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，分式的约分，利用平方根的含义解一元二次方程，轴对称的性质，求解一次函数的解析式及交点坐标，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，点坐标为，30°，将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，点是直线AB上一动点．
(1)求直线的解析式．
(2)若，求的长．
(3)若是等腰三角形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)（，）或（ ，）或（，）或（ ，）
【分析】（1）先求出AB=2OB，然后结合勾股定理求出OB的长度，最后把A，B的坐标代入直线AB解析式求解即可；
（2）延长CF交x轴于点G，先求出AC的长度，再通过ASA证，得出AC=AG=2AO，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（3）分AF=OF，AO=FO，AF=AO三种情况讨论求解即可.
（1）
解：∵A的坐标为（，0），
∴AO=3，
∵ ， ，
∴AB=2OB，
由勾股定理知 ，
∴ ，
∴B（0， ），
把A（，0），B（0， ）代入y=kx+b，
得 ，
∴ ，
∴直线AB解析式为；
（2）
解：延长CF交x轴于点G，
∵翻折，
∴∠CAF=∠BAO=30°，
∴∠CAG=60°，
∴∠ACO=30°，
∴AC=2AO=6，
∵
∴ ，
在△ACF和△AGF中，
，
∴ ，
∴AC=AG=6，
∴AG=2AO，
∴AO=GO，
∴
（3）
当AF=OF时，如下图，过F作于H
则AH=OH=，
又∠BAO=30°，
∴AF=2FH，
由勾股定理得 ，
∴，
F（，）；
当AO=OF=3时，如下图，过F作于M，
则∠AFO=∠FAO=30°，
∴∠FOM=∠AFO+∠FAO=60°，
∴∠OFM=30°，
∴ ，
∴ ，
∴F的坐标为（ ，）；
当AF=AO=3时，
F在A的右侧时，如图1，过F作于N，
∵∠BAO=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴F的坐标为（，）；
F在A的左侧时，如图2，过F作于K，
∵∠BAO=30°，
∴∠FAK=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴F的坐标为（ ，）.
综上，F的坐标为（，）或（ ，）或（，）或（ ，）.
【点睛】本题考查了一次函数的图形与性质，图形的变化，等腰三角形等知识，正确掌握并能熟练运用是解题的关键.
11．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（-2，1）；（2）y=-2x-3；（3）（-2，-4）或（2，-2）或（-1，-1）
【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点、的坐标，利用题中线段的中点坐标公式建立方程求解即可；
（2）根据点、的坐标可得、的长，根据勾股定理求出，可得出，证明，根据相似三角形的性质可得的长，可得出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，则、、是等腰直角三角形，过点，作轴于，轴于，根据全等三角形的判定和性质求得、的长，即可得点的坐标，同理可得点的坐标，根据线段的中点坐标公式可得点的坐标．
【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
；
（2）如图，
，，
，，
在中，，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的表达式为，将代入得：，解得：，
直线的表达式为；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，
，，，，
、是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
过点，作轴于，轴于，
，，
，
，，
，
，，
，
点的坐标，
同理点的坐标，
，
点的坐标，，即，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判断和性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
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