重庆第十一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆第十一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为,则该质点的瞬时速度为时,( )
A.B.C.D.
二、选择题
2．已知曲线在处的切线与直线垂直,则k的值为( )
A.4B.2C.-3D.-6
三、选择题
3．我们知道,函数在点处的导数,由极限的意义可知,当充分小时,,即,从而,这是一个简单的近似计算公式,它表明可以根据给定点的函数值和到数值求函数的增量或函数值的近似值,我们可以用它计算的近似值为( )
（,）
A.B.C.D.
四、选择题
4．函数的单调递增区间是( )
A.B.和
C.D.
五、选择题
5．已知函数的导函数,若1不是函数的极值点,则实数a的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
六、选择题
6．已知,,,则( )
A.B.C.D.
七、选择题
7．函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
八、选择题
8．已知定义在R上的函数的导数为,,且对任意的x满足,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
九、多项选择题
9．对于定义在R上的可导函数,为其导函数,下列说法不正确的是( )
A.使的x一定是函数的极值点
B.在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C.若函数既有极小值又有极大值,则其极小值一定不会比它的极大值大
D.若在R上存在极值,则它在R一定不单调
一十、多项选择题
10．若函数的导函数是偶函数,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于中心对称
B.有3个不同的零点
C.最小值为
D.对任意,,都有
一十一、多项选择题
11．已知函数,,则下列说法正确的是( )
A.函数与函数有相同的极小值
B.若方程有唯一实根,则a的取值范围为
C.若方程有两个不同的实根,,则
D.当时,若,则成立
一十二、填空题
12．已知函数有极值,则a的取值范围是____________.
一十三、填空题
13．对于任意,,当时,恒有成立,则实数a的取值范围是_____________
一十四、填空题
14．若,则实数m最大值为______.
一十五、解答题
15．函数,若在点处的切线方程为．
（1）求a,b的值
（2）求函数的单调区间．
一十六、解答题
16．已知关于x的函数,其导函数.
（1）如果函数在处有极值试确定b、c的值;
（2）设当时,函数图象上任一点P处的切线斜率为k,若,求实数b的取值范围.
一十七、解答题
17．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程;
（2）若函数在处取到极小值,求实数m的取值范围．
一十八、解答题
18．已知函数.
（1）若函数在定义域内单调递增,求实数m的范围;
（2）若实数,求的单调递增区间;
（3）若函数有两个极值点,且恒成立,求实数a的取值范围.
一十九、解答题
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中n!，e为自然对数的底数，以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知,则,
令,则,即该质点瞬时速度为时,时间.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为,可得,
即曲线在处的切线斜率为,
且直线的斜率为,
由题意可得：,解得.
故选：B.
3．答案：B
解析：设,所以,
,
取,,则,
,
故选：B.
4．答案：A
解析：函数的定义域为，
，，当时，解得，
故函数的单调递增区间是，
故选：A.
5．答案：D
解析：由题意可知,若1不是函数的极值点,则,,即,
当时,,故当,
当,,因此是 的极值点,1不是极值点,故满足题意,
故选：D.
6．答案：C
解析：构造函数,其中,则,
令,则对任意恒成立,
当时,,即,
所以,函数在上单调递减,
因为,,
,
又因为在上单调递减,则,
即,故.
故选：C.
7．答案：A
解析：由题意,,故函数的图象关于y轴对称,排除D;
当时,,,,排除B,
可知时,其中是无限接近0的一个正数,,排除C;
故选：A．
8．答案：A
解析：构建,则,
因为,则,即,
可知在R上单调递减,且,
由可得,即,解得,
所以不等式的解集是.
故选：A．
9．答案：ABC
解析：A选项,的x不一定是函数的极值点,比如在处导函数的值为0,但不是的极值点,A说法错误;
在R上单调递增,可能会在某点导函数等于0,比如为单调递增函数,在处导函数值为0,故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件,B说法错误;
若函数既有极小值又有极大值,则其极小值可能会比它的极大值大,比如,在处取得极大值-2,在处取得极小值2,极小值大于极大值,故C说法错误;
根据极值点和极值的定义可以判断,若在R上存在极值,则它在R一定不单调,D说法正确.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：因为,则,
又是偶函数,所以,即,
所以对任意的x恒成立,所以,解得,则,定义域为,
且,即为奇函数,
所以的图象关于中心对称,故A正确;
令,即,解得,,,
所以有3个不同的零点,故B正确;
因为,所以当或时,当时,
即的单调递增区间为,,单调递减区间为,
所以不存在最值,故C错误;
设任意,,则,,则,
又,
所以
,当且仅当时取等号,
所以对任意,,都有,故D正确;
故选:ABD
11．答案：ACD
解析：对于A,定义域,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
定义域,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,故A正确;
对于B,若方程有唯一实根,
由于当时,,且,
结合已求的单调性和最值可知,或,故B错误;
对于C,因为方程有两个不同的实根,假设,则,
则,即,两式相减得,
即,由对数均值不等式,
则,即得证,故C正确;
对于D,当时,若,则,
即,显然,则,
则成立,故D正确.
故选：ACD.
下面补证C选项对数均值不等式：
要证,即证,
设,即证,即证,
令,,
则在单调递增,当时,得证.
12．答案：
解析：,
．
①若函数在上单调递增,
则在上恒成立,
在上恒成立,
由于在上无最大值,
函数在上不单调递增．
②若函数在上单调递减,
则在上恒成立,
在上恒成立,
又,当且仅当,即时等号成立,
．
综上可得当函数在其定义域上不单调时,实数a的取值范围是,此时有极值．
故答案为：.
13．答案：
解析：对于任意,,当时,恒有成立,
即恒有成立,
令,则在上为减函数,
则在上恒成立,
在上恒成立,
即．
实数a的取值范围是．
故答案为．
14．答案：3
解析：,定义域为,
则,
令,
则,在上单调递增,
且时,当时,
使得即
当时,当时,
故在上单调递减,在上单调递增,
所以②,
由得①,
即,代入②得,,
整理得
,
∴,
∴,
,
故m的最大值为3.
故答案为：3.
15．答案：（1）
（2）单调递增区间是,单调递减区间是,．
解析：（1）,
,又,
在处的切线方程为,即,
,解得．
（2）,,
,
当或时,;当时,,
故的单调递增区间是,单调递减区间是,．
16．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）因为函数在处有极值
所以,解得或.
（i）当时,,
所以在R上单调递减,不存在极值.
（ii）当,时,,
时,,单调递增;时,,单调递减;
所以在处存在极大值,符合题意.
综上所述,满足条件的值为,.
（2）当时,函数,
设图象上任意一点,则,,
因为,所以对任意,恒成立,
所以对任意,不等式恒成立.
设,故在区间上单调递减,
所以对任意,,所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,,则,
又,故所求的切线方程为．
（2）由题意,,故．
若,则,故当时,,当时,,
故当时,函数取到极小值;
若,则令,解得或,
要使函数在处取到极小值,则需,即,
此时当时,,当时,,当时,,满足条件．
综上,实数m的取值范围为．
18．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）的定义域为,求导得,
函数在定义域内单调递增,故在恒成立,
所以恒成立,则,即.
（2）令,得,,
若时,,方程的两根为,,
当时,,,则时,,故在单调递增;
当时,,则或时,,
故在和上单调递增,
综上,当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间为,.
（3）由上可知有两个极值点,时,等价于方程有两个不等正根,
,,,,
此时不等式恒成立,
等价于对恒成立,
可化为恒成立,
令,,
则,
,,,在恒成立,
在上单调递减,
,
,故实数a的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）证明：设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，即.
（2）证明：，①
于是，②
由①②得，，
，
所以
即
（3），
则,
①当时，，
所以在R上单调递增，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此是的极小值点.
②当时，当时，，
在上单调递增，
，
又是R上的偶函数，
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数a的取值范围是.